Глава III. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 14. Общие определения

Наглядное представление о случайном процессе можно почерпнуть из самых различных областей физики и техники. Осциллограмма дробового тока электронной лампы или тепловых флуктуаций напряжения на каком-либо сопротивлении, перемещение брауновской частицы, записанные сейсмографом колебания почвы, пульсации давления или температуры в атмосфере — все это примеры случайных процессов. Осуществленная запись наблюдаемой величины, т. е. временная развертка значений, фактически принятых ею в данном эксперименте, изображает одну из возможных реализаций рассматриваемого процесса.

Если представить себе множество идентичных экземпляров рассматриваемой системы, поставленных в одни и те же условия (ансамбль систем), то при одинаковом способе регистрации процесса полученные реализации будут, вообще говоря, различны, в чем и проявляется случайный характер процесса. Элемент случайности в совокупности реализаций может быть различным. Когда он полностью отсутствует, мы приходим к частному случаю вполне детерминированного течения процесса.

В широком, хотя и не особенно точном понимании случайным процессом является любой протекающий во времени процесс, управляемый вероятностными законами. Более определенно: случайная функция — это такая функция, значение которой при любом возможном t есть случайная величина.

В математической теории нет никаких оснований к тому, чтобы придавать аргументу t какую-либо определенную интерпретацию.

Параметр t, вещественный или комплексный, может быть как непрерывным, так и дискретным. Но в приложениях речь идет большей частью о случайных функциях времени и (или) пространственных координат. Нас будет интересовать поэтому только тот случай, когда возможные значения t вещественны. Что касается дискретности или непрерывности значений t, то могут встретиться обе эти возможности. Например, можно фиксировать координату брауновской частицы g только в отдельные моменты времени получая тем самым последовательность случайных величин . В дальнейшем мы в большинстве случаев будем понимать под t время. Возможные значения функции при каком-либо фиксированном будут обозначаться через

Принято называть случайным (или стохастическим, или вероятностным) процессом, если t меняется непрерывно, и случайной последовательностью (процессом с дискретным параметром, с дискретным временем), если t принимает счетное множество значений. Термин «случайная функция» охватывает оба эти случая, т. е. применяется тогда, когда характер изменения t произволен.

В свою очередь множество возможных значений х самой случайной функции тоже может быть как непрерывным, так и дискретным. Таким образом, имеются четыре разновидности случайной функции в соответствии с четырьмя комбинациями дискретности и непрерывности х и t. Иногда все эти разновидности называют случайными процессами, говоря о дискретном или непрерывном процессе (в зависимости от характера х) с дискретным или непрерывным временем t. Разумеется, возможны и смешанные — дискретно-непрерывные — процессы, но изучать удобней каждый из этих видов в отдельности.

Если аргумент t принимает конечное множество значений то случайная последовательность сводится, очевидно, к совокупности случайных величин т. е. может быть интерпретирована как -мерная случайная величина, задаваемая, как обычно, своим -мерным распределением вероятности Если же множество значений t бесконечно (счетно или непрерывно), то мы выходим за рамки классической теории вероятностей и необходимо специально определить, как в этом случае надо понимать задание случайной функции

Беря за исходный пункт множество всех возможных реализаций случайной функции, можно получить исчерпывающую ее характеристику заданием распределения вероятностей этих реализаций. Равносильный, но по форме отличный подход, принадлежащий Е. Е. Слуцкому, опирается на то, что при каждом фиксированном значении t есть случайная величина. Эта

величина полностью задана, если известно ее распределение

т. е. известна мгновенная плотность вероятности вообще говоря, зависящая от t. Разумеется, вместо можно задать соответствующую характеристическую функцию

Легко видеть, однако, что, зная распределение для любого t, мы располагаем еще в высшей степени неполной характеристикой случайной функции. Возможны функции обладающие одинаковыми распределениями но различающиеся статистическим соотношением между значениями и принимаемыми в два разных момента времени

Другими словами, при одинаковых распределениях у этих функций могут быть различны двумерные распределения

и, в частности, могут быть различны функции корреляции

Разумеется,

т. e., зная двумерное распределение, мы знаем и одномерное, но не обратно, так что совпадение одномерных распределений для каких-либо случайных функций еще ничего не говорит об их двумерных распределениях.

В свою очередь задание двумерного распределения, т. е. плотности вероятности или характеристической функции

которые в общем случае зависят от двух параметров давая более полную характеристику тоже не является исчерпывающим. Двумерное распределение не позволяет судить о статистических соотношениях между значениями принимаемыми в какие-либо три момента времени Эти соотношения могут быть различны при одинаковом двумерном (а

значит, и одномерном) распределении. Ясно, что это рассуждение можно продолжить, и оно приведет тогда к тому, что для любого фиксированного числа моментов времени -мерное распределение

дает полные сведения о «вниз» от , но оставляет столь же полную неопределенность «вверх». В этом и состоит принципиальное отличие случайной функции, у которой аргумент t может принимать бесконечное множество значений, от частного случая, когда это множество конечно ( значений) и дело сводится к -мерной случайной величине.

Для практических целей можно было бы ограничиться заданием -мерного распределения с весьма большим , но подобный выход из положения был бы столь же мало удовлетворительным, как если бы, например, мы согласились рассматривать в анализе вместо непрерывно меняющихся величин только дискретные изменения, хотя бы и с достаточно малым шагом. Можно, однако, считать, что дам известны конечномерные (и-мерные) распределения, но для всякого сколь угодно большого значения n. Мы приходим, таким образом, к следующему исчерпывающему способу задания случайной функции: случайная функция задана, если ее конечномерное распределение ) известно для любого числа произвольно выбранных значений

Очевидно, должны быть симметричны относительно любых перестановок всех пар аргументов так как содержание рассматриваемого события — совместное, осуществление неравенств — не зависит от того, в каком порядке эти неравенства перечислять. Например,

Считая это условие симметрии выполненным, мы часто не будем писать всех аргументов функций

Кроме условия симметрии, все конечномерные плотности вероятности должны быть еще согласованы между собой в смысле их соподчинения, т. е. любое -мерное распределение должно определяться из всякого -мерного с

В рассматриваемой теории случайных функций, когда зависят от параметров , это условие, ограничивающее класс допустимых далеко не тривиально. В самом деле, интегрирование по «лишним» переменным должно автоматически приводить к результату, не зависящему от параметров содержащихся в подынтегральной функции.

Условия симметрии и согласованности должны выполняться для всякой случайной функции. Дальнейшая детализация свойств конечномерных распределений ведет уже к установлению специальных классов или типов этих функций. Имеется сравнительно немного таких классов, практическое значение которых особенно велико и для которых теория продвинута в наибольшей степени. Среди них должны быть в первую очередь названы случайные процессы марковского типа (иначе — процессы без вероятностного последействия) и стационарные процессы). Мы приведем сначала определения обоих этих классов случайных процессов, после чего остановимся на каждом из них более подробно. Подчеркнем сразу же, что эти классы выделены по разным признакам, т. е. их границы не совпадают. Будучи марковским, случайный процесс может являться как стационарным, так и нестационарным; будучи стационарным, он может быть или не быть марковским.