§ 11. Корреляционная функция
Рассматривая
как случайную величину, мы нашли в предыдущем параграфе характеристическую функцию (10.4) и тем самым кумулянты
, в частности среднее значение и дисперсию (10.6). Но для вычисления смешанных моментов двух случайных величин
, т. е. значений случайного процесса
в два различных момента времени, надо знать совместную (двумерную) функцию распределения
и или найти соответствующую двумерную характеристическую функцию. Однако мы не будем решать эту задачу, а ограничимся вычислением только смешанного момента
, который является одной из важнейших характеристик случайных процессов, поскольку он определяет корреляцию между величинами
. В общем случае этот момент зависит от
или, если положить
— от
; он называется корреляционной функцией случайного процесса
:
Так как кумулянт
оказался не зависящим от t (как и все
), второй член в правой части (11.1) равен
Следовательно, нам надо вычислить только смешанный момент
Схема расчета та же, что и в одномерном случае.
Запишем двумерную плотность вероятности для случайны величин
через условные плотности, вероятности [при условии, что интервал времени
содержит
импульсов]:
Отсюда следует, что
где
Это условное среднее остается усреднить теперь по распределению Пуассона, для которого, как мы знаем,
и мы получаем, согласно (11.4), момент второго порядка
где мы воспользовались первой формулой (10.6). Следовательно, корреляционная функция (11.1) есть
Итак, корреляционная функция (и момент
) не зависит от времени i, а только от разности х обоих моментов времени. Это снова результат стационарности рассматриваемого случайного процесса. При
формула (11.5) переходит в формулу для дисперсии
[см. вторую формулу (10.6)]:
как это и должно быть в соответствии с определением (11.1) корреляционной функции.
Нетрудно видеть, что
— четная функция т. При
если
достаточно быстро убывает при
(быстрее, чем
стремится к нулю. Ясно, что с ростом
сомножители подынтегрального выражения в (11.5) раздвигаются и при указанном условии произведение стремится при больших
к нулю быстрее, чем
В частном случае, когда а — одномерная случайная величина, а именно «амплитуда» импульса
получаем
Одной из компонент
-мерной случайной величины
может быть и случайная длительность
импульса
Пусть
независимо от остальных компонент
так что распределение
должно быть заменено на
. Если мы хотим явным образом учесть даваемое
случайное изменение длительности импульсов, то целесообразно представить детерминированную функцию F, описывающую форму импульса, в виде
Весь вывод характеристической
функции, кумулянтов и корреляционной функции остается при этом таким же, как и выше, но при усреднении по
случайным моментам возникновения импульсов — удобно ввести новую переменную интегрирования 0 следующим образом:
Тогда распределение
перейдет в
в пределах от
до
После раздвигания пределов в
параметр
сохранится только множителем в подынтегральной функции (а при вычислении корреляционной функции — еще и как масштаб для временного сдвига
, т. е. вместо
будет
. В результате для кумулянтов
мы получим вместо (10.5) формулу
а для корреляционной функции вместо (11.5) формулу
где угловыми скобками обозначено для краткости усреднение по распределению а.
Рассмотрим следующий пример. Пусть
— одномерная случайная «амплитуда», так что
Пусть, далее,
в интервале
и равно нулю вне этого интервала, причем длительности
распределены по закону
Тогда при
а значит,
Функция корреляции четна, по
, так что при произвольном знаке
результат можно записать в виде
(11.10)
Рис. 5 дает представление о характере этого процесса в частном случае фиксированных
. Было высказано предположение, что такого рода процесс способен послужить моделью для эффекта мерцания — относительно медленных флуктуаций тока эмиссии, обусловленных локальными изменениями эмиссионной способности поверхности катода [4]. Если причиной этих изменений является присутствие на поверхности примесных атомов, в частности садящихся на катод атомов остаточного газа, то
- это случайное мгновенное число таких атомов, a — времена их пребывания на поверхности.
Рис. 5.
Однако подобная модель не согласуется с формой спектра эффекта мерцания, которая в широком диапазоне частот со большей частью близка к
(см. § 55). Наряду с попытками усовершенствовать теорию введением набора средних времен пребывания
с некоторыми весами или посредством других аналогичных допущений, была высказана мысль о том, что спектр требуемого вида может быть связан с процессом (8.1), если импульсы
очень медленно спадают с ростом t), а именно, если при достаточно больших t функция
убывает, как
Однако при а 1 процесс уже не является стационарным. Мы вернёмся к этому кругу вопросов в дальнейшем, при рассмотрении спектральных разложений случайных процессов.
Приведем в заключение еще один пример импульсного процесса, связанного с пуассоновским. Это — так называемый обобщенный телеграфный сигнал — чередующиеся скачки
между значениями —а и +а, причем моменты скачков
распределены по Пуассону (рис. 6). Для простоты мы примем среднюю густоту скачков
постоянной. Добавление к
постоянной составляющей
дало бы односторонние импульсы, и тогда
рассматриваемый процесс мог бы служить очень упрощенной моделью флуктуаций проводимости в находящихся под током гранулированных сопротивлениях, представляющих собой конгломерат (чаще всего пленку) из хорошо проводящих контактирующих зерен. Поскольку постоянная составляющая
не существенна для статистических свойств процесса, мы будем считать
. Распределение моментов
смены знака g по Пуассону означает, что длительности импульсов имеют экспоненциальное распределение
Казалось бы, что, рассматривая производную g (t), состоящую из импульсов
, мы возвращаемся к уже разобранной задаче — процессу вида (8.1). Легко видеть, однако, что это не так, поскольку теперь является обязательным чередование знаков скачков, в то время как в (8.1) значения
были взаимно независимы.
Рис. 6.
Если в интервале
знак
изменился четное число раз, то
того же знака, что и
. В противном случае это произведение равно
Следовательно, при
где
вероятности четного и нечетного числа скачков за время
. В соответствии с законом Пуассона
имеем
Следовательно, при
а при любом знаке
(11.11)
Отметим, что функция корреляции (11.11) совпадает по форме с (11.10), несмотря на совершенно различный вид реализации самих случайных процессов (рис. 5 и 6). Такая же функция
корреляции будет и у процесса (8.1), если он состоит из экспоненциальных импульсов
Несложный расчет по формуле (11.6) показывает, что и в этом случае
(11.12)
Представление о реализации такого процесса, который может являться откликом
-цепочки на случайную последовательность дельта-импульсов, дает рис. 7.
Рис. 7.
Функция корреляции вида
часто употребляется в качестве аппроксимации в тех случаях, когда фактическая
монотонно спадает, не меняя знака. Такая аппроксимация очень удобна (наряду с гауссовой кривой) для разного рода теоретических оценок и приближенных выводов.