§ 16. Стационарные процессы

Представление о стационарном процессе может дать, например, наблюдение каких-либо флуктуаций при неизменных макроскопических условиях. Электрический шум в сопротивлении, температура которого постоянна; турбулентность в установившемся потоке; дробовой эффект при постоянном анодном токе и т. п. — все это стационарные случайные процессы. Практически достаточно соблюдения постоянства условий в течение конечного промежутка времени, к началу которого возможные переходные процессы в рассматриваемой системе уже закончились, а в конце еще не начались.

Все вероятностные характеристики стационарной случайной функции не должны, таким образом, меняться при изменении начала отсчета времени. Это значит, что

т. e. (а значит, и соответствующие характеристические функции) могут зависеть только от разностей значений

но не от самих этих значений порознь. Про случайную функцию, удовлетворяющую этому условию, говорят, что она однородна по аргументу t. Этот общий термин используется обычно в том случае, когда под t понимается пространственная координата (например, функция, однородная по абсциссе). Если же параметр t есть время, то однородность по времени большей частью называется стационарностью.

Из определения стационарной случайной функции вытекает, что ее одномерная плотность вероятности вообще не зависит от t, двумерная плотность может зависеть только от трехмерная — от и т. д. Следовательно, и условная вероятность относительно для стационарной функции тоже зависит только от

Во многих случаях у условной вероятности существует стационарный предел при возрастании

т. e. зависимость распределения в момент от значения, принятого в момент при ослабевает и в пределе исчезает. Условная вероятность переходит в стационарную одномерную вероятность состояния. Это обеспечивает так называемую эргодичность процесса, очень важное свойство, которое мы рассмотрим в дальнейшем (§ 20).

Подчеркнем еще раз, что марковские и стационарные процессы не представляют собой двух не перекрывающихся классов. Для процесса без последействия «-мерная плотность вероятности имеет вид (15.3), так что, вообще говоря, стационарности нет. Она будет иметь место, как уже было сказано, тогда, когда, во-первых, марковский процесс однороден (т. е. вероятность перехода v от зависит только от ) и, во-вторых, существует стационарная одномерная функция распределения . С другой стороны, стационарный процесс описывается конечномерными плотностями вероятности , которые зависят только от разностей , но которые при в общем случае непредставимы через вероятности перехода v между двумя последовательными состояниями.

Все приведенные выше определения и свойства легко распространяются, по аналогии с многомерными случайными величинами, на многомерные случайные функции, т. е. совокупности любого числа N одномерных случайных функций Обозначая возможные значения в какой-либо момент времени через мы можем повторить

все сказанное ранее применительно к -мерному распределению

Для марковского многомерного процесса выражается через вероятность состояния и вероятности перехода . Для стационарной функции плотности вероятности зависят только от разностей смотря по тому, меняется ли t дискретно или непрерывно, можно различать многомерные случайные последовательности и процессы и т. д.