Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 13. Импульсный шум и центральная предельная теоремаКак известно, под названием «центральной предельной теоремы» в теории вероятностей фигурирует не одна, а целое семейство теорем различной степени общности, касающихся одного и того же вопроса — предельного распределения суммы независимых случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых. Мы видели (§ 9), что сумма любого числа нормально распределенных величин тоже распределена по гауссову закону. Центральная предельная теорема сразу же выводит за пределы «нормального семейства». Уже в частном примере пуассоновского импульсного случайного процесса (§ 10) мы убедились, что при увеличении «густоты» шума, т. е. увеличении числа независимых импульсов Другой пример того же рода дает теорема Муавра — Лапласа (§ 6), которую нетрудно записать в такой форме, чтобы она относилась к среднему арифметическому (т. е. к сумме независимых случайных величин-фиксаторов
Согласно теореме при неограниченном росте числа N независимых случайных слагаемых Не будет ли нормальное распределение суммы предельным при иных распределениях слагаемых или даже при распределениях, различных для каждого слагаемого? Если это так, то насколько жестким ограничениям должны быть подчинены распределения слагаемых? На эти вопросы и отвечает центральная предельная теорема. Эти вопросы важны потому, что они касаются статистики таких физических величин, на значение которых влияет очень много независимых случайных-факторов, причем каждый из них вызывает лишь весьма малое случайное отклонение. С таким положением рещей мы сталкиваемся и при измерениях, и в флуктуациях макроскопических величин, обусловленных хаотичностью положений и движений огромного количества микрочастиц — молекул, ионов, электронов и т. д. Эта проблема в свое время привлекла внимание уже Гаусса. Чебышев, Марков, Ляпунов дали первое ее решение, показав, что на случайные слагаемые действительно достаточно наложить лишь очень общие ограничения. Смысл этих ограничений именно в том и состоит, что отдельные слагаемые должны мало влиять на сумму, и тем меньше, чем больше Строгое доказательство теоремы дал в 1898 г. Марков, а затем в 1900 г. в более общей форме — Ляпунов. Теорема Ляпунова (вместе с дальнейшими ее обобщениями) и получила название центральной предельной теоремы теории вероятностей. Поясним идею доказательства на очень простом случае теоремы Линдеберга — Леви. В этой теореме (доказанной позже теоремы Ляпунова) содержится очень сильное ограничение: предполагается, что все слагаемые
стремится при
т. е.
откуда
равномерно относительно х при любых фиксированных а и Доказательство теоремы очень простое — благодаря использованию характеристических функций. Пусть 1. Следовательно,
откуда
Для
характеристическая функция есть
При Теорема Ляпунова является более общей в том отношении, что касается суммы неодинаково распределенных независимых случайных величин. И здесь, если предположить, что
Особенно важен случай, когда при
Условие Ляпунова можно записать тогда в виде
т. е. требуется, чтобы у величин Заметим, что в том же случае
Для теории шумов условие Ляпунова означает, что нет больших редких выбросов (если только сами эти выбросы не подчинены нормальному закону распределения), что в каждый момент складывается чрезвычайно много равноправных (в смысле их относительной малости) случайных независимых величин. При этих условиях, выполняющихся для широкого класса шумов, распределение шума будет нормальным. Но при одинаковом распределении шумы могут существенно различаться по другим свойствам, в частности по своим спектрам. Для шумов, возникающих от наложения независимых импульсов, эти различия зависят от особенностей отдельных слагаемых, от формы складывающихся импульсов. Заметим, что проведенный выше вывод условия (10.14), при котором распределение суперпозиции случайных импульсов приближается к нормальному, по сути дела означал применение условия Ляпунова (13.3), причем в данной задаче
|
1 |
Оглавление
|