Главная > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Задачи

1. Рассчитать функцию корреляции тока в -контуре, на который действует стационарная случайная с функцией корреляции

Решение. Уравнение для тока есть

Импульсный отклик контура при и равен нулю при . Согласно (37.19) имеем

В частности, при получаем отсюда дисперсию тока:

Обе формулы справедливы при произвольном соотношении между временем релаксации контура и временем корреляции случайной

При достигаются стационарные значения

При мы приходим к дельта-коррелированной и марковскому процессу I (t). Формулы (I) и (2) принимают вид

Формула для совпадает, конечно, с (35.11).

Если то, согласно (2),

что дает при 1 диффузионный закон т. е. ток начинает вести себя как функция с независимыми приращениями.

2. Используя результаты § 28, показать, что огибающая отклика селективного колебательного контура на белый шум удовлетворяет линейному стохастическому дифференциальному уравнению первого порядка.

Решение. Селективный контур — томсоновская система, описываемая уравнением

где — малый параметр. По условию

Уравнение контура отличается от уравнения (28.1) для томсоновского автогенератора лишь отсутствием нелинейного члена и знаком члена с декремент, в отличие от инкремента в (28.1)]. Следовательно, для огибающей отклика мы получаем первое уравнение Ван-дер-Поля (28.7) с , т. е.

где медленное безразмерное время.

Если компонента силы дельта-коррелирована, то по общей теореме (§ 36) — диффузионный марковский процесс, функция корреляции которого, в соответствии с (1), экспоненциальна. То, что для селективной системы можно в первом приближении считать дельта-коррелированным процессом, показано далее, в § 53.

Теорема о марковости огибающей была высказана в таком виде (и довольно громоздко доказана) Пирсом [12]. На ее доказательство при помощи уравнения Смолуховского (или уравнения Эйнштейна — Фоккера) указал Хелстром [3]. Из последующих работ по статистическим свойствам Огибающей упомянем [14, 15].

3. Написать уравнение Эйнштейна — Фоккера для осциллятора с флуктуирующей собственной частотой

где - нормальный дельта-коррелированный случайный процесс:

Решение. Условия общей теоремы, приведенной в § 36, выполнены, и, следовательно, в осцилляторе — системе с одной степенью свободы — происходит двумерный диффузионный марковский процесс. Записав стохастическое уравнение (1) в виде двух уравнений первого порядка:

получаем

Таким образом, в корреляционной матрице случайных воздействий отличен от нуля только элемент

В результате уравнение Эйнштейна — Фоккера (36.15) для плотности вероятности перехода имеет вид

Из-за квадратичной зависимости коэффициента диффузии от х это уравнение не может быть решено в общем виде.

4. Получить при помощи уравнения (3) предыдущей задачи уравнения для моментов . Показать, что эти уравнения распадаются на замкнутые системы для моментов каждого фиксированного порядка Исследовать систему уравнений для моментов второго порядка

и найти условие параметрического возбуждения осциллятора в данном случае флуктуаций его частоты в виде нормального белого шума.

Решение. Умножим уравнение (3) на и проинтегрируем по х и у от до . Учитывая, что

и предполагая, что проинтегрированные члены обращаются в нуль при Или получаем для следующую систему уравнений:

которую надо решать с начальными условиями

Сумма индексов при всех М в (4) одинакова (равна ), откуда и следует, что для моментов порядка уравнения (4) образуют замкнутую систему из уравнений. Полагая в получаем уравнения для моментов первого порядка

которые вытекают и из исходных уравнений (2) в отсутствие флуктуаций частоты . Таким образом, меняются по динамическому закону.

Для моментов второго порядка получаем из (4) систему трех уравнений:

Ищем частное решение этих обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами в виде

что дает для систему однородных алгебраических уравнений

Для того чтобы эта система имела нетривиальное решение, надо приравнять нулю ее определитель, что дает характеристическое уравнение для :

Как известно, необходимые и достаточные условия устойчивости, т. е. отсутствия положительных вещественных частей у корней уравнения (5), - это условия Рауса — Гурвица, которые для кубического уравнения

имеют вид

Для уравнения (5) эти условия таковы:

Нарушаться может только третье неравенство, т. е. при

и малейшем отклонении начальных значений от нуля будет происходить экспоненциальное нарастание моментов и, в частности, средней энергии осциллятора (параметрическое возбуждение).

Исследование уравнений для моментов порядка показывает, что условия параметрического возбуждения для разных различны. В частности, для четвертых моментов это условие слабее (6), а именно:

Те же замкнутые Системы уравнений (4) для моментов можно получить и непосредственно из стохастических уравнений (2), не предполагая нормальности , но считая, что высшие моменты выражаются через произведения дельта-функций Исследование условий применимости диффузионного приближения [7] показывает, что при наличии не равного нулю времени корреляции должны выполняться условия

5. Написать уравнение Эйнштейна — Фоккера для нелинейного осциллятора

где потенциальная энергия содержит, кроме члена с члены с высшими степенями х, а случайная сила предполагается нормальной и дельта-коррелированной [7]. Исследовать стационарное решение уравнения Эйнштейна — Фоккера.

Решение. Система уравнений для имеет вид

где - гамильтонова функция автономной и консервативной системы. Эта система уравнений удовлетворяет условиям общей теоремы (§ 36), и уравнение (36.15) для вероятности перехода имеет вид

или

постоянная при дельта-функции в корреляционной функции

Легко проверить подстановкой, что стационарное решение устанавливающееся при имеет вид распределения Гиббса:

Таким образом, х и у независимы, а распределение скорости гауссово. Разумеется, стационарное решение существует только при условии интегрируемости функции Максимумы и минимумы плотности вероятности х:

лежат в точках соответственно минимумов и максимумов потенциальной энергии т. е. совпадают с устойчивыми и неустойчивыми положениями равновесия автономной динамической системы. Например, если то имеется только одно устойчивое положение равновесия Автономная консервативная система описывается в этом случае уравнением Дуффинга:

Если же то — неустойчивое положение равновесия, а устойчивы положения . В этом случае — симметричная двугорбая кривая.

6. Если в уравнении (1) предыдущей задачи можно пренебречь инерцией (членом с ускорением х), т. е. равновесное распределение скорости устанавливается очень быстро, то дальнейшее поведение системы, описывается одним уравнением первого порядка

Исходя из соответствующего уравнения Эйнштейна — Фоккера, составить и решить уравнение для среднего времени достижения границ и, в частности, найти среднее время перехода (см. § 32) из одного устойчивого положения в другое в случае

Решение. В рассматриваемом случае уравнение Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода будет

т. е. коэффициенты не зависят от t и равны

Поэтому уравнение (32.10) для среднего времени достижения границы или из начального положения х будет

Воспользуемся решением этого уравнения при наличии только верхней границы т. е. решением (см. § 32)

В нашей задаче

и, следовательно,

Если нас интересует среднее время перехода из состояния в состояние то его можно получить как разность средних времен достижения границы b из и из

— величина, конечно, не зависящая от .

В частном случае, когда и мы хотим найти среднее время перехода из одного устойчивого состояния а в другое получаем

При достаточно малых 2) экспонента в интеграле по у имеет два симметричных острых пика в точках , так что значение интеграла по у приближенно равно в интервале величине где

а среднее время перехода из одного устойчивого состояния в другое будет

7. Получить непосредственно из стохастического уравнения

где — стационарный случайный процесс — детерминированные функции, уравнения для моментов - первого и второго порядков.

Решение. Усреднение уравнения (1), если учесть коммутативность операций усреднения и дифференцирования, дает для момента

Введем обозначения: . Дифференцируя эти по t и пользуясь (1) для исключения х, получаем

Усреднение этих уравнений дает для моментов уравнения

Таким образом, надо вычислить средние значения

Воспользуемся выражением через интеграл Дюамеля (с нулевыми начальными условиями при ):

Если — фундаментальные решения однородного уравнения (I), то импульсный отклик записывается в виде

где детерминант Вронского:

Следовательно,

Имеем

Эти интегралы не могут быть выражены ни через ни через параметры за исключением того случая, когда сила дельта-коррелирована:

Тогда

(из-за того, что дельта-функция отлична от нуля на границе интервала, входит множитель 1/2). В силу (3) получаем

Смысл этого результата состоит в том, что отклик в момент t еще не содержит компоненты, обусловленной действием силы в этот самый момент. Напротив, производная уже «чувствует» действие силы в момент t. Согласно (4) уравнения (2) становятся замкнутой системой:

которую надо решать при условиях

Изложенный способ был развит в работе [11], в которой рассмотрен общий случай уравнения порядка:

В принципе процедура остается такой же и приводит в случае дельта-коррелированной силы к замкнутой системе уравнений для моментов При этом надо вычислить значения смешанных моментов .

Если не обладает дельта-корреляцией, то можно применить тот же метод к уравнению более высокого порядка, если подобрать такой линейный дифференциальный оператор L, который даст в правой части нового уравнения дельта-коррелированную силу

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru