§ 34. Случайные функции с независимыми приращениями

Мы уже неоднократно встречались с такими функциями, хотя соответствующий термин еще применялся. Примерами, с которыми мы уже имели дело, являются: перемещение частицы при брауновском движении как поступательном (§§ 7, 24), так и вращательном (§ 30); флуктуационный набег фазы в ламповом генераторе (§ 29); заряд, перенесенный потоком электронов на анод лампы в условиях, когда отсутствует явление депрессии дробового шума (§§ 5, 10). Во всех этих примерах речь идет о такой случайной функции приращения которой на неперекрывающихся интервалах времени независимы.

Разбив промежуток времени (0, i) на произвольное число последовательных интервалов всегда можно поэтому представить значение как сумму независимых слагаемых — значения и приращений функции на этих последовательных интервалах:

Это справедливо для пути, пройденного брауновской частицей за время t, для числа распавшихся за время t радиоактивных ядер (при условии, что еще можно пренебречь убылью нераспавшихся ядер), для флуктуационного ухода фазы лампового генератора и т. п. Вследствие независимости слагаемых в (34.1), дисперсия будет

Если, в частности, рассматриваемая функция с независимыми приращениями почти наверное непрерывна, то при увеличении независимые слагаемые могут быть сделаны сколь угодно малыми. Переходя к пределу при мы можем на основании центральной предельной теоремы заключить, что функция , где — непрерывная функция с независимыми приращениями, распределена нормально с дисперсией причем

Допустим теперь, что процесс рассматриваемого типа однороден по t. Это означает, что распределение зависит только от длительности интервала по-прежнему не зависит от значений, принятых функцией в моменты времени . Примем, что . Тогда равно сумме своих приращений на интервале

причем Формулы (34.1) и (34.2) примут вид

Единственное неотрицательное решение функционального уравнения это линейная однородная функция

т. е. диффузионный закн. Таким образом, однородная непрерывная функция с независимыми приращениями распределена по нормальному закону с дисперсией, пропорциональной t. Мы имели возможность убедиться в этом в § 24, когда перешли от случайной функции с независимыми приращениями, имеющей дискретные возможные значения (скачки на с вероятностями, не зависящими от номера скачка), к непрерывному изменению Если же с самого начала задача ставилась для непрерывной функции, то к тому же результату приводило предположение об однородности случайных толчков (, §§ 27, 29).

Обратим теперь внимание на следующий существенный факт: непрерывная функция с независимыми приращениями не дифференцируема. Действительно, дисперсия приращения — величина порядка

(для однородной функции имеем просто где ). Следовательно,

т. е. в любой момент t дисперсия нормально распределенной величины неограниченно растет при а это и означает,

что производной не существует ни в одной точке t (§ 19). Выходит, таким образом, что если пройденный брауновской частицей путь или поступивший на анод лампы заряд или флуктуационный набег фазы в генераторе рассматриваются как непрерывные функции с независимыми приращениями, то не существует ни мгновенной скорости и ни мгновенной силы тока ни мгновенной частоты . Между тем физики и инженеры охотно пользуются случайными функциями и т. п., не впадая при этом в ошибки в получаемых результатах. Целесообразно поэтому несколько задержаться на данном вопросе.

Будем для наглядности рассуждать над одномерным поступательным движением брауновской частицы, считая, что — однородная функция с независимыми приращениями. Для простоты примем, что .

Переход в (27.1) к пределу при (§ 19) приводит к выражению в виде интеграла

где -приращение пути на элементе Следовательно,

Согласно (34.5) двукратный интеграл в правой части должен быть равен , что возможно, только если функция корреляции для имеет вид

Конечно, это прямое следствие независимости приращений на неперекрывающихся интервалах.

Если формально оперировать мгновенной скоростью

Сопоставление с (34.6) показывает, что надо при этом считать так называемым дельта-коррелированным случайным процессом:

Соответственно средний квадрат при всяком t бесконечно велик. Нетрудно выяснить, в каком пункте возникает такого рода особенность.

Допущение независимости приращений на неперекрывающихся интервалах справедливо при условии, что за время частица испытывает очень много случайных ударов: , где — среднее время между ударами. Но определение непрерывности требует, чтобы при неограниченном уменьшении мы имели (хотя бы по вероятности). Оба условия строго совместимы только при , т. е. при бесконечночастых случайных ударах, чем и исключается существование мгновенной скорости

Если же, как это имеет место в действительности, , то за время может не произойти ни одного случайного толчка, а значит, уже не будет функцией с независимыми приращениями. Мгновенная скорость и тогда существует и имеет время корреляции порядка Пусть, например,

Тогда, поскольку имеем

    (34.9)

При получаем

    (34.10)

так что для всякого неограниченное уменьшение Ф влечет за собой Но для функция ведет себя так, как если бы ее приращения были независимы, и, в частности, как это следует из (34.9), вступает в силу диффузионный закон

Разумеется, эти заключения не связаны со специальным выбором экспоненциальной функции корреляции (34.8) для . Существенно лишь то, является ли эта функция корреляции достаточно острой в масштабе интервала или же этот интервал слишком мал .

При учете отличного от нуля времени корреляции мы не можем переходить в (34.2) к пределу при считая при

этом, что приращения на интервалах времени остаются независимыми. Увеличение ограничено условием, что интервалы еще велики по сравнению с , т. е. ограничено и сверху . Тем самым, и нормальность распределения функции имеет место лишь приближенно, но тем точнее, чем меньше

Заметим теперь, что условие для брауновской частицы означает сек. Таким образом, для промежутков времени, которые в макроскопических масштабах вполне могут считаться бесконечно малыми (скажем, сек), число случайных ударов еще огромно Всякий раз, когда имеет место такое положение вещей, т. е. когда времена порядка О в реальных условиях неуловимы и никак не проявляются в наблюдаемых явлениях, практически все происходит так, как будто Наглядная и удобная идеализация позволяет рассматривать как непрерывную функцию с независимыми приращениями и вместе с тем, если помнить, что на самом деле существует некоторое достаточно малое позволяет не избегать мгновенной скорости приписывая ей дельта-корреляцию (34.7). В сущности, это не связано ни с какими математическими затруднениями, так как одно из основных «свойств» -функции — «работать» только под знаком интеграла.