Главная > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 43. «Белый» шум и черное излучение

Чем «уже» функция корреляции стационарного процесса, тем шире его спектр. В § 42 это было показано на конкретных примерах, в которых получалось, что при неограниченном сужении спектральная плотность стремится к постоянному значению при всех Нетрудно получить этот же результат, допуская только, что при а в остальном не уточняя вида . Действительно, для всех частот имеем

Пока конечно, «завал» спектральной плотности начинается при приближении к если же то интервал частот, в котором , неограниченно расширяется. Случайная функция может быть стационарной при сколь угодно малых , но предельный случай (дельта-корреляция) уже оказывается особым, так как дисперсия ) становится бесконечно большой, интеграл

расходится.

Очевидно, во всех случаях, когда применяемая спектральная аппаратура (фильтр) обладает достаточно резко ограниченной полосой пропускания, целиком расположенной еще в той области частот, где , поведение вдали от полосы пропускания будет несущественно и, в частности, не будет играть роли «завал» спектра на частотах лежащих много выше верхней границы полосы (рис. 35, на котором изображена плотность по положительным частотам). Именно в таких

случаях можно без ощутимого влияния на результаты заменять реальный шум, обладающий малым, но конечным временем корреляции О, на дельта-коррелированный шум, у которого на всей частотной шкале

Примером шума, который почти всегда можно принимать дельта-коррелированным, является дробовой ток электронной лампы. Время корреляции О определяется здесь временем пролета электрона. Если эта величина порядка сек, то вплоть до частот в сотни мегагерц спектр будет ровным. При всех таких частотах можно считать дробовой ток дельта-коррелированным, т. е. рассматривать его как хаотическую (пуассоновскую) последовательность мгновенных импульсов с интегральным значением каждого импульса, равным заряду электрона (§ 10):

Рис. 35.

Тогда, согласно (42.12) и (42.13),

С учетом времени корреляции мы получили следующее значение дисперсии [см. (10.9)]:

При дисперсия становится бесконечной, что и имеет место у процесса (43.1).

Другим примером шума, который в очень многих случаях можно считать дельта-коррелированным, является тепловой шум, обусловленный тепловым движением микрозарядов в телах. Теорию этого шума мы рассмотрим позднее (§ 54), но в связи с интересующим нас вопросом о равномерности спектра укажем уже здесь, что спектральная плотность тепловой э. д. с.,

создаваемой каким-либо участком электрической цепи, пропорциональна активной части импеданса этого участка. Таким образом, проводник, сопротивление которого R в некотором интервале частот «а постоянно, является источником случайной э. д. с., обладающей в этом частотном интервале равномерным спектром.

Если отвлечься от «макроскопических» факторов, обусловливающих зависимость R от (наличие реактивных параметров в цепи, скин-эффект), то остается еще частотная дисперсия проводимости того металла, из которого сделано рассматриваемое сопротивление. Эта дисперсия начинает сказываться на частотах, сравнимых с где — время свободного пробега электронов в металле. В результате спектр флуктуационного напряжения обрезается на частотах что означает наличие корреляции между значениями этого напряжения на интервалах времени Следует заметить, что практически данный эффект не играет роли, поскольку в обычных условиях почти во всех металлах гц. Частотная зависимость R, обусловленная реактивными параметрами и скин-эффектом, проявляется на гораздо более низких частотах.

Рис. 36.

В американской литературе дельта-коррелированный шум получил название «белого» (white noise), и этот термин приобрел широкое распространение, в том числе и у нас. По-видимому, он возник по ассоциации с «белым светом», который в обычных интерференционных опытах обнаруживает якобы полную некогерентность (некоррелированность). Но белый свет, т. е. равновесное (или «черное») тепловое излучение, не является белым шумом, т. е. не обладает постоянной спектральной плотностью. Последняя дается формулой Планка для средней плотности электромагнитной энергии

Здесь b — постоянная Планка, деленная на , с — скорость света в вакууме, k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. На рис. 36 показан ход в функции от Максимум приходится на значение

С точки зрения теории случайных процессов представляет собой спектральную плотность флуктуирующих напряженностей поля теплового излучения. В каждой из плоских волн, на которые можно разложить это поле, , причем все направления напряженностей равновероятны. В результате электрическая и магнитная энергии одинаковы, а компоненты Е и Н по какому-либо произвольному направлению имеют одинаковые функции корреляции, но не коррелированы между собой.

Найдем коэффициент корреляции, соответствующий спектральной плотности (43.3), т. е. величину

Подставляя сюда выражение (43.3) для и вычислив интеграл, получаем

где — функция Ланжевена. Ход в функции от показан на рис. 37 и, разумеется, нисколько, не похож на дельта-функцию. При , что соответствует

положительная корреляция сменяется отрицательной.

Рис. 37.

Это значит, что при временных сдвигах значения компоненты по некоторому фиксированному направлению чаще будут иметь в моменты i и одинаковый знак, а при — противоположный знак. Можно пояснить это следующим образом. Частота , на которую приходится максимум спектральной плотности , равна

Таким образом, волны частотами, близкими к сот, представлены наиболее интенсивно, и в каждой точке пространства смена направления Е на противоположное определяется преимущественно полупериодами этих волн. При этом более высокие частоты дают в больший вклад, чем более низкие (рис. 3-6). Естественно, что время должно быть порядка полупериода соответствующего частоте сот, и должно лежать ниже этого полупериода. Действительно, из выражений для О и (от находим

Времени О можно поставить в соответствие пространственный радиус корреляции который с точностью до коэффициента совпадает с длиной волны

в законе смещения В. Вина (на приходится максимум плотности электромагнитной энергии, пересчитанной на длины волн). Из выражений для следует, что

1
Оглавление
email@scask.ru