§ 49. Статистические характеристики поляризации модулированных колебаний

Рассматривая интерференционные явления, мы неявно предполагали, что в случае поперечных (в частности, электромагнитных) волн поляризация складываемых колебаний одинакова. Это позволило ограничиться скалярной теорией интерференций модулированных колебаний. В общем случае поперечных волн необходимо рассматривать векторное колебание — вектор лежащий в плоскости, перпендикулярной к направлению волновой нормали. Вводя на этой плоскости декартовы координаты можно записать две проекции вектора , т. е. два взаимно ортогональных модулированных колебания:

При идеальной монохроматичности (при постоянных поляризация полная: вектор , вращаясь с угловой частотой в общем случае описывает эллипс с отношением полуосей

и углом наклона у большой полуоси а к оси определяемым равенством

Если , где — целое число, то поляризация линейна. При главные оси эллипса направлены по координатным осям а если, кроме того, то поляризация круговая.

В случае модулированных колебаний, когда детерминированно или случайно меняются со временем, различные виды поляризации в темпе модуляции сменяют друг друга — соответственно детерминированным или случайным образом.

Удобно и в векторном случае перейти от вещественных процессов к аналитическим сигналам:

где — комплексные амплитуды. Мы сразу предположим, что , а значит, и - стационарные и стационарно связанные случайные процессы. Полное совместное их описание в рамках корреляционной теории дается корреляционной матрицей

которая характеризует как средние поляризационные свойства вектора так и его спектральные свойства, поскольку в стационарном случае существует матрица спектральных плотностей

где функция отлична от нуля только в окрестности узкой по сравнению с

Однако если интерес представляют только поляризационные свойства то во многих случаях можно ограничиться квазистационарным (или даже, лучше сказать, квазистатическим) приближением, а именно временными задержками , гораздо меньшими длины когерентного цуга ширина полосы,

в которой заметно отличны от нуля). Таким образом, что не исключает, конечно, возможности мот т. е. сдвиг может охватывать много периодов высокой частоты За столь короткие времена комплексные амплитуды а тем самым и поляризация почти не меняются, и поэтому в первом приближении можно вообще пренебречь этими изменениями, описывая поляризацию средними значениями попарных произведений взятых в один и тот же момент времени:

Величины образуют так называемую матрицу (тензор) поляризации:

Эта матрица эрмитова ее след и детерминант, как легко видеть, вещественны и неотрицательны:

и инвариантны при любом ортогональном повороте осей в плоскости Через обозначена полная интенсивность векторного колебания

Найдем среднюю интенсивность, даваемую обоими колебаниями, если их спроектировать на некоторое направление в плоскости Предположим при этом, что одно из колебаний, скажем задержано на время т. е. запаздывает по фазе на . В амплитуде мы, как сказано, этого малого запаздывания не учитываем. Тогда

Если ввести коэффициент взаимной корреляции

    (49.10)

то

и, следовательно,

    (49.11)

Этому выражению можно придать вид (47.4), если ввести интенсивности , отвечающие амплитудам проекций каждого из колебаний на направление N. Существенное отличие от (47.4) заключается в том, что там коэффициент корреляции — функция (мы интересовались влиянием на интерференцию спектра складываемых колебаний), а в — комплексное число, характеризующее корреляцию одновременных значений амплитуд и фаз.

Полностью неполяризованное колебание (в оптике — естественный свет) обладает осевой симметрией, т. е. интенсивность не зависит от угла , а кроме того, не меняется при изменениях запаздывания по фазе (разумеется, при оговоренном выше условии . Из (49.11) ясно, что это возможно только при . Так как , где — полная интенсивность, поляризационная матрица принимает в этом случае вид

    (49.12)

В противоположном случае монохроматического (а значит, полностью поляризованного) колебания можно снять в знак усреднения (все реализации тождественны), и тогда, очевидно,

    (49.13)

так что . Эти соотношения справедливы и в том частном случае неполной монохроматичности, когда

При этих последних условиях меняется только размер поляризационного эллипса (т. е. полная интенсивность), а его эксцентриситет и наклон остаются неизменными.

При линейной поляризации все элементы матрицы J вещественны, а при круговой поляризации

причем верхний знак соответствует правой поляризации, а нижний — левой.

Очевидно, при суперпозиции некоррелированных колебаний поляризационные матрицы складываются:

Обратное разложение колебания на сумму некоррелированных колебаний, вообще говоря, неоднозначно. Например, матрицу поляризации полностью неполяризованного колебания можно представить как в виде суммы

т. е. разложить на некоррелированные колебания, линейно поляризованные по осям так и в виде

что соответствует сумме двух некоррелированных циркулярно поляризованных колебаний — правого и левого. Но при дополнительных требованиях разложение может быть сделано однозначным.

Важным разложением такого рода является представление заданного векторного колебания в виде суммы двух некоррелированных колебаний — полностью неполяризованного и полностью поляризованного, так что

где неотрицательны, причем, в соответствии с (49.13), имеем . Из (49.15) в компонентах

и, следовательно,

Из двух корней этого уравнения для А (оба корня, как легко видеть, вещественны и неотрицательны) следует выбрать корень

    (49.16)

так как только для него выполняется условие неотрицательности В и С:

В результате разложение (49.15) оказывается единственным. Кроме того, оно инвариантно по отношению к ортогональному повороту осей в плоскости .

Степенью поляризации Р называется отношение интенсивности поляризованной части

к полной интенсивности

Таким образом,

Очевидно, степень поляризации — инвариант ортогонального поворота осей, поскольку она выражается через инварианты . Она меняется от значения (отсутствие поляризации, до значения (полная поляризация,

Переходя в формуле для интенсивности (49.11) к косинусу и синусу угла 20, получаем

откуда ясно, что наиболее сильные вариации при изменении угла происходят при такой фазовой задержке , для которой . В этом случае

Следовательно,

что позволяет находить значение степени поляризации Р посредством соответствующих измерений.

Иногда, наряду с полной степенью поляризации Р, оптики пользуются еще степенью циркулярной поляризации

и степенью линейной поляризации

Нетрудно убедиться, что полная степень поляризации Р есть

    (49.21)

Предлагались и другие меры степени поляризации, пригодные при определенных дополнительных условиях (например, в случае нормально распределенных - среднее поляризационное число см. [52]), но мы не будем на этом останавливаться. Укажем только на связь рассмотренных выше величин с параметрами, которые были введены Стоксом еще в 1852 г.

Матрица поляризации содержит четыре вещественных величины: Параметры Стокса, часто используемые в оптике, следующим образом связаны с элементами матрицы поляризации

откуда

    (49.23)

Во все безразмерные характеристики поляризации входят, конечно, только отношения параметров, что и понятно, так как

указанные характеристики не должны зависеть от полной интенсивности. Другими словами, как элементы матрицы поляризации, так и параметры Стокса всегда можно нормировать на величину (или просто считать ), и тогда остается только три независимых параметра. Все же использование четырех параметров обладает известным преимуществом, так как не требует перенормировки при сложении некоррелированных колебаний или разложении на такие колебания. Параметры Стокса, будучи линейно связаны с элементами матрицы поляризации, очевидно, тоже аддитивны при сложении некоррелированных колебаний.

Пользуясь соотношениями (49.23), нетрудно выразить поляризационные характеристики (49.18) — (49.20) через параметры Стокса:

Неотрицательность означающая, что , выражается неравенством

При полной поляризации здесь имеет место равенство, а в отсутствие поляризации Характеристики поляризационного эллипса (49.2) и (49.3) для полностью поляризованной части колебания выражаются через параметры Стокса следующим образом:

Итак, все статистические характеристики поляризации модулированных колебаний полностью описываются в рассматриваемом приближении через моменты второго порядка одновременных значений комплексных амплитуд

В работе [53] показано, что для нормальных колебаний степень поляризации Р может быть выражена и через вторые моменты флуктуаций мгновенных интенсивностей Введем корреляционную матрицу интенсивностей а с элементами такими, что

Так как для нормальных величин

а для аналитических сигналов получаем

Это соотношение тотчас же приводит к равенствам Следовательно, для нормальных процессов и степень поляризации (49.18) можно записать также в виде

т. е. можно находить Р, измеряя моменты флуктуаций интенсивности.

Отметим в заключение, что в случае нестационарных колебаний характеристики поляризации (матрица поляризации или параметры Стокса) будут — в том же квазистационарном приближении, т. е. при пренебрежении сдвигом в комплексных амплитудах, — функциями времени t. Совершенно так же, как и для нестационарной интерференции, вопрос о том, в какой мере колебание поляризовано, может теперь находить различный ответ в зависимости от соотношения между характерными временными масштабами изменения статистических средних и длительностью Т наблюдения (усреднения или накопления). Если, допустим, при достаточно малом Т удается фиксировать поляризационный эллипс определенного размера и формы, то при увеличении Т может оказаться, что

т. e. при больших T колебание будет полностью неполяризованным. То, что целесообразно усреднять по времени наблюдения именно элементы матрицы поляризации скажем, не степень поляризации Р, вычисленную по (49.18) через видно из (49.9): наблюдаемая средняя интенсивность линейно связана с