Глава II. СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ

§ 8. Постановка задачи

Мы обратимся теперь к одному частному виду случайных процессов — так называемым пуассоновским импульсным процессам. Этот практически важный класс процессов вместе с тем настолько специален, что для получения многих относящихся к нему результатов можно и здесь обойтись средствами классической теории вероятностей. Поясним, в чем здесь дело.

Мы уже отметили, что случайная функция времени t иногда может быть задана как детерминированная функция от t и от некоторого конечного числа случайных величин ось . Все статистические свойства функции ось полностью определяются тогда -мерной случайной величиной , т. е. ее распределением

Примером такого задания случайной функции могут служить тригонометрические суммы со случайными коэффициентами

определяющие случайные функции периодические с периодом

Пока число случайных параметров конечно, мы можем оставаться в рамках тех понятий и методов, которыми оперирует классическая теория вероятностей, но переход к счетному множеству случайных параметров (в приведенном примере — к ряду Фурье) требует уже более общего подхода. Импульсные процессы можно, по крайней мере в простейших случаях, трактовать именно указанным способом, задавая их как детерминированные функции времени и конечной совокупности случайных параметров. Тем самым мы имеем возможность познакомиться

с этими процессами, не прибегая пока к общей теории случайных функций.

Рассмотрим процесс, представляющий собой суперпозицию одинаковых по форме импульсов. Пусть форма импульса описывается детерминированной функцией причем импульсы могут различаться по величине или «амплитуде». Интересующий нас процесс запишется тогда в виде

где — момент «возникновения» импульса, а а, — его «амплитуда». Мы называем моментом возникновения лишь условно, т. е. не предполагаем, что при Функция может и не обладать начальным значением t, до которого она равна нулю. Предполагается только, что достаточно быстро стремится к нулю при Моменты времени могут быть связаны с любой характерной точкой — с каким-либо из экстремумов или с какой-нибудь из точек перехода через нуль, если таковые имеются, и т. п.

Если параметры -случайные величины, то -случайная функция времени: при всяком t значение само будет случайной величиной. Таким образом, мы имеем здесь пример описанного способа задания случайной функции как детерминированной функции некоторой совокупности случайных параметров (в данномслучае ).

Укажем на некоторые физические вопросы, приводящие к рассмотрению случайных процессов вида (8.1). Таким процессом является, например, ток или напряжение на выходе четырехполюсника, на вход которого воздействует аналогичный процесс, но состоящий из очень коротких толчков — в пределе дельтаимпульсов:

Под «очень короткими» понимаются при этом толчки, длительность которых гораздо меньше временных постоянных четырехполюсника. В частности, если этому условию удовлетворяет время пролета электрона в электронной лампе, то анодный ток можно записать в виде (8.2) с . Если же необходимо учитывать время пролета и тем самым форму импульсов анодного тока, вызванных отдельными электронами, то тот же анодный ток можно записать в виде (8.1), по-прежнему с если

Другой пример возникновения случайного процесса вида (8.1) - это отражение волнового импульса, посланного в среду, содержащую хаотически вкрапленные неоднородности со случайными коэффициентами отражения или рассеяния. Отраженные от неоднородностей импульсы будут иметь в отсутствие дисперсии ту же форму, что и первичный импульс, но вернутся со случайными запаздываниями и амплитудами.

Возможна еще более общая постановка задачи, которую далее мы и будем рассматривать. Она состоит в том, что случайной предполагается форма самих импульсов, а именно — импульс описывается детерминированной функцией F от и от совокупности некоторого конечного числа случайных параметров, т. е. от -мерной случайной величины

Здесь мы снова используем, таким образом, тот же ограниченный способ задания случайной функции F как детерминированной функции конечного числа случайных параметров. При этом компоненты могут быть и статистически зависимыми между собой.

Относительно вероятностных свойств случайных параметров определяющих статистические характеристики процесса мы сделаем следующие простейшие предположения:

1. Все статистически независимы между собой, и их распределения не зависят от номера импульса v. Тогда для си стемы, состоящей из любого количества параметров достаточно задать только функций распределения поскольку функция распределения системы распадается на множители:

Здесь .

2. Вероятность появления импульса в промежутке времени от t до не зависит от t и пропорциональна , т. е.

    (8.46)

Как уже отмечалось (§ 5), это предположение означает, что вероятность появления импульсов в интервале времени Т дается распределением Пуассона:

В этих предположениях мы вычислим теперь функцию распределения

Чтобы избежать оперирования с бесконечной совокупностью случайных параметров мы поступим следующим образом. Выделим интервал времени настолько большой по сравнению с длительностью отдельного импульса и со средним временем между импульсами, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е. чтобы учет (или неучет) тех импульсов, которые частично срезаются краями интервала не играл роли. Выполнимость этого последнего требования как раз и связана с условием достаточно быстрого стремления к нулю при Вопрос о том, насколько быстрым должно быть уменьшение мы пока отложим, отметив лишь, что поставленное условие пренебрежимости краевыми эффектами может быть выполнено даже тогда, когда интервал, в котором не является конечным.

Мы хотим найти распределение случайной величины (а при всяком фиксированном t это случайная величина), т. е. вероятность события В, состоящего в том, что находится в интервале

Событие В может реализоваться при осуществлении какого-либо из событий где состоит в том, что в интервале появилось импульсов. События несовместимы, так что по формуле полной вероятности

Очевидно, есть не что иное, как вероятность даваемая законом Пуассона. Введем теперь плотность условной вероятности , т. е. вероятности события при условии, что в возникло импульсов:

Тогда

и, следовательно, среднее значение какой-либо функции может быть вычислено в два этапа:

где условное среднее [при условии, что в было импульсов].

Итак, согласно (8.7), для нахождения надо располагать условной плотностью вероятности Можно сказать, что — это плотность вероятности случайной функции

зависящей от конечного числа параметров относящихся к тем импульсам, которые по условию появились в интервале Для нахождения целесообразно воспользоваться очень сильным аппаратом так называемых характеристических функций.