§ 20. Эргодичность случайного процесса

Свойство эргодичности, о котором далее пойдет речь, важно потому, что при его наличии имеют место чрезвычайно существенные соотношения между функцией распределения и временем пребывания случайной функции в определенном интервале значений, между статистическими средними и средними по времени.

Функции распределения, согласно «аксиоме измерения» вероятности, имеют статистический смысл. Это относительные частоты в ансамбле одинаковых систем, т. е. систем, в каждой из которых воспроизведены одни и те же условия протекания данного случайного процесса и одни и те же способы его регистрации или наблюдения. Если, например, речь идет о флуктуациях, то одинаковыми должны быть макроскопические характеристики всех систем, составляющих ансамбль. Имея ансамбль систем, мы располагаем обширным набором реализаций рассматриваемой случайной функции и с помощью соответствующих вероятностей, т. е. распределений систем ансамбля по возможным значениям можем находить и т. д.

Теоретики любят оперировать с ансамблями, но у экспериментаторов обычно одна лаборатория и одна установка, а не или . За данный промежуток времени экспериментатор может получить лишь одну реализацию интересующего его случайного процесса и предпочитает поэтому усреднять по времени, пользуясь одной реализацией одной осциллограммой или аналогичным образцом. Спрашивается, в каком соотношении находятся эти способы усреднения — по времени и по ансамблю?

Забегая вперед, укажем уже теперь, что для стационарных процессов, обладающих свойством эргодичности, оба способа усреднения при достаточно больших Т практически совпадают, так как в этом случае стационарная вероятность состояния равна относительному времени пребывания системы в данном состоянии. Соответственно среднее статистическое равно среднему по достаточно большому промежутку времени. Говоря «равно» или «совпадает», мы, конечно, допускаем неточность, так как речь идет лишь о вероятностной сходимости — по вероятности, в среднем квадратичном или почти наверное.

Формулируем эти утверждения более точно и докажем их [4].

Пусть - некая детерминированная функция случайной функции Обозначим ее среднее по времени за промежуток индексом Т и волнистой чертой сверху:

Как сказано, это эмпирическая величина, получаемая в результате определенной обработки осциллограммы в интервале . Вместе с тем это случайная величина, различная для разных реализаций в интервале . Пусть одномерная и двумерная плотности вероятностей . Вычислим среднее значение и дисперсию случайной величины Имеем

где мы ввели «эффективную» плотность вероятности

Имеем, далее,

где — функция корреляции :

Таким образом, для всех с конечным требование

есть необходимое и достаточное условие того, чтобы имела место сходимость в среднем квадратичном:

причем необходимость вытекает просто из определения этого вида сходимости. В силу неравенства Чебышева для случайной величины

условие (20.6) достаточно и для сходимости по вероятности:

или в развернутой форме:

где дается формулой (20.3). Можно сказать, что это закон больших чисел в применении к непрерывному наблюдению.

Рис. 9.

Докажем теперь, что при условии (20.6) относительное время пребывания в промежутке сходится по вероятности при где

если, конечно, этот предел ществует. Относительным временем пребывания называется отношение суммарного времени проведенного в промежутке т. е. суммы всех отмеченных на рис. 9 жирной линией отрезков оси абсцисс от момента 0 до момента Т, к полной продолжительноности интервала Т.

Для доказательства достаточно взять в качестве функцию-фиксатор:

Тогда по (20.1)

    (20.2)

а по (20.2)

т. е. распределение вычисляемое из одномерной плотности вероятности путем усреднения ее по параметру t [см. (20.3)], имеет смысл среднего (по ансамблю) относительного времени пребывания:

Теорема же (20.7) принимает теперь вид

Все сказанное справедливо для случайного процесса удовлетворяющего условию (20.6) - так называемому условию эргодичности этого процесса. Необходимое и достаточное условие (20.6) можно заменить более сильными требованиями — достаточными условиями эргодичности, которые в приложениях теории большей частью оказываются выполненными. Например, условие (20.6) будет удовлетворено, если функция корреляции всюду ограничена и при всяком t убывает с увеличением как где . В свою очередь, согласно (20.5), это будет выполнено, если при всяком увеличение достаточно быстро приводит к статистической независимости между

Это последнее требование, означающее, в частности, достаточно быстрое «забывание» рассматриваемой системой ее предшествующих состояний, можно, согласно (15.2), формулировать и в терминах условной вероятности:

    (20.11)

Для марковского процесса это означает, что на вероятность перехода в состояние х в момент V достаточно давние прошедшие состояния уже не влияют и она превращается просто в одномерную вероятность состояния. Довольно часто под условиями эргодичности подразумевают именно требования (20.10) или (20.11), хотя при их невыполнении необходимое условие (20.6) может остаться в силе.

Приведем некоторые примеры распределения

Пусть где детерминированная функция времени, а -стационарный случайный процесс с одномерной функцией распределения Одномерная плотность вероятности для может быть вычислена по известной

формуле, дающей распределение произведения двух случайных величин, если для тоже ввести «функцию распределения», а именно . Тогда

Подставляя это в (20.3), получаем для среднего относительного времени пребывания выражение

Большую роль в радиотехнике играют так называемые периодически-нестационарные процессы, у которых одномерная плотность вероятности, а значит, и моменты периодически зависят от t. Очевидно, в этом случае при вычислении целесообразно понимать под Т период Тем самым, не зависит от Г и совпадает с

Пусть -нормальный закон с гармонически меняющимся стандартом

Вводя и переменную интегрирования имеем

Подстановка

приводит этот интеграл к виду

Если , то переходит в стационарное гауссово распределение с дисперсией и тогда совпадает с . Если же , где то в интеграле существенны только малые значения 0. Можно

приближенно положить

и раздвинуть пределы интегрирования по s от 0 до Выражение для принимает вид

Это выражение, справедливое для достаточно малых (т. е. ), при когда в показателе можно отбросить дает

а в случае когда в показателе существенно только дает

Мы видим отсюда, что даже кратковременное приближение стандарта а к нулю влечет за собой значительное возрастание относительного времени пребывания в области малых значений

Как изменятся предыдущие результаты, если свойством эргодичности обладает стационарный процесс ? В этом случае не зависит от зависит лишь от разности , в силу чего и функция корреляции для тоже зависит лишь от . Необходимое и достаточное условие эргодичности (20.6) принимает теперь следующий вид:

    (20.14)

Отсюда нетрудно получить другую форму условия, содержащую только однократный интеграл от . С учетом четности по аргументу имеем

    (20.15)

Но для функции корреляции стационарного в широком смысле процесса справедливо неравенство

    (20.16)

(см. [5], a также задачу 3 гл. VI). В силу (20.15) и (20.16) выполнение условия (20.14) влечет за собой выполнение условия

    (20.17)

которое является, таким образом, необходимым условием эргодичности стационарного случайного процесса. Но оно также и достаточно, поскольку (20.15) можно записать в виде

откуда ясно, что при выполнении (20.17) имеет место и (20.14).

Условие (20.17), необходимое и достаточное для эргодичности стационарного в широком смысле случайного процесса, носит название условия Слуцкого (см. [6], стр. 18). Оно допускает, что не стремится к нулю при а, например, содержит члены вида . В этом случае

т. е. (20.17) выполнено.

Если интеграл от в пределах от 0 до существует, то можно ввести эффективное время корреляции :

(в действительности ) может обладать не одним, а несколькими характерными временными масштабами). В этом случае левая часть условия (20.17) при достаточно больших Т (а именно ) приближенно равна

Достаточные условия эргодичности стационарного процесса можно формулировать по-прежнему либо как требование

    (20.18)

либо аналогично (20.10) или (20.11):

    (20-19)

Но, быть может, наиболее существенным обстоятельством является то, что для стационарного процесса распределение совпадает с одномерной функцией распределения поскольку последняя не зависит от t [см. (20.3)]. Тем самым, теоремы (20.7) — (20.9) утверждают теперь, что при условии эргодичности (20.17) мы имеем

    (20.20)

т. e. среднее временное от сходится в среднем квадратичном (и по вероятности) к среднему статистическому и, в частности,

    (20.21)

Далее,

    (20.22)

т. е. относительное время пребывания сходится в среднем квадратичном (и по вероятности) к одномерной функции распределения. Последняя есть просто среднее статистическое от относительного времени пребывания:

    (20.23)

Это дает в руки экспериментатору, если он имеет дело со стационарным эргодическим случайным процессом, непосредственный метод измерения одномерной функции распределения: вероятность попадания в какой-либо интервал измеряется относительным временем пребывания в этом интервале за достаточно длинный промежуток времени Т.

Мы рассматривали до сих пор условия эргодичности применительно к временному среднему случайной функции т. е. функции, зависящей от значения в какой-то один

момент времени (иногда это называют эргодичностью первого порядка); что можно сказать об эргодичности второго порядка, т. е. временных средних для функций . Ограничимся в этом вопросе частным случаем стационарного процесса и функцией f, равной произведению Речь идет, следовательно, о том, при каком условии среднее временное

сходится при к своему среднему статистическому, равному, как легко видеть, функции корреляции процесса

Очевидно, если такая сходимость имеет место, т. е.

    (20.24)

то практически это означает возможность измерять функцию корреляции путем временного усреднения произведения по достаточно длинному промежутку времени Т. Равенство (20.24) означает, что дисперсия случайной величины стремится при к нулю. Если обозначить функцию корреляции случайной величины

то, как показал Е. Е. Слуцкий, указанное требование сводится к тому, что

    (20.25)

Если стационарность понимается в широком смысле (т. е. не утверждается, что функции распределения для инвариантны по отношению к сдвигу начала отсчета времени при то независимость от t представляет собой самостоятельное предположение. Если же стационарность

понимается в узком смысле, то момент четвертого порядка будет зависеть только от разностей моментов времени, т. е. от и а. Обычно следует из физических соображений, что зависимость между при исчезает, так что , и тогда условие (20.25) выполнено. Тем самым верна и теорема (20.24).

Наличие в момента четвертого порядка не позволяет в общем случае выразить -условие справедливости эргодической теоремы (20.24) для момента второго порядка — через функцию корреляции самого процесса , т. е. через . Однако в том частном и важном случае, когда нормальная функция, а значит, все ее моменты, в том числе и четвертые, выражаются через , это возможно. А именно, если нормальная функция (и для простоты то необходимым и достаточным условием для выполнения (20.24) будет

    (20.26)

Если в функции корреляции содержатся периодические члены, то условие (20.25) для нее выполнено, но (20.26) уже не имеет места. Заметим, что (20.26) обеспечивает выполнение эргодической теоремы для моментов не только второго, но и любого порядка, т. е. все временные средние по промежутку (0, Т) от произведений сходятся по вероятности при к соответствующим моментам. Более того, для любой функции от нормальных величин

(если среднее значение ее модуля конечно) теорема тоже верна: при имеем