§ 46. Спектр импульсного процесса с независимыми интервалами

Пуассоновский процесс, у которого вследствие независимости между импульсами безусловная вероятность появления импульса в промежутке совпадает с условной вероятностью того же события при условии, что предшествующие импульсы возникли в какие-то фиксированные моменты является, конечно, частным случаем более общего класса импульсных процессов, о которых шла речь в § 12. Как и там, мы ограничимся случаем, когда на вероятность появления импульса влияет только импульс, т. е. она зависит лишь от времени протекшего с момента возникновения импульса. Таким образом, длительности интервалов между импульсами независимы между собой.

Рассмотрим принадлежащий к этому классу импульсных процессов с независимыми интервалами процесс вида

Относительно входящих в случайных функций и случайных параметров делаются следующие предположения.

1. Форма импульсов, описываемая случайными функциями длительности импульсов и интервалы между импульсами независимы между собой. Заметим, что при случайных функциях вообще говоря, не обязательно вводить отдельный параметр но для дальнейшего такое выделение независимых от параметров целесообразно.

2. Известны одномерные и двумерные функции распределения случайных функций интервалов между импульсами и длительностей импульсов причем все эти распределения не зависят от

3. Распределение вероятности возникновения какого-либо одного из импульсов, скажем нулевого (момент , в любом временном интервале равномерно, т. е. имеет вид Это значит, что все реализации с какими-то фиксированными длинами интервалов но сдвинутые относительно на отрезок заключенный в равновероятны. Без этого процесс не был бы стационарным.

Очевидно,

так что

Эта постановка задачи, а также ее решение, при котором сразу ищется спектральная плотность , а не функция корреляции (здесь этот путь оказывается проще), были даны Я. И. Хургиным [31] для случая детерминированной формы импульсов Существенная особенность развитого им общего подхода к теории случайных импульсных процессов состоит в том, что в основу исследования полагаются не статистические характеристики мгновенных значений (т. е. не многомерные функции распределения), а вероятностное описание поведения процесса вдоль оси времени — распределения длительностей импульсов, интервалов между ними и т. п.

С процессами типа (46.1) приходится иметь дело, например, в том случае, когда импульсы формируются при помощи выбросов флуктуационного шума над некоторым порогом, а также в задачах о флуктуациях в импульсных автогенераторах (см. ниже).

- Напишем спектральную амплитудную плотность отрезка процесса (46.1) в достаточно длинном интервале (-T/2, Т/2) :

где суммирование распространяется на (случайное) число импульсов , полностью охваченных интервалом . Если воспользоваться функцией сопряженной по Фурье с то

Учитывая при вычислении функции корреляции взаимную независимость случайных параметров и случайной функции (а значит, и ее спектральной амплитудной плотности , находим

где угловыми скобками обозначено усреднение по ансамблю реализаций а чертой сверху — усреднение по распределениям случайных величин

Так как момент распределен в интервале равномерно, имеем, согласно (46.2),

причем последняя замена допустима при что в дальнейшем и будет сделано. Имеем, далее,

где в множителе при мы положили, конечно, Подставив (46.5) в (46.4) и отбросив слева и справа , получаем

Если ввести теперь обозначения

и выделить из суммы по в формуле для члены с , то выражение для примет вид

Но согласно (46.3)

причем интервалы, суммы которых стоят в показателях, по условию взаимно независимы. Поэтому, вводя характеристическую функцию интервала между импульсами

имеем

и, следовательно, всюду, где , т. е. заведомо за исключением точки

При случайное число импульсов в интервале Т в подавляющем большинстве случаев тоже будет неограниченно возрастать (в среднем — пропорционально Т). Имея в виду этот предельный переход, можно удержать только первый член в правой части. Формула для (напомним, что точку мы исключаем) дает тогда

Эта спектральная плотность соответствует, конечно, условному среднему при условии, что в интервале Т было именно импульсов, и требует дальнейшего усреднения по случайному параметру n. Но , где — средняя продолжительность интервала между импульсами, обратная среднему числу импульсов в единицу времени

Поэтому окончательно:

    (46.10)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Если случайные функции заданы как детерминированные функции F от 0 и от -мерной случайной величины

то изменится только смысл угловых скобок в формулах (46.6): их надо понимать теперь как усреднение по распределению случайного вектора

    (46.11)

а сама трансформанта Фурье F от F в этом случае, конечно, тоже детерминирована.

Если имеет место еще более частный случай, когда — одномерная случайная величина, имеющая смысл «амплитуды» детерминированного импульса:

то, считая для простоты вещественным параметром и обозначая

    (46.12)

получаем из (46.11)

Соответственно формулы (46.6) принимают вид

    (46.13)

так что спектральная плотность (46.10) будет

    (46.14)

Различные факторы в этом выражении весьма удобным образом расчленены. Через случайные «амплитуды» вошли параметры Случайные интервалы между импульсами характеризуются величиной и функцией Наконец, случайные длительности самих импульсов отражены в . Если, например, все импульсы одинаковы по высоте то

    (46.15)

Если, сверх того, постоянна и длительность импульсов так что то, согласно (46.13),

и (46.15) принимает вид (46.16)

В частном случаев пуанссоновского процесса, когда распределение интервалов между импульсами экспоненциально:

характеристическая функция (46.8) есть

откуда следует, что

Тогда (46.14) дает

    (46.17)

что совпадает с выражением (42.13), соответствующим теореме Кембелла (11.6) [следует учесть, что в (42.13) длительности

импульсов фиксированы, а кроме того, - спектральная амплитудная плотность по размерной частоте в отличие от плотности в (46.6)].

Возьмем теперь для гамма-распределение, которым мы воспользовались ранее в § 12 (пример 1):

Здесь — густота импульсов и, в частности, — их густота при т. е. при отсутствии корреляции между моментами их возникновения (пуассоновский процесс). Напомним, что при корреляция «притягательная», а при — «отталкивательная», т. е. в первом случае импульс повышает вероятность появления последующего импульса, а во втором — понижает. Для характеристической функции (46.8) при условии находим

что

Здесь меняется от нуля при до при Если а настолько мало, что то

т. е. второй член в (46.14) будет велик. Напротив, при он будет очень мал, так как в этом случае

Обратимся теперь к вопросу о спектре импульсных автоколебаний.

В генераторах периодических импульсов случайные воздействия могут смещать моменты возникновения импульсов. Если время корреляции этих воздействий мало по сравнению с периодом следования импульсов, то на сдвиг импульса может повлиять, кроме случайного толчка в момент только время протекшее с момента возникновения предыдущего импульса. Продолжительности же соседних интервалов, очевидно, не связаны между собой. Таким

образом, импульсные автоколебания вполне укладываются в рассмотренную схему.

Отклонения от среднего значения обычно невелики, т. е. — острая функция, сосредоточенная около . Разлагая около по степеням получаем

где — дисперсия интервалов между импульсами. Соответственно

Эта величина имеет острые максимумы на гармониках частоты . При и при имеем

в то время как между значениями при том же условии имеем

Полагая где мало по сравнению с нетрудно убедиться, что в окрестности гармоники

Таким образом, полуширина всплеска на уровне половины от максимума (рис. 40, а) есть

а на уровне нулевого значения

В случае коротких импульсов функции меняются на интервалах между гармониками медленно. Поэтому вблизи ход спектральной плотности (46.14) будет определяться главным образом поведением члена

и спектр будет иметь вид, показанный на рис. 40, б. Разумеется, с ростом «дискретные» линии будут становиться все ниже и шире (заметим, что растет быстрее ) и на достаточно высоких гармониках линейчатая структура размажется.

В рассмотренном процессе длительности импульсов были независимы от интервалов между ними. Часто представляет интерес другая постановка задачи, необходимая, в частности, тогда, когда речь идет о непрерывных автоколебаниях в сильно нелинейных системах, т. е. о несинусоидальных колебаниях с флуктуирующим «периодом» [34].

Рис. 40.

При определенной идеализации такой квазипериодический процесс можно привести к последовательности импульсов, которые вплотную примыкают друг к другу, т. е. их случайные длительности равны интервалам между импульсами:

Таким образом, здесь нет независимого параметра с его функцией распределения Ограничимся при этом заданием формы импульсов при помощи детерминированной функции , где — случайный вектор:

Различие между процессами (46.1) и (46.18) иллюстрирует рис. 41.

Спектр процесса (46.18) можно найти тем же способом, что и в рассмотренном случае [35]. Существенное отличие будет лишь в том, что в (46.18) уже нельзя раздельно усреднять функции от и от поскольку Поэтому приходится

ввести, кроме функций (46.6), имеющих, согласно (46.11), вид

    (46.19)

(угловые скобки — усреднение по распределению а), еще функцию

    (46.20)

Рис. 41.

Следует заметить, что в рассматриваемом случае совпадения длительности импульса с интервалом между импульсами надо вычислять спектральную амплитуду , полагая, что по безразмерной переменной функция отлична от нуля в интервале фиксированной (единичной) длины:

    (46.21)

Спектральная плотность процесса (46.18) выражается через и следующим образом:

    (46.22)

В частности, если а — одномерная величина («амплитуда» импульсов):

то с учетом (46.12) получаем

    (46.23)

где

    (46.24)

(усреднение по распределению . Характер этого спектра в общем такой же, как и в предыдущем случае, и, в частности, все рассуждения о резких выбросах получающихся при малом разбросе около среднего значения то, полностью остаются в силе.

Заметим, что в обоих случаях, как это неизбежно должно быть в автономной системе, происходит диффузионный уход

«фазы» генератора от ее динамического значения отвечающего строгой периодичности импульсов. С учетом взаимной независимости имеем

т. е. средний квадратичный набег Ф накапливается пропорционально числу периодов.