§ 26. Непрерывные марковские процессы. Уравнение Эйнштейна — Фоккера

В уравнении Смолуховского (22.1) промежуточный момент времени 0 может быть выбран между и t произвольным образом. Возьмем его весьма близким к t, положив

(рис. 16), и сделаем предположения о существовании следующих пределов.

Во-первых, мы предполагаем, что

Смысл этого выражения очевиден: — это условное среднее значение перемещения за время из фиксированной точки так что — это средняя скорость изменения состояния в момент t в точке у (так называемый коэффициент сноса).

Рис. 15.

Во-вторых, мы допускаем, что

Величина есть мера разброса конечных точек х относительно фиксированной исходной точки у. Предполагается, таким образом, что этот разброс при удалении от момента на растет по диффузионному закону, т. е. пропорционально Предположения (26.1) и (26.2) воспроизводят условия (24.2), которые мы приняли, когда рассматривали схему с дискретными скачками (§ 24). Коэффициент или, точнее, называется коэффициентом диффузии.

В дальнейшем мы подойдем к описанию марковского процесса еще с иной точки зрения, пользуясь представлением о случайных толчках или случайной силе, действующей на рассматриваемую систему. Мы увидим тогда, что характеризует интенсивность толчков.

В-третьих, предположим, что

Мы считаем, таким образом, что вероятность больших изменений достаточно быстро стремится к нулю при настолько быстро, что убывает быстрее т. Именно это требование и позволяет рассматривать х в системе, подвергающейся действию случайных толчков, как непрерывно меняющуюся величину, т. е. как среднее за время, гораздо большее

промежутка между случайными толчками. Выводы, полученные при предположении (26.3), неприменимы, следовательно, к промежуткам , малым по сравнению со временем между толчками. Например, вероятность соударения молекул газа за время , малое по сравнению со временем свободного пробега О, есть При соударении скорость молекулы и (которая и представляет собой в этом случае величину х, описывающую состояние молекулы) меняется в среднем на конечную величину Следовательно, для

и условие

не выполнено.

Принимая условие (26.3), мы ограничиваемся марковскими процессами, у которых непрерывно не только множество возможных значений, но и само протекание процесса во времени, т. е. смена состояний происходит непрерывно (в вероятностном смысле), без скачков. Такие марковские процессы часто называют диффузионными. Случай скачкообразных изменений состояния будет рассмотрен ниже

Умножим уравнение Смолуховского (22.1), положив в нем , на произвольную функцию , обращающуюся вместе с в нуль на границах области (у нас — в ) и имеющую ограниченную третью производную, Интегрируя по х, получаем

где члене с интеграл по х дает единицу. Перенесем этот член в левую часть, заменим в нем переменную интегрирования у на х, разделим все уравнения на и перейдем

к пределу при . Это дает

Последний член в правой части ввиду ограниченности q и условия (26.3) равен нулю. Заменив теперь и справа у на х и выполнив интегрирование по частям [с учетом того, что ], получаем ввиду произвольности

Это параболическое уравнение (типа диффузионного) и есть уравнение Эйнштейна — Фоккера (иногда его называют уравнением Фоккера — Планка или вторым уравнением Колмогорова). Полученное ранее уравнение (24.3) представляет собой, очевидно, частный случай (26.4), соответствующий постоянным А и В.

Решение уравнения (26.4) должно быть неотрицательно, нормировано к единице и должно удовлетворять начальному условию

Наглядно уравнение (26.4) можно истолковать следующим образом. В момент из точки выходит большое число (ансамбль) частиц, движущихся независимо друг от друга. Их концентрация (относительная «частота») в точке х в момент t будет . Поток частиц S складывается из систематического («гидродинамического») потока где А — скорость систематического движения в точке х в момент t, и из диффузионного потока , где коэффициент диффузии:

Тогда уравнение Эйнштейна — Фоккера — это просто уравнение

непрерывности:

выражающее сохранение числа частиц

Нетрудно показать, что рассматриваемая как функция начальных переменных удовлетворяет сопряженному уравнению (в смысле сопряженности линейных операторов ):

Это уравнение называют первым уравнением Колмогорова.

Если в начальный момент задано не начальное состояние , а начальное распределение то, поскольку двумерная плотность вероятности есть

одномерная функция распределения в момент t будет

Умножив (26.4) на и проинтегрировав по нетрудно убедиться, что вероятность состояния удовлетворяет тому же уравнению:

Начальным условием здесь, конечно, будет

причем решение также должно быть неотрицательно и нормировано к единице. Рассмотрим некоторые следствия и частные случаи уравнения (26.4).

Введем условные моменты

т. e. средние значения в момент t при условии, что . Умножим (26.4) на и проинтегрируем по х от до . Интегрируя члены с А и В по частям и предполагая, что проинтегрированные выражения исчезают на границах (у нас — ), получаем

В частности, для

    (26.11)

Подчеркнем для ясности, что функции согласно их определениям (26.1) и (26.2), — это детерминированные функции. Черта над ними в (26.10) — (26.12) означает усреднение по условному распределению случайного аргумента х этих функций.

Если А и В — ряды (или полиномы) по степеням х, то (26.10) представляет собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений для моментов . В общем случае все уравнения этой бесконечной системы «зацепляются», т. е. содержат моменты разных порядков. Это относится и к уравнению (26.10). Хотя из него и выпало влияние диффузионного потока вероятности не является уравнением феноменологической кинетики или динамики, которое должно быть замкнутым (содержащим только момент х). Исключением является только тот случай, когда -линейная функция . Тогда уравнение (26.11) отщепляется и становится замкнутым:

Во всяком случае из (26.11) мы можем сделать вывод, что могут различаться только слагаемым, среднее значение которого равно нулю:

    (26.13)

— замечание, которым мы еще воспользуемся (§ 37).

Возьмем теперь стационарный марковский процесс. Вероятность перехода зависит в этом случае от так что, согласно (26.1) и (26.2), А и В не зависят от t. Одномерная вероятность состояния, если она существует, вообще не зависит от t (§ 16). В результате для получаем из (26.8) уравнение

Если на границах области изменения х стационарный поток

то интегрирование дает, что он равен нулю всюду:

Для бесконечной области изменения х условия при имеют место при положительном и отличном от нуля В и при или соответственно для или причем в обоих случаях Интегрируя последнее уравнение, получаем

    (26-14)

Постоянная С определяется из условия нормировки.

Примером, когда стационарное распределение существует, может служить брауновское движение частицы при наличии силы тяжести над отражающей границей. Очевидно, на отражающей границе должно быть выполнено именно условие обращения потока S в нуль, так что выражение (26.14) справедливо; при постоянных А и В оно дает

т. е. барометрическую формулу. Как известно (см. [7], § 53),

где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. Следовательно,

Стационарная вероятность соответствует именно той вероятности состояния, которая рассматривается в статистической

термодинамике. Для изотермической системы распределение является каноническим, для адиабатически изолированной системы — микроканоническим.

Укажем еще на процесс, однородный по абсциссе (процесс типа Башелье). В этом случае вероятность перехода зависит только от и, следовательно, по (26.1) и (26.2), А и В могут зависеть от t, но не от Уравнение (26.4) принимает вид

    (26.15)

Замена переменных

приводит это уравнение к виду

так что в первоначальных переменных решение для неограниченной области есть

В работе [12] подробно исследована гораздо более общая постановка вопроса — о дифференциальном уравнении для плотности условной вероятности любого случайного процесса с непрерывным множеством состояний. Под понимается совокупность условий

причем могут быть и разными случайными процессами, а множество Т моментов времени может быть и неупорядоченным. Существенно только то, что момент времени t не принадлежит к множеству Т.

Исходным является, конечно, уже не уравнение Смолуховского, а формула для полной плотности условных вероятностей:

где и , вообще говоря, различные функции. Показано (см. задачу 16), что для плотности условной вероятности справедливо уравнение вида

    (26.18)

Допустимо, что пределы справа и слева могут быть здесь различны, но, по предположению, они конечны. Для коэффициентов показано, что если для какого-нибудь четного коэффициент то для всех . Другими словами, если порядок уравнения (26.17) конечен, то он должен быть не выше второго, и тогда получается обобщенное уравненение Эйнштейна — Фоккера:

В частном случае марковских процессов совокупность условий сводится к какому-либо одному предшествующему (или последующему) состоянию самого процесса , а функция v совпадает с v. Указанная теорема об обращении в нуль всех с , разумеется, остается в силе, так что уравнение (26.19) превращается в диффузионное уравнение (26.4) для плотности вероятности перехода .

В принципе, если известны коэффициенты вида

уравнения (26.17) или (26.19) позволяют найти все условные плотности , а значит, и любую -мерную функцию распределения:

Предполагается, что существует и либо известно, либо может быть получено из условной плотности вероятностей при отодвигании всех или части времен (выполнение сильного условия эргодичности). Однако реализация этой программы нахождения связана с фундаментальной трудностью, на которую наталкиваются все рассматриваемые чисто вероятностные схемы, в том числе и классическая схема для марковских процессов. Ведь регулярная процедура нахождения коэффициентов требует, чтобы мы уже располагали искомой

условной плотностью вероятностей и (хотя бы для сколь угодно малых времен перехода ). Сверх того, если допустить, что откуда-то известны, имеется немало и других трудностей, но они носят более технический характер. Они связаны со сложностью самих уравнений, с необходимостью разбивать область возможных значений на участки, в которых у и ее производные непрерывны, с установлением правильных граничных условий для искомого решения и т. д.

К тому, что уравнения вида (26.17) или (26.19) верны и для немарковских процессов, независимо пришел ряд авторов, наряду с автором цитируемой работы [12], в которой проведен наиболее полный анализ вопроса. Теория легко распространяется и на многомерные случайные процессы. Переходя в следующем параграфе к этому обобщению, мы вернемся к марковским процессам и снова ограничимся диффузионным уравнением Эйнштейна — Фоккера.