§ 36. Общий случай уравнения первого порядка и системы таких уравнений при гауссовых дельта-коррелированных воздействиях

Рассмотрим теперь более общий случай нелинейной и неавтономной системы с 1/2 степени свободы (системы первого порядка), описываемой дифференциальным уравнением

где Ф — детерминированная функция и воздействия Последнее предполагается случайным, вообще говоря, нестационарным процессом, зависящим и от состояния х самой системы.

Разбив правую часть уравнения (36.1) на ее среднее значение [по ансамблю случайных воздействий ] и флуктуацию — случайное отклонение от этого среднего:

всегда можно записать (36.1) в виде уравнения с аддитивным случайным воздействием:

где X — детерминированная функция, .

Вопрос о том, при каких условиях решение будет — в данном более общем случае — непрерывным марковским процессом, строго говоря, требует отдельного исследования, но мы ограничимся пока некоторыми наглядными соображениями и фактами, касающимися линейного уравнения (35.5).

Марковость решения уравнения (35.5) приближенно обеспечивается выполнением условия , где — время установления системы, а — время корреляции стационарной силы . Если считать дельта-коррелированной, т. е. положить то указанное условие выполняется при любом сколь угодно малом и процесс оказывается марковским вполне строго. Физически весьма правдоподобно, что для марковости решения уравнения (36.2) тоже необходима корреляция , кратковременная по сравнению с временными масштабами процесса . Конечно, понятие времени корреляции для нестационарного процесса равно как и понятие «времени установления» для нелинейной неавтономной динамической системы, несколько расплывчато. Ясно, однако, что речь идет о мгновенных скоростях изменения и моментов функции . Наше условие заключается в том, чтобы при всяком t можно было выбрать интервал времени такой, что

Таким образом, за макроскопически бесконечно малое время величина практически не меняется, тогда как функция корреляции процесса зависящая от t и обращается в нуль уже при порядка - . Если т. е. функция корреляции процесса пропорциональна

то выдвигаемое условие будет выполняться даже при (всюду, где скорость изменения ) конечна, т. е.

Допуская, что этим обеспечивается марковость процесса , т. е. что для него существует вероятность перехода , удовлетворяющая уравнению Эйнштейна — Фоккера

подсчитаем входящие сюда величины в соответствии с их определениями (26.1) и (26.2):

Усреднение в этих выражениях понималось ранее как усреднение по вероятности перехода но теперь, поскольку мы ожидаем, что стохастическое уравнение (36.2) определяет все вероятностные свойства в частности, все моменты через заданные вероятностные характеристики силы естественно выполнять усреднение по ансамблю реализаций

Согласно (36.2) приращение за малое время есть

Как для X, так и для можно написать

Для уже можно ограничиться первым приближением, т. е. положить в (36.6) :

Подставляя это в предыдущее равенство, а результат — в (36.6), получаем

При усреднении этого выражения надо учесть, что при любых мы имеем а значит, и так что

Далее, из (36.3) следует, что

Так как интеграл от дельта-функции дает на границе интервала значение 1/2, (36.7) принимает вид

Разделив это на и переходя к пределу при в соответствии с (36.5) получаем

Заметим, что из (36.3) следует симметрия функции относительно перестановки . Пользуясь этим, нетрудно показать, что

так что можно записать и иначе:

В задачах, в которых случайное воздействие не зависит от х, так что множитель при в (36.3) либо функция только от t (нестационарная сила), либо просто постоянная (стационарная сила), член с производной в (36.8) отсутствует, и мы получаем

т. е. A(x, t) совпадает с детерминированным членом в правой части стохастического уравнения (36.2), как это и было в рассмотренных ранее примерах.

Имея в виду, что и при вычислении нас интересуют для только члены не выше первого порядка по , мы можем, возводя в квадрат, ограничиться первым приближением в (36.6), положив

Тогда

и, следовательно,

    (36.10)

Таким образом, функция в уравнении (36.4), определяющая диффузионную часть потока вероятности, совпадает с множителем в функции корреляции случайного воздействия (36.3), взятым при , т. е. с мерой интенсивности этого воздействия.

Результаты (36.8) и (36.10) получены в предположении, что дельта-корреляция обеспечивает марковость процесса . Но основная идея о том, что стохастические уравнения должны при заданной статистике всех исходных случайных функций и величин полностью определять вероятностные свойства решений, требует большего. Уравнения для функций распределения отклика (в общем случае многомерного) и, в частности, марковость x(t) — если она имеет место — должны вытекать из стохастических уравнений. В последнее время в этом направлении получен ряд важных и общих результатов. Для случая системы обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений первого порядка с нормальными аддитивными воздействиями, обладающими дельта-корреляцией по времени, математическая теория была развита К. Ито (см. [3] или изложение теории, например в [4]), а для достаточно короткой корреляции — Р. Л. Стратоновичем [5]. Мы будем следовать более простой и физически прозрачной форме теории, принадлежащей В. И. Кляцкину и В. И. Татарскому [6, 7], приведя только постановку вопроса и результаты. Доказательство требует более сильных и общих математических средств.

Пусть -мерный случайный процесс , удовлетворяет системе стохастических уравнений

    (36.11)

где — детерминированные функции, а — случайные воздействия, распределенные нормально в -мерном пространстве параметров — это случайные поля в этом пространстве), с нулевыми средними значениями

и с корреляционной матрицей

    (36.12)

Пусть отношение характерных времен — наибольшее из времен корреляции функций , а — наименьшее из времен изменения отклика достаточно мало и система такова, что допускает при этом условии отыскание функций распределения методом малых возмущений — в виде разложений по степеням малого параметра В нулевом приближении корреляционная матрица сил берется в виде

    (36.13)

где функции определены условием равенства интегралов по t от истинной и эффективной корреляционных матриц (36.12) и (36.13):

    (36.14)

Тогда отклик в нулевом приближении (36.13) оказывается непрерывным (диффузионным) марковским процессом. Это означает, что многомерные распределения вероятности для выражаются произведениями одномерной плотности вероятности состояния на цепочку вероятностей перехода причем для получается уравнение Эйнштейна — Фоккера

в котором

Для плотности вероятности перехода v начальное условие есть

а для плотности вероятности состояния удовлетворяющей тому же уравнению (36.15), начальное условие имеет вид

где — заданное начальное распределение.

Эта общая теорема приводит, таким образом, к уравнение (36.15), исходя непосредственно из стохастических уравненйй (36.11). Кроме того, развитый в [6] метод обладает еще и тем преимуществом, что позволяет получать поправки к нулевому (диффузионному) приближению. Поправки возникают двоякого рода. Во-первых, в правой части уравнения (36.15) появляется добавочный член вида . Это поправка к плотности потока вероятности (порядка не ниже ). Во-вторых, матрица в (36.16) заменяется на

Отличие от заметно лишь при пренебрежение же членом с требует, вообще говоря, ограничения интенсивности флуктуационных сил . В общем виде выражения для довольно громоздки [7], но их исследование в конкретных задачах позволяет уточнять условия применимости диффузионного приближения).

Мы можем теперь разъяснить высказанное в § 30 утверждение о том, что распространение лучей в случайно-неоднородной среде является марковским процессом только в малоугловом приближении.

Если в качестве независимой переменной берется длина луча I, то уравнения геометрической оптики записываются в виде

где — радиус-вектор точки луча, — единичный вектор касательной к лучу в этой точке, — показатель преломления среды. Если ввести шестивекторы то написанные уравнения приводятся к виду (36.11) с независимой переменной I (вместо t). Пусть — гауссово случайное поле со средним значением Казалось бы, введя для f функцию корреляции вида (36.13), можно было бы написать для шести-вектора , объединяющего случайные

координаты точек луча и случайные направляющие косинусы луча уравнение Эйнштейна — Фоккера (36.15). Но величины а зависят от х и не зависят от так что корреляционная матрица «сил» f имеет вид , т. е. не зависит от и V. Иначе можно сказать, что интервал корреляции f по I бесконечен, и поэтому записать в виде (36.13) с дельтафункцией невозможно.

Можно, однако, перейти к другому описанию луча, взяв за независимую переменную не его длину l, а толщину пройденного им слоя неоднородной среды (луч падает на слой нормально). Точка луча задается тогда его поперечным смещением от точки входа в слой направление — поперечным вектором которые рассматриваются как функции от . Уравнения геометрической оптики принимают при этом вид

где Уже отсюда видно, что эти уравнения можно использовать только до первой точки поворота луча на 90° от оси z (т. е. от его первоначального направления), так как в этой точке обращается в нуль. Это значит, что в слу-чайно-неоднородной среде мы должны ограничиться областью, в которой вероятности отрицательных весьма малы, т. е. малыми угловыми отклонениями луча да 1). В этом малоугловом приближении уравнения (36.17) принимают вид

Четырехмерный случайный процесс возникает под действием поперечных случайных «сил» , которые зависят теперь от переменной и обладают корреляционной матрицей . Процесс будет марковским в предположении дельта-корреляции неоднородностей среды по :

что и приводит к уравнению Эйнштейна — Фоккера (27.15), где дополнительно принято, что .

Для вращательного брауновского движения сферической частицы подобных ограничений не возникает, так как действующие на частицу случайные вращающие моменты — функции независимой переменной (времени t), а от состояния системы (ориентации оси частицы) они вообще не зависят.