Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 20. Эргодичность случайного процессаСвойство эргодичности, о котором далее пойдет речь, важно потому, что при его наличии имеют место чрезвычайно существенные соотношения между функцией распределения и временем пребывания случайной функции Функции распределения, согласно «аксиоме измерения» вероятности, имеют статистический смысл. Это относительные частоты в ансамбле одинаковых систем, т. е. систем, в каждой из которых воспроизведены одни и те же условия протекания данного случайного процесса и одни и те же способы его регистрации или наблюдения. Если, например, речь идет о флуктуациях, то одинаковыми должны быть макроскопические характеристики всех систем, составляющих ансамбль. Имея ансамбль систем, мы располагаем обширным набором реализаций рассматриваемой случайной функции Теоретики любят оперировать с ансамблями, но у экспериментаторов обычно одна лаборатория и одна установка, а не Забегая вперед, укажем уже теперь, что для стационарных процессов, обладающих свойством эргодичности, оба способа усреднения при достаточно больших Т практически совпадают, так как в этом случае стационарная вероятность состояния равна относительному времени пребывания системы в данном состоянии. Соответственно среднее статистическое равно среднему по достаточно большому промежутку времени. Говоря «равно» или «совпадает», мы, конечно, допускаем неточность, так как речь идет лишь о вероятностной сходимости — по вероятности, в среднем квадратичном или почти наверное. Формулируем эти утверждения более точно и докажем их [4]. Пусть
Как сказано, это эмпирическая величина, получаемая в результате определенной обработки осциллограммы
где мы ввели «эффективную» плотность вероятности
Имеем, далее,
где
Таким образом, для всех
есть необходимое и достаточное условие того, чтобы имела место сходимость в среднем квадратичном:
причем необходимость вытекает просто из определения этого вида сходимости. В силу неравенства Чебышева для случайной величины
условие (20.6) достаточно и для сходимости по вероятности:
или в развернутой форме:
где
Рис. 9. Докажем теперь, что при условии (20.6) относительное время пребывания
если, конечно, этот предел Для доказательства достаточно взять в качестве
Тогда по (20.1)
а по (20.2)
т. е. распределение
Теорема же (20.7) принимает теперь вид
Все сказанное справедливо для случайного процесса
Это последнее требование, означающее, в частности, достаточно быстрое «забывание» рассматриваемой системой ее предшествующих состояний, можно, согласно (15.2), формулировать и в терминах условной вероятности:
Для марковского процесса это означает, что на вероятность перехода в состояние х в момент V достаточно давние прошедшие состояния уже не влияют и она превращается просто в одномерную вероятность состояния. Довольно часто под условиями эргодичности подразумевают именно требования (20.10) или (20.11), хотя при их невыполнении необходимое условие (20.6) может остаться в силе. Приведем некоторые примеры распределения Пусть формуле, дающей распределение произведения двух случайных величин, если для
Подставляя это в (20.3), получаем для среднего относительного времени пребывания выражение
Большую роль в радиотехнике играют так называемые периодически-нестационарные процессы, у которых одномерная плотность вероятности, а значит, и моменты Пусть
Вводя
Подстановка
приводит этот интеграл к виду
Если приближенно положить
и раздвинуть пределы интегрирования по s от 0 до
Это выражение, справедливое для достаточно малых
а в случае
Мы видим отсюда, что даже кратковременное приближение стандарта а к нулю влечет за собой значительное возрастание относительного времени пребывания Как изменятся предыдущие результаты, если свойством эргодичности обладает стационарный процесс
Отсюда нетрудно получить другую форму условия, содержащую только однократный интеграл от
Но для функции корреляции стационарного в широком смысле процесса справедливо неравенство
(см. [5], a также задачу 3 гл. VI). В силу (20.15) и (20.16) выполнение условия (20.14) влечет за собой выполнение условия
которое является, таким образом, необходимым условием эргодичности стационарного случайного процесса. Но оно также и достаточно, поскольку (20.15) можно записать в виде
откуда ясно, что при выполнении (20.17) имеет место и (20.14). Условие (20.17), необходимое и достаточное для эргодичности стационарного в широком смысле случайного процесса, носит название условия Слуцкого (см. [6], стр. 18). Оно допускает, что
т. е. (20.17) выполнено. Если интеграл от
(в действительности Достаточные условия эргодичности стационарного процесса можно формулировать по-прежнему либо как требование
либо аналогично (20.10) или (20.11):
Но, быть может, наиболее существенным обстоятельством является то, что для стационарного процесса распределение
т. e. среднее временное от
Далее,
т. е. относительное время пребывания сходится в среднем квадратичном (и по вероятности) к одномерной функции распределения. Последняя есть просто среднее статистическое от относительного времени пребывания:
Это дает в руки экспериментатору, если он имеет дело со стационарным эргодическим случайным процессом, непосредственный метод измерения одномерной функции распределения: вероятность попадания Мы рассматривали до сих пор условия эргодичности применительно к временному среднему случайной функции момент времени (иногда это называют эргодичностью первого порядка); что можно сказать об эргодичности второго порядка, т. е. временных средних для функций
сходится при
Очевидно, если такая сходимость имеет место, т. е.
то практически это означает возможность измерять функцию корреляции путем временного усреднения произведения
то, как показал Е. Е. Слуцкий, указанное требование сводится к тому, что
Если стационарность понимается в узком смысле, то момент четвертого порядка будет зависеть только от разностей моментов времени, т. е. от Наличие в
Если в функции корреляции
(если среднее значение ее модуля
|
1 |
Оглавление
|