§ 11. Корреляционная функция

Рассматривая как случайную величину, мы нашли в предыдущем параграфе характеристическую функцию (10.4) и тем самым кумулянты , в частности среднее значение и дисперсию (10.6). Но для вычисления смешанных моментов двух случайных величин , т. е. значений случайного процесса в два различных момента времени, надо знать совместную (двумерную) функцию распределения и или найти соответствующую двумерную характеристическую функцию. Однако мы не будем решать эту задачу, а ограничимся вычислением только смешанного момента , который является одной из важнейших характеристик случайных процессов, поскольку он определяет корреляцию между величинами . В общем случае этот момент зависит от или, если положить — от ; он называется корреляционной функцией случайного процесса :

Так как кумулянт оказался не зависящим от t (как и все ), второй член в правой части (11.1) равен Следовательно, нам надо вычислить только смешанный момент

Схема расчета та же, что и в одномерном случае.

Запишем двумерную плотность вероятности для случайны величин

через условные плотности, вероятности [при условии, что интервал времени содержит импульсов]:

Отсюда следует, что

где

— условный момент, т. е. среднее произведение величин (11.3), но с суммированием, распространенным только на те импульсов, которые содержатся в

Усреднение производится здесь по всем случайным параметрам Так как величины с по предположению независимы, двойную сумму можно разбить на две части:

Но средние значения не зависят в силу наших исходных допущений от номеров импульсов . Поэтому первая сумма содержит одинаковых слагаемых, а вторая - :

где

Сделав в двух первых выражениях замену переменной интегрирования , а в третьем — замену и раздвигая затем пределы интегралов по получаем

Это условное среднее остается усреднить теперь по распределению Пуассона, для которого, как мы знаем, и мы получаем, согласно (11.4), момент второго порядка

где мы воспользовались первой формулой (10.6). Следовательно, корреляционная функция (11.1) есть

Итак, корреляционная функция (и момент ) не зависит от времени i, а только от разности х обоих моментов времени. Это снова результат стационарности рассматриваемого случайного процесса. При формула (11.5) переходит в формулу для дисперсии [см. вторую формулу (10.6)]:

как это и должно быть в соответствии с определением (11.1) корреляционной функции.

Нетрудно видеть, что — четная функция т. При если достаточно быстро убывает при (быстрее, чем стремится к нулю. Ясно, что с ростом сомножители подынтегрального выражения в (11.5) раздвигаются и при указанном условии произведение стремится при больших к нулю быстрее, чем

В частном случае, когда а — одномерная случайная величина, а именно «амплитуда» импульса получаем

Одной из компонент -мерной случайной величины может быть и случайная длительность импульса Пусть независимо от остальных компонент так что распределение должно быть заменено на . Если мы хотим явным образом учесть даваемое случайное изменение длительности импульсов, то целесообразно представить детерминированную функцию F, описывающую форму импульса, в виде Весь вывод характеристической

функции, кумулянтов и корреляционной функции остается при этом таким же, как и выше, но при усреднении по случайным моментам возникновения импульсов — удобно ввести новую переменную интегрирования 0 следующим образом: Тогда распределение перейдет в в пределах от до После раздвигания пределов в параметр сохранится только множителем в подынтегральной функции (а при вычислении корреляционной функции — еще и как масштаб для временного сдвига , т. е. вместо будет . В результате для кумулянтов мы получим вместо (10.5) формулу

а для корреляционной функции вместо (11.5) формулу

где угловыми скобками обозначено для краткости усреднение по распределению а.

Рассмотрим следующий пример. Пусть — одномерная случайная «амплитуда», так что

Пусть, далее, в интервале и равно нулю вне этого интервала, причем длительности распределены по закону

Тогда при

а значит,

Функция корреляции четна, по , так что при произвольном знаке результат можно записать в виде

    (11.10)

Рис. 5 дает представление о характере этого процесса в частном случае фиксированных . Было высказано предположение, что такого рода процесс способен послужить моделью для эффекта мерцания — относительно медленных флуктуаций тока эмиссии, обусловленных локальными изменениями эмиссионной способности поверхности катода [4]. Если причиной этих изменений является присутствие на поверхности примесных атомов, в частности садящихся на катод атомов остаточного газа, то - это случайное мгновенное число таких атомов, a — времена их пребывания на поверхности.

Рис. 5.

Однако подобная модель не согласуется с формой спектра эффекта мерцания, которая в широком диапазоне частот со большей частью близка к (см. § 55). Наряду с попытками усовершенствовать теорию введением набора средних времен пребывания с некоторыми весами или посредством других аналогичных допущений, была высказана мысль о том, что спектр требуемого вида может быть связан с процессом (8.1), если импульсы очень медленно спадают с ростом t), а именно, если при достаточно больших t функция убывает, как Однако при а 1 процесс уже не является стационарным. Мы вернёмся к этому кругу вопросов в дальнейшем, при рассмотрении спектральных разложений случайных процессов.

Приведем в заключение еще один пример импульсного процесса, связанного с пуассоновским. Это — так называемый обобщенный телеграфный сигнал — чередующиеся скачки между значениями —а и +а, причем моменты скачков распределены по Пуассону (рис. 6). Для простоты мы примем среднюю густоту скачков постоянной. Добавление к постоянной составляющей дало бы односторонние импульсы, и тогда

рассматриваемый процесс мог бы служить очень упрощенной моделью флуктуаций проводимости в находящихся под током гранулированных сопротивлениях, представляющих собой конгломерат (чаще всего пленку) из хорошо проводящих контактирующих зерен. Поскольку постоянная составляющая не существенна для статистических свойств процесса, мы будем считать . Распределение моментов смены знака g по Пуассону означает, что длительности импульсов имеют экспоненциальное распределение

Казалось бы, что, рассматривая производную g (t), состоящую из импульсов , мы возвращаемся к уже разобранной задаче — процессу вида (8.1). Легко видеть, однако, что это не так, поскольку теперь является обязательным чередование знаков скачков, в то время как в (8.1) значения были взаимно независимы.

Рис. 6.

Если в интервале знак изменился четное число раз, то того же знака, что и . В противном случае это произведение равно Следовательно, при

где вероятности четного и нечетного числа скачков за время . В соответствии с законом Пуассона

имеем

Следовательно, при

а при любом знаке

    (11.11)

Отметим, что функция корреляции (11.11) совпадает по форме с (11.10), несмотря на совершенно различный вид реализации самих случайных процессов (рис. 5 и 6). Такая же функция

корреляции будет и у процесса (8.1), если он состоит из экспоненциальных импульсов

Несложный расчет по формуле (11.6) показывает, что и в этом случае

    (11.12)

Представление о реализации такого процесса, который может являться откликом -цепочки на случайную последовательность дельта-импульсов, дает рис. 7.

Рис. 7.

Функция корреляции вида часто употребляется в качестве аппроксимации в тех случаях, когда фактическая монотонно спадает, не меняя знака. Такая аппроксимация очень удобна (наряду с гауссовой кривой) для разного рода теоретических оценок и приближенных выводов.