§ 58. Фильтрация нестационарных процессов. О спектре средней мощности

Обратимся теперь к фильтрации нестационарных процессов. Нас будут интересовать соотношения между вторыми моментами нестационарного вещественного процесса на входе гармонического фильтра и процесса на его выходе. Мы по-прежнему будем считать, что , а значит, и Величины, относящиеся ко входу и выходу фильтра, мы будем отмечать соответственно индексами

Произвольный линейный фильтр характеризуется, как мы знаем, своим импульсным откликом (функцией Грина) где 0 — момент действия дельта-импульса на входе, момент наблюдения отклика. Для пассивного фильтра должно выполняться при этом условие причинности-, отклик не может предшествовать воздействию, так что

У гармонических фильтров, т. е. у линейных систем с постоянными параметрами, отклик зависит, только от промежутка времени (§ 50):

и, следовательно, при . Такая «односторонность» отклика позволяет во всех интегралах по , содержащих в интегранде , отодвигать верхний предел в Следует, однако, подчеркнуть, что справедливость получаемых ниже интегральных соотношений с бесконечными пределами по времени не связана с обязательным выполнением условия причинности. Это и понятно, так как функция может описывать не только отклик пассивного фильтра, но, например, и какое-либо временное «окно», форму которого можно задавать произвольно (см. ниже).

Целесообразно ввести для описания фильтра некоторые функции, по существу ничего не добавляющие к его основной характеристике но позволяющие придать всем соотношениям между входом и выходом фильтра симметричную форму [38]. Составим симметризованное произведение значений отклика фильтра в два момента времени

При выполнении условия причинности только в области плоскости .

Определим для импульсного отклика фильтра мгновенную спектральную плотность и двумерную плотность , полагая

    (58.2а)

Отсюда ясно, что между собой обе спектральные плотности связаны соотношениями

    (58.4а)

Нетрудно выразить через функцию передачи фильтра т. е. через трансформанту Фурье от импульсного отклика

    (58.5а)

откуда

    (58.5б)

В соответствии с определением , учитывая вещественность

и пользуясь разложением (58.5а), находим

Переходя при помощи (57.7) к переменным Q и со, получаем

Сопоставление этого выражения с (58.3а) показывает, что

Если отвлечься от того, что случайная функция, а как мы пока считаем, - детерминированная функция, связанная, сверх того, условием причинности (58.1), то все соотношения для обеих функций формально одинаковы. Разложение (57.1) аналогично интегралу (58.5а) для , момент аналогичен функции , а выражение (57.8) для выражению (58.6) для . С той же оговоркой разложения (57.9), (57.13) и (57.16) для случайного процесса аналогичны соответственно разложениям (58.3), (58.2) и (58.4) для фильтра. Это и позволяет записать связи между процессами на входе и выходе фильтра в форме, совершенно симметричной относительно характеристик фильтра и входного процесса.

Для получения этих связей можно исходить как из интеграла Дюамеля, так и из соотношения между спектральными амплитудами

которое справедливо для установившегося отклика независимо от того, стационарен процесс или нет (см. задачу 2). Из этого соотношения следует, что

Переходя здесь к переменным вводя и пользуясь (58.6), получаем для двумерной спектральной плотности процесса на выходе фильтра выражение

Если процессы стационарны, так что

то (58.7) переходит в известное соотношение (50.10) для одномерных спектральных плотностей:

Согласно (57.166) и (58.46) двумерные плотности представляют собой трансформанты Фурье (по t) от мгновенных плотностей . Следовательно, в соответствии с обратной теоремой о спектре свертки (§ 42), имеем для мгновенных плотностей на входе и выходе фильтра связь

В свою очередь мгновенные плотности — это, согласно (57.136) и (58.26), трансформанты Фурье (по от функций Следовательно, по той же теореме

    (58.10)

Симметрия полученных относительно характеристик входного процесса и фильтра позволяет рассматривать как детерминированный процесс на входе, a - как реализацию случайного импульсного отклика, т. е. отклика случайной гармонической системы, характеризуемой функциями Конечно, при такой перемене ролей можно снять условие причинности с но необходимо наложить его на

Посмотрим теперь в качестве примера, что происходит при прохождении нестационарного процесса через полосовой фильтр, у которого отлично от нуля в интервалах ширины симметрично расположенных около частот

Множитель выделяет на плоскости четыре области пропускания, обозначенные на рис. 77 буквами А, В, С и D и имеющие форму «квадратов» со стороной Если полоса фильтра достаточно узка то, как

показывает простее сопоставление рис. 77 и 76, на выходе фильтра получится модулированный нестационарный процесс.

Если момент входного процесса обладает наименьшим масштабом по t (т. е. наибольшим масштабом по Q), то при условии спектральная «масса» процесса будет практически отсутствовать в квадратах С и D, так что отклик будет определяться «содержимым» только квадратов А и В. Для квазистационарного входного процесса указанное условие обычно выполнено с избытком т. е. справедливо сильное неравенство Соотношение же между шириной двумерного спектра по оси Q и полосой фильтра может быть различным.

Рис. 77.

В том случае, когда спектральная «масса» сконцентрирована вблизи оси , т. е. вблизи диагоналей квадратов А и В. Фильтр при этом практически не обрезает спектральной «массы» в направлении оси Q, и поэтому интегрирование по площадям квадратов А и В можно распространить по полагая вместе с тем, что функция передачи равна своему значению на оси :

Согласно и (58.7) мы получаем тогда

откуда, в соответствии с (57.16а),

    (58.11)

Очевидно, - это квазистационарная версия обычного (стационарного) соотношения (58.8) между спектральными плотностями на входе и выходе фильтра. Из (58.11) и (57.13а) вытекает и квазистационарная формула для

Другими словами, изменения со временем в рассматриваемом случае настолько медленны, что фильтр успевает хорошо следовать за ними, как если бы входной процесс в каждый момент времени был стационарным — с характеристиками, взятыми в этот же момент. При таких условиях действительно играет роль мгновенной спектральной плотности.

Остановимся в заключение на упомянутом в § 57 вопросе о меняющемся со временем спектре средней мощности нестационарного процесса. Разные способы построения неотрицательной функции t и , которую можно было бы истолковать в указанном смысле, основаны на использовании операций фильтрации и сглаживания. Мы приведем здесь решение вопроса, даваемое в работе

Назовем «временным окном» вещественную функцию положительную в некоторой Г-окрестности момента времени и близкую к нулю вне этой окрестности. Произведение представляет собой «порцию» процесса выделенную окном в Г-окрестности момента . Средняя мгновенная (по 0) пропускаемая окном мощность равна а полная средняя мощность

    (58.12)

Если мы хотим считать средней локально-сглаженной мощностью процесса то надо потребовать, чтобы интеграл

от нее по t был равен полной средней энергии т. е. должно быть

Очевидно, это будет выполнено при следующей нормировке временного окна:

    (58.13)

Для произвольной (и в общем случае комплексной) функции со спектральной амплитудой справедливо равенство (теорема Парсеваля)

    (68.14)

Полагая получаем из статистически усредненного равенства (58.14)

    (58.15)

Таким образом, средняя локально-сглаженная мощность процесса представлена в виде интеграла по всем частотам от вещественной неотрицательной (и, как легко видеть, четной по ) функции:

    (58.166)

При нормировке (58.13) полная средняя энергия процесса есть

В работе [38] функция названа - плотностью физического спектра процесса

Выражение (58.16) было выведено как частотное разложение локально-сглаженной средней мощности . Можно получить и другое выражение для , исходя из «частотного окна» да (со), сопряженного по Фурье с :

    (58.17)

Пользуясь, кроме того, спектральным разложением (57.1) процесса и теоремой о спектре свертки (применительно к функциям находим, что

Поэтому (58.16) можно записать и через частотное окно:

    (58.186)

где — по-прежнему двумерная спектральная плотность процесса

Интегрируя (58.186) по времени от до и учитывая, что интеграл от экспоненты равен , находим

    (58.19)

Следовательно, - плотность физического спектра можно толковать и как временное разложение локально-сглаженной средней спектральной плотности Интегрирование (58.19) по всем со должно давать полную среднюю энергию

процесса равную

Отсюда следует, что нормировка частотного «окна» должна быть такой:

    (58.20)

Сглаживание при помощи временных и частотных «окон» широко применяется при исследованиях нестационарных процессов, например, в акустике — при анализе речи. По понятным причинам в таких измерениях используются окна простой формы, т. е. такие, у которых произведение размытостей [Г у функции и В у ее трансформанты Фурье не сильно превышает свою нижнюю границу: ТВ (§ 50). Очевидно, этим же соотношением связаны и интервалы сглаживания — по в (58.16а) и по со в (58.18а).

Выясним теперь, как связана плотность физического спектра со вторыми моментами процесса -моментом , двумерной спектральной плотностью и, что самое интересное, с мгновенной спектральной плотностью На первые два вопроса отвечают формулы (58.16б) и (58.18б). Если перейти к новым переменным интегрирования, а именно положить в (58.18б), то получим

    (58.216б

Отсюда видно, что для временного окна целесообразно ввэсти функцию

аналогичную функции для фильтра. Напомним, что введение и ее трансформант Фурье (58.2) — (58.4) ни в какой мере не было связано с выполнением условия причинности для , так что те же формулы справедливы и для . В частности [см. (58.2)],

    (58.22а)

Через формула (58.21а) записывается в виде

    (58.23)

Разложения Фурье (58.22а) для и (57.13а) для позволяют с помощью теоремы о спектре произведения двух функций получить выражение со; w) через мгновенную спектральную плотность процесса

    (58.24)

Таким образом, - плотность физического спектра нестационарного процесса (всегда, как мы видели, неотрицательная) представляет собой результат сглаживания его мгновенной спектральной плотности (которая может быть и локально-отрицательной) как по времени, тк и по частоте — с интервалами сглаживания Т и В, связанными соотношением размытостей. Весовой функцией при таком двойном сглаживании служит мгновенная спектральная плотность временного окна называемая в [38] мгновенной спектрально сглаживающей функцией.

В выражении (58.23) для плотности физического спектра производится сглаживание по времени t, а по сдвигу — преобразование Фурье произведения Естественно ожидать (и расчет, аналогичный проделанным выше, это подтверждает), что в выражении через двумерные спектральные плотности будет наоборот: сглаживание по и преобразование Фурье по Q от произведения

Действительно, указанное выражение таково:

    (58.25)

Убедимся теперь в том, что для квазистационарного процесса, у которого зависимости моментов от времени t медленны в масштабе ширины Т временного окна, мгновенная плотность физического спектра совпадает с мгновенной плотностью Это можно установить различными способами, но мы будем исходить из формулы (58.24).

Поскольку меняется в функции от медленно по сравнению с , можно принять и тогда

    (58.26)

Но из формул и (58.6), записанных не для фильтра, а для окна , имеем

а так как интеграл по t от экспоненты в пределах равен отсюда следует, что

Подставив это в (58.26), получаем

Наибольшую частотную информацию физический спектр содержит при предельно узком частотном окне и, соответственно, . В этом случае, в согласии с нормировкой (58.20), что и приводит к указанному результату:

    (58.27)

Заметим, что из (58.27) вытекает, в частности, что мгновенный спектр квазистационарного процесса неотрицателен.

Не имея возможности остановиться здесь на многих других интересных вопросах спектрального анализа нестационарных

процессов [в том числе на том, как приближенно реализуется операция получения - плотности физического спектра], мы отсылаем читателя к статье [38]. Подчеркнем только еще раз различие между фильтрацией и действием временного окна, ограничившись при этом формулами для мгновенных спектральных плотностей.

Согласно (58.9) фильтр осуществляет временное сглаживание входной мгновенной плотности при помощи весовой функции , т. е. своей собственной мгновенной спектральной функции. В отличие от этого «выход» окна, т. е. функция получается, согласно (58.24), в результате двойного сглаживания мгновенной плотности на «входе» — и по времени, и по частоте. Отсюда проистекают отличия и в других формулах, описывающих действие фильтра и временного окна.