§ 10. Функция распределения импульсного пуассоновского процесса

Нахождение характеристической функции, будучи равносильно нахождению функции распределения, оказывается более простой задачей и для случайной величины (8.9):

так как слагаемые независимы. Поэтому характеристическая функция (8.9) [т. е. условная функция — при условии, что в интервале было импульсов] равна

В свою очередь характеристическая функция для (очевидно, не зависящая от номера импульса v) есть

Мы не пишем здесь пределов в интегралах по а, подразумевая, что интегрирование по а распространяется на всю область возможных значений (конечную или бесконечную) компонент этой -мерной случайной величины. Что касается распределения моментов возникновения импульсов то теперь, конечно, нельзя воспользоваться формулой (8.4), так как речь идет об импульсах, появляющихся не где угодно на оси t, а обязательно (с достоверностью) внутри интервала Это значит, что равномерное распределение t должно быть пронормировано к единице на этом интервале:

Таким образом,

Обращая по Фурье формулу (8.7) [или полагая в ], мы получаем соотношение между безусловной и условной характеристическими функциями:

Подстановка в (10.3) выражений (8.5) для и (10.2) для дает

что можно записать также в виде

В последнем выражении введена новая переменная интегрирования

Заметим теперь, что скобка под интегралом по 0 отлична от нуля только при тех 0, для которых т. е. в пределах импульса. Поэтому для всех t, отступающих от краев интервала не менее чем на длительность импульса (пренебрежение краевыми эффектами), можно раздвинуть пределы интегрирования по или, другими словами, устремить Г в бесконечность. Далее мы будем делать такой переход, не оговаривая его каждый раз заново, но следует помнить, что он возможен лишь при достаточно быстром убывании при . В результате

Итак, характеристическая функция получена. В показателе экспоненты в (10.4) стоит логарифм этой характеристической функции. В его разложении по степеням коэффициентами при являются, как мы знаем, кумулянты распределения . Разлагая этот показатель в ряд по степеням получаем, что кумулянт есть

В частности, для первого и второго кумулянтов, т. е. для среднего значения и дисперсии имеем

В случае, когда — одномерная случайная величина, представляющая собой просто «амплитуду» импульса [процесс вида (8.1)], формулы (10.6) принимают вид

Заметим, что либо при либо при нулевой площади импульса Наконец, если «амплитуда» фиксирована, скажем, [другими словами, плотность вероятности есть ], то мы приходим к формулам, первоначально полученным Кембеллом [1]:

Как характеристическая функция (10.4), так и кумулянты (10.5) содержат единственную характеристику «густоты» импульсов, а именно — среднее число импульсов в единицу времени. Кроме того, все указанные величины не зависят от времени t. В этом проявляется стационарность рассматриваемого процесса, о чем еще будет идти речь в дальнейшем.

Разумеется, полученные формулы охватывают элементарную теорию дробового эффекта, которая была развита ранее (§ 5). Пусть отдельные импульсы одинаковы , и пусть форма импульсов — прямоугольник продолжительности и высоты (рис. 3). Таким образом,

Согласно (10.7) для импульсного тока получаем

На первый взгляд выражение для находится в противоречии с полученным ранее [формула (5.2)], так как теперь в знаменателе стоит длительность импульса , т. е. величина порядка времени пролета электрона, тогда как в (5.2) в знаменателе находилось время наблюдения действительности никакого противоречия нет, так как формула (10.9) дает дисперсию мгновенного тока , в то время как (5.2) — это дисперсия тока, уже усредненного по промежутку времени Т, т. е. дисперсия величины

Естественно, что флуктуации сглажены по сравнению с флуктуациями и тем сильнее, чем больше Т. Нетрудно убедиться в том, что для получается прежнее выражение (5.2) (см. задачу 6).

Полагая , мы получали модель дробового эффекта. Если же значения случайного параметра кратны заряду электрона, то процесс

может при подходящем распределении вероятностей для описать ток вторичной электронной эмиссии и его флуктуации: электрон первичного тока порождает случайное число вторичных электронов. Вместо формул (10.9) мы получим при этом для моментов

Рис. 3.

Зная характеристическую функцию (10.4), мы в принципе знаем и ее трансформанту Фурье, т. е. плотность вероятности процесса Однако вычисление соответствующего интеграла Фурье в замкнутом виде осуществимо лишь в немногих простейших случаях. Если, например, процесс состоит из одинаковых прямоугольных импульсов фиксированной амплитуды а и длительности

то (10.4) дает

Но это характеристическая функция распределения Пуасеона с параметром и дискретными возможными значениями па, где

    (10.12)

В общем же случае решенная задача как раз такова, когда целесообразно искать не функцию распределения, а характеристическую функцию, что мы и сделали выше.

Однако при определенных условиях можно установить, что (10.4) принимает некоторый универсальный вид. Выясним, каков этот вид и в чем состоят упомянутые условия.

Обращая характеристическую функцию

по Фурье, находим плотность вероятности

Если ввести обозначения

и, начиная с разложить экспоненту под интегралом по степеням то почленное интегрирование приводит к представлению в виде ряда по производным Собрав в этом ряде члены одного порядка относительно , мы получаем так называемый ряд Эджворта

Первый член здесь порядка второй — порядка третий и т. д. Все члены пропорциональны , а первый член есть просто нормальное распределение для Очевидно, с ростом т. е. с увеличением «густоты» импульсов, первый член будет все более преобладать, т. е. распределение будет приближаться к нормальному.

Сделаем грубую оценку того значения при котором уже можно ограничиться первым членом ряда (10.13). Два первых члены ряда в раскрытой форме таковы:

Наличие экспоненциального множителя позволяет не рассматривать большие значения х, при которых уже очень мало. Если ограничиться , то . Значит, условие малости второго члена будет

или, если отбросить коэффициент порядка единицы,

Если и длительность импульса порядка , то

интеграл в числителе будет порядка , а в знаменателе — порядка так что написанное условие сведется к следующему:

Это означает, что число импульсов, возникающих за длительность одного импульса, должно быть достаточно велико. Можно выразить то же самое и несколько иначе. В момент времени t величина слагается из тех импульсов, которые возникли в интервале времени от до так как более ранние импульсы к моменту t уже успели «затухнуть». Следовательно, — это в среднем число слагаемых из которых состоит

в каждый данный момент. Условие (10.14) говорит, таким образом, о том, что распределение тем ближе к нормальному, чем больше импульсов налагается в каждый момент времени. Если толчки редкие, то распределение будет существенно зависеть от формы индивидуального толчка, нормального распределения не будет. Прийти к нему можно либо учащая толчки, либо увеличивая длительность импульса. В обоих случаях число толчков за время одного импульса будет расти.

Этот результат представляет собой весьма частный случай так называемой центральной предельной теоремы теории вероятностей. По сути дела, здесь было воспроизведено доказательство этой теоремы, но применительно к очень специальным условиям рассмотренной задачи. Мы увидим в дальнейшем (§ 13), что и найденный результат, и условие (10.14) непосредственно вытекают из гораздо более общих положений.

В работе Джильберта и Поллака [3] распределение импульсного процесса (8.1) было найдено для некоторых форм импульса в явном виде и в общем случае, т. е. без предельного перехода к «густому» шуму . Во-первых, авторы показали, что процесс (8.1) и даже более общий процесс

    (10.15)

всегда можно свести к шуму вида

с такой формой импульса что распределение

будет для (10.15) и (10.16) одним и тем же. Во-вторых, для они вывели (двумя различными способами) интегральное уравнение

которое и сумели решить для некоторых форм импульса F(t).

Конечно, для прямоугольных импульсов высоты а и длительности Ф этому уравнению удовлетворяет распределение Пуассона (10.12), которое, как мы помним, переходит с ростом в распределение Лапласа, т. е. при сглаживании ступенек высоты а — в нормальное распределение.

Если форма импульса задана следующим несколько искусственным образом (рис. 4; через у на нем обозначена постоянная Эйлера):

то распределение получается экспоненциально-степенным («непрерывным пуассоновским»):

    (10.17)

где . С ростом а оно также переходит в нормальное.

К сожалению, для такой важной формы импульса, как затухающее колебание (импульсная функция резонансного контура), уравнение для W удается решить только численными методами, но и такую возможность следует рассматривать как определенное достижение.

Рис. 4.

Отметим, что (10.17) представляет собой частный случай так называемого гамма-распределения:

    (10.18)

характеристическая функция которого есть

а среднее значение и дисперсия следующим образом выражаются через положительные параметры а и

Очевидно, (10.17) следует из (10.18), если параметр и (называемый масштабным) положить равным единице. При целочисленных значениях имеем из (10.18)

Обычно это распределение записывают через параметр (так что ):

    (10-20)