§ 12. Некоторые обобщения задачи об импульсах

В основе предыдущих выводов лежало предположение о том, что плотность вероятности возникновения импульса в промежутке постоянна и, следовательно, не зависит ни от момента времени t, ни от наличия и положения других импульсов. Отказ от любого из этих допущений ведет к более общим случаям.

Если вероятность появления импульса в зависит от промежутков времени между t и моментами возникновения некоторого числа предшествующих импульсов, то это будет уже условная вероятность. Рассмотрим первоначально именно эту задачу, но ограничимся случаем, когда на вероятность появления импульса влияет только импульс, т. е. эта

вероятность зависит от времени , протекшего с момента появления импульса:

Естественно ожидать, что с ростом О влияние импульса ослабевает, т. е. .

Раньше у нас было при всяком [т. е. распределение (12.1) было безусловным], и это давало для числа импульсов в интервале ) распределение Пуассона. Теперь распределение , конечно, не будет пуассоновским, и соответствующее изменение моментов будет интересовать нас в первую очередь.

Как связана с вероятность того, что промежуток после импульса пустой? Очевидно, вероятность пустого промежутка равна произведению вероятности пустого на условную вероятность того, что при пустом интервал тоже пустой. «Не пустой» интервал означает, что в нем может возникнуть не только импульс, но и и т. д. Мы уже видели, однако, что вероятность появления импульсов в бесконечно малом интервале является величиной порядка Поэтому условная вероятность пустого с точностью до первого порядка малости по равна Таким образом,

Ограничиваясь и слева первым порядком относительно и выполнив интегрирование, находим

Введем, далее, вероятность того, что между двумя последовательными импульсами протекло время от до Эта вероятность равна произведению вероятности пустого на условную вероятность (12.1) появления импульса в при пустом

Обратимся теперь к непосредственно интересующей нас вероятности появления в интервале (0, Т) импульсов.

Событие импульсов в можно разбить на взаимно исключающие частные случаи, состоящие в том, что последний импульс возник за время до конца интервала . Обозначив вероятность такого частного случая через имеем

Но можно записать как произведение вероятности того, что интервал пустой (т. е. n-й импульс последний), на вероятность того, что импульс появился в конце интервала равную

Следовательно,

Вероятности же удовлетворяют следующему интегрально-разностному уравнению:

Действительно, под интегралом мы имеем произведение вероятностей того, что импульс появился в конце интервала , и того, что между импульсами прошло время , т. е. импульс оказался в конце интервала (0, Т). Разные значения дают взаимно исключающие частные случаи события импульс в конце полная вероятность которого и записана в (12.5).

Решая (12.5) при заданных мы получаем что позволяет при помощи (12.4) вычислить . Однако прямое осуществление этой программы довольно сложно.

В цитируемой работе [6] задача решается асимптотически (для Достаточно больших Т) при помощи преобразования Лапласа и введения моменто-производящей функции

При больших Т эта функция зависит только от [но не от ] и может быть представлена рядом по степеням 0, коэффициенты которого выражаются через (асимптотические)

значения . Таким путем получается, в частности, что

Для некоррелированных импульсов (12.1) имеет вид (§ 8)

где — среднее число импульсов в единицу времени в этом случае. Соответственно формулы (12.2) и (12.3) дают следующие выражения для вероятности пустого промежутка Ф после импульса:

и для вероятности промежутка между последовательными импульсами:

Если для больших отождествить , т. е. с вероятностью того, что первый (он же последний) импульс появился в конце пустого промежутка (0, §), то прямой расчет по формуле (12.5) дает

а по (12.4) получаем распределение Пуассона:

согласно которому

К тому же результату приводят, конечно, и формулы (12.6) при

Рассмотрим теперь примеры иного задания

1. Пусть - плотность гамма-распределения:

Если то вероятность промежутка между импульсами спадает с ростом О быстрее, чем в случае который

соответствует отсутствию корреляции, т. е. формуле Таким образом, при мы имеем «притягательную» корреляцию: импульс повышает вероятность последующего импульса. Напротив, при корреляция «отталки-вательная». Расчет по формулам (12.6) дает

Из выражения для видно, что теперь среднее число импульсов в единицу времени есть

Если в общие выражения (12.6) ввести густоту импульсов при отсутствии корреляции, то можно записать их в виде

где

В нашем примере

Выражения вида. (12.8) получаются при расчете дробового эффекта с учетом влияния объемного заряда. Величина называется коэффициентом депрессии, так как (в случае она показывает, в какой мере дробовой шум подавлен по сравнению с его уровнем при отсутствии объемного заряда. Вычислению в зависимости от различных физически интересных условий посвящено много работ. Из теории, развитой Домбом, видно, что у и выражаются в общей форме в терминах корреляции между событиями, так что задача физической теории депрессии дробового эффекта может быть формулирована как задача отыскания вида распределения или . Подавление дробового шума при наличии объемного заряда означает, что последний создает «отталкивательную» корреляцию между импульсами анодного тока.

2. Счетчик частиц восстанавливается после пролета частицы в течение постоянного промежутка времени , т. е. вероятность регистрации частицы в течение времени равна нулю, после чего имеет место равномерное распределение . Таким образом,

Это дает

так что по (12.9)

т. е. всегда , чего, конечно, и следовало ожидать.

3. Пусть

Первый член означает, что имеются конечные вероятности одновременного наступления двух, трех и т. д. событий. В этом случае

и, следовательно,

Здесь всегда

Обратимся теперь к случаю независимых моментов возникновения импульсов, но с неравномерным распределением Вероятность появления импульса в интервале теперь по-прежнему не зависит от того, имелись ли и в каком количестве импульсы до момента времени t, но зависит от этого времени. Отсчет t производится от какого-то фиксированного начального момента Ясно, что этим вносится известная упорядоченность: густота толчков будет явно зависеть от t, и тем самым процесс уже не будет стационарным. Как изменятся формулы для среднего значения, среднего квадрата и функции корреляции импульсного процесса

Можно показать, что и в этом случае для вероятности импульсов в интервале остается в силе закон Пуассона с параметром

(см. задачу 10). Вероятность же того, что импульс, заведомо появившийся в интервале (0, Т), возник в промежутке внутри (0, Т), будет

[При мы возвращаемся к распределению ] С этими отличиями надо повторить те же выводы, которые были сделаны выше при постоянном , в §§ 10 и 11. Так, например, теперь

В результате получаем

    (12.10)

откуда, в частности,

    (12.12)

Согласно (12.10) и (12.12) среднее значение и дисперсия теперь не постоянны, а зависят от t, в чем проявляется нестационарность процесса. Функция корреляции (12.11), характеризующая статистическую связь между , зависит теперь не только от временного сдвига , но и от исходного момента времени t. Разумеется, если положить , то формулы перейдут в полученные ранее.

Предположим, что есть некоторая почти периодическая (в частности, периодическая) функция времени. Тогда такой же почти периодический (соответственно периодический) характер

будут иметь и моменты (12.10) — (12.12) рассматриваемого нестационарного процесса.

Если на протяжении одного импульса, т. е. за время успевает много раз проосциллировать, т. е. меняется быстро по сравнению с , то практически в интегралы даст вклад только среднее значение равное Мы получим тогда

т. е. формулы для стационарного процесса со средним по времени значением числа импульсов в единицу времени

Такое положение вещей имеет место, например, в усилителе промежуточной частоты. Гетеродин меняет параметры шумящего смесителя с высокой частотой в результате чего с этой частотой меняется густота импульсов дробового шума. Длительность же отдельного импульса на выходе усилителя промежуточной частоты определяется, как известно, его полосой . Таким образом, и шум на выходе усилителя промежуточной частоты можно рассматривать как стационарный.

Напротив, если изменение очень медленное, т. е. на протяжении длительности импульса § функция практически не меняется, то в интегралах можно принять и вынести этот множитель из-под интегралов. Мы получаем тогда квазистационарное изменение статистических характеристик процесса:

В каждый момент времени t процесс ведет себя как стационарный со значением густоты импульсов, взятым в этот момент. Так будет обстоять дело, например, при прохождении шума через линейную систему с медленно «ползающими» параметрами.

В дальнейшем нам еще не раз придется вернуться к случайным процессам, представляющим собой хаотическую последовательность импульсов, но уже на основе тех методов, которыми располагает теория случайных функций. Прежде чем перейти к этим методам, остановимся на вопросе о том, как связан асимптотический результат, полученный в § 10, с центральной предельной теоремой теории вероятностей.