Задачи

1. Рассчитать функцию корреляции тока в -контуре, на который действует стационарная случайная с функцией корреляции

Решение. Уравнение для тока есть

Импульсный отклик контура при и равен нулю при . Согласно (37.19) имеем

В частности, при получаем отсюда дисперсию тока:

Обе формулы справедливы при произвольном соотношении между временем релаксации контура и временем корреляции случайной

При достигаются стационарные значения

При мы приходим к дельта-коррелированной и марковскому процессу I (t). Формулы (I) и (2) принимают вид

Формула для совпадает, конечно, с (35.11).

Если то, согласно (2),

что дает при 1 диффузионный закон т. е. ток начинает вести себя как функция с независимыми приращениями.

2. Используя результаты § 28, показать, что огибающая отклика селективного колебательного контура на белый шум удовлетворяет линейному стохастическому дифференциальному уравнению первого порядка.

Решение. Селективный контур — томсоновская система, описываемая уравнением

где — малый параметр. По условию

Уравнение контура отличается от уравнения (28.1) для томсоновского автогенератора лишь отсутствием нелинейного члена и знаком члена с декремент, в отличие от инкремента в (28.1)]. Следовательно, для огибающей отклика мы получаем первое уравнение Ван-дер-Поля (28.7) с , т. е.

где медленное безразмерное время.

Если компонента силы дельта-коррелирована, то по общей теореме (§ 36) — диффузионный марковский процесс, функция корреляции которого, в соответствии с (1), экспоненциальна. То, что для селективной системы можно в первом приближении считать дельта-коррелированным процессом, показано далее, в § 53.

Теорема о марковости огибающей была высказана в таком виде (и довольно громоздко доказана) Пирсом [12]. На ее доказательство при помощи уравнения Смолуховского (или уравнения Эйнштейна — Фоккера) указал Хелстром [3]. Из последующих работ по статистическим свойствам Огибающей упомянем [14, 15].

3. Написать уравнение Эйнштейна — Фоккера для осциллятора с флуктуирующей собственной частотой

где - нормальный дельта-коррелированный случайный процесс:

Решение. Условия общей теоремы, приведенной в § 36, выполнены, и, следовательно, в осцилляторе — системе с одной степенью свободы — происходит двумерный диффузионный марковский процесс. Записав стохастическое уравнение (1) в виде двух уравнений первого порядка:

получаем

Таким образом, в корреляционной матрице случайных воздействий отличен от нуля только элемент

В результате уравнение Эйнштейна — Фоккера (36.15) для плотности вероятности перехода имеет вид

Из-за квадратичной зависимости коэффициента диффузии от х это уравнение не может быть решено в общем виде.

4. Получить при помощи уравнения (3) предыдущей задачи уравнения для моментов . Показать, что эти уравнения распадаются на замкнутые системы для моментов каждого фиксированного порядка Исследовать систему уравнений для моментов второго порядка

и найти условие параметрического возбуждения осциллятора в данном случае флуктуаций его частоты в виде нормального белого шума.

Решение. Умножим уравнение (3) на и проинтегрируем по х и у от до . Учитывая, что

и предполагая, что проинтегрированные члены обращаются в нуль при Или получаем для следующую систему уравнений:

которую надо решать с начальными условиями

Сумма индексов при всех М в (4) одинакова (равна ), откуда и следует, что для моментов порядка уравнения (4) образуют замкнутую систему из уравнений. Полагая в получаем уравнения для моментов первого порядка

которые вытекают и из исходных уравнений (2) в отсутствие флуктуаций частоты . Таким образом, меняются по динамическому закону.

Для моментов второго порядка получаем из (4) систему трех уравнений:

Ищем частное решение этих обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами в виде

что дает для систему однородных алгебраических уравнений

Для того чтобы эта система имела нетривиальное решение, надо приравнять нулю ее определитель, что дает характеристическое уравнение для :

Как известно, необходимые и достаточные условия устойчивости, т. е. отсутствия положительных вещественных частей у корней уравнения (5), - это условия Рауса — Гурвица, которые для кубического уравнения

имеют вид

Для уравнения (5) эти условия таковы:

Нарушаться может только третье неравенство, т. е. при

и малейшем отклонении начальных значений от нуля будет происходить экспоненциальное нарастание моментов и, в частности, средней энергии осциллятора (параметрическое возбуждение).

Исследование уравнений для моментов порядка показывает, что условия параметрического возбуждения для разных различны. В частности, для четвертых моментов это условие слабее (6), а именно:

Те же замкнутые Системы уравнений (4) для моментов можно получить и непосредственно из стохастических уравнений (2), не предполагая нормальности , но считая, что высшие моменты выражаются через произведения дельта-функций Исследование условий применимости диффузионного приближения [7] показывает, что при наличии не равного нулю времени корреляции должны выполняться условия

5. Написать уравнение Эйнштейна — Фоккера для нелинейного осциллятора

где потенциальная энергия содержит, кроме члена с члены с высшими степенями х, а случайная сила предполагается нормальной и дельта-коррелированной [7]. Исследовать стационарное решение уравнения Эйнштейна — Фоккера.

Решение. Система уравнений для имеет вид

где - гамильтонова функция автономной и консервативной системы. Эта система уравнений удовлетворяет условиям общей теоремы (§ 36), и уравнение (36.15) для вероятности перехода имеет вид

или

постоянная при дельта-функции в корреляционной функции

Легко проверить подстановкой, что стационарное решение устанавливающееся при имеет вид распределения Гиббса:

Таким образом, х и у независимы, а распределение скорости гауссово. Разумеется, стационарное решение существует только при условии интегрируемости функции Максимумы и минимумы плотности вероятности х:

лежат в точках соответственно минимумов и максимумов потенциальной энергии т. е. совпадают с устойчивыми и неустойчивыми положениями равновесия автономной динамической системы. Например, если то имеется только одно устойчивое положение равновесия Автономная консервативная система описывается в этом случае уравнением Дуффинга:

Если же то — неустойчивое положение равновесия, а устойчивы положения . В этом случае — симметричная двугорбая кривая.

6. Если в уравнении (1) предыдущей задачи можно пренебречь инерцией (членом с ускорением х), т. е. равновесное распределение скорости устанавливается очень быстро, то дальнейшее поведение системы, описывается одним уравнением первого порядка

Исходя из соответствующего уравнения Эйнштейна — Фоккера, составить и решить уравнение для среднего времени достижения границ и, в частности, найти среднее время перехода (см. § 32) из одного устойчивого положения в другое в случае

Решение. В рассматриваемом случае уравнение Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода будет

т. е. коэффициенты не зависят от t и равны

Поэтому уравнение (32.10) для среднего времени достижения границы или из начального положения х будет

Воспользуемся решением этого уравнения при наличии только верхней границы т. е. решением (см. § 32)

В нашей задаче

и, следовательно,

Если нас интересует среднее время перехода из состояния в состояние то его можно получить как разность средних времен достижения границы b из и из

— величина, конечно, не зависящая от .

В частном случае, когда и мы хотим найти среднее время перехода из одного устойчивого состояния а в другое получаем

При достаточно малых 2) экспонента в интеграле по у имеет два симметричных острых пика в точках , так что значение интеграла по у приближенно равно в интервале величине где

а среднее время перехода из одного устойчивого состояния в другое будет

7. Получить непосредственно из стохастического уравнения

где — стационарный случайный процесс — детерминированные функции, уравнения для моментов - первого и второго порядков.

Решение. Усреднение уравнения (1), если учесть коммутативность операций усреднения и дифференцирования, дает для момента

Введем обозначения: . Дифференцируя эти по t и пользуясь (1) для исключения х, получаем

Усреднение этих уравнений дает для моментов уравнения

Таким образом, надо вычислить средние значения

Воспользуемся выражением через интеграл Дюамеля (с нулевыми начальными условиями при ):

Если — фундаментальные решения однородного уравнения (I), то импульсный отклик записывается в виде

где детерминант Вронского:

Следовательно,

Имеем

Эти интегралы не могут быть выражены ни через ни через параметры за исключением того случая, когда сила дельта-коррелирована:

Тогда

(из-за того, что дельта-функция отлична от нуля на границе интервала, входит множитель 1/2). В силу (3) получаем

Смысл этого результата состоит в том, что отклик в момент t еще не содержит компоненты, обусловленной действием силы в этот самый момент. Напротив, производная уже «чувствует» действие силы в момент t. Согласно (4) уравнения (2) становятся замкнутой системой:

которую надо решать при условиях

Изложенный способ был развит в работе [11], в которой рассмотрен общий случай уравнения порядка:

В принципе процедура остается такой же и приводит в случае дельта-коррелированной силы к замкнутой системе уравнений для моментов При этом надо вычислить значения смешанных моментов .

Если не обладает дельта-корреляцией, то можно применить тот же метод к уравнению более высокого порядка, если подобрать такой линейный дифференциальный оператор L, который даст в правой части нового уравнения дельта-коррелированную силу