§ 43. «Белый» шум и черное излучение

Чем «уже» функция корреляции стационарного процесса, тем шире его спектр. В § 42 это было показано на конкретных примерах, в которых получалось, что при неограниченном сужении спектральная плотность стремится к постоянному значению при всех Нетрудно получить этот же результат, допуская только, что при а в остальном не уточняя вида . Действительно, для всех частот имеем

Пока конечно, «завал» спектральной плотности начинается при приближении к если же то интервал частот, в котором , неограниченно расширяется. Случайная функция может быть стационарной при сколь угодно малых , но предельный случай (дельта-корреляция) уже оказывается особым, так как дисперсия ) становится бесконечно большой, интеграл

расходится.

Очевидно, во всех случаях, когда применяемая спектральная аппаратура (фильтр) обладает достаточно резко ограниченной полосой пропускания, целиком расположенной еще в той области частот, где , поведение вдали от полосы пропускания будет несущественно и, в частности, не будет играть роли «завал» спектра на частотах лежащих много выше верхней границы полосы (рис. 35, на котором изображена плотность по положительным частотам). Именно в таких

случаях можно без ощутимого влияния на результаты заменять реальный шум, обладающий малым, но конечным временем корреляции О, на дельта-коррелированный шум, у которого на всей частотной шкале

Примером шума, который почти всегда можно принимать дельта-коррелированным, является дробовой ток электронной лампы. Время корреляции О определяется здесь временем пролета электрона. Если эта величина порядка сек, то вплоть до частот в сотни мегагерц спектр будет ровным. При всех таких частотах можно считать дробовой ток дельта-коррелированным, т. е. рассматривать его как хаотическую (пуассоновскую) последовательность мгновенных импульсов с интегральным значением каждого импульса, равным заряду электрона (§ 10):

Рис. 35.

Тогда, согласно (42.12) и (42.13),

С учетом времени корреляции мы получили следующее значение дисперсии [см. (10.9)]:

При дисперсия становится бесконечной, что и имеет место у процесса (43.1).

Другим примером шума, который в очень многих случаях можно считать дельта-коррелированным, является тепловой шум, обусловленный тепловым движением микрозарядов в телах. Теорию этого шума мы рассмотрим позднее (§ 54), но в связи с интересующим нас вопросом о равномерности спектра укажем уже здесь, что спектральная плотность тепловой э. д. с.,

создаваемой каким-либо участком электрической цепи, пропорциональна активной части импеданса этого участка. Таким образом, проводник, сопротивление которого R в некотором интервале частот «а постоянно, является источником случайной э. д. с., обладающей в этом частотном интервале равномерным спектром.

Если отвлечься от «макроскопических» факторов, обусловливающих зависимость R от (наличие реактивных параметров в цепи, скин-эффект), то остается еще частотная дисперсия проводимости того металла, из которого сделано рассматриваемое сопротивление. Эта дисперсия начинает сказываться на частотах, сравнимых с где — время свободного пробега электронов в металле. В результате спектр флуктуационного напряжения обрезается на частотах что означает наличие корреляции между значениями этого напряжения на интервалах времени Следует заметить, что практически данный эффект не играет роли, поскольку в обычных условиях почти во всех металлах гц. Частотная зависимость R, обусловленная реактивными параметрами и скин-эффектом, проявляется на гораздо более низких частотах.

Рис. 36.

В американской литературе дельта-коррелированный шум получил название «белого» (white noise), и этот термин приобрел широкое распространение, в том числе и у нас. По-видимому, он возник по ассоциации с «белым светом», который в обычных интерференционных опытах обнаруживает якобы полную некогерентность (некоррелированность). Но белый свет, т. е. равновесное (или «черное») тепловое излучение, не является белым шумом, т. е. не обладает постоянной спектральной плотностью. Последняя дается формулой Планка для средней плотности электромагнитной энергии

Здесь b — постоянная Планка, деленная на , с — скорость света в вакууме, k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. На рис. 36 показан ход в функции от Максимум приходится на значение

С точки зрения теории случайных процессов представляет собой спектральную плотность флуктуирующих напряженностей поля теплового излучения. В каждой из плоских волн, на которые можно разложить это поле, , причем все направления напряженностей равновероятны. В результате электрическая и магнитная энергии одинаковы, а компоненты Е и Н по какому-либо произвольному направлению имеют одинаковые функции корреляции, но не коррелированы между собой.

Найдем коэффициент корреляции, соответствующий спектральной плотности (43.3), т. е. величину

Подставляя сюда выражение (43.3) для и вычислив интеграл, получаем

где — функция Ланжевена. Ход в функции от показан на рис. 37 и, разумеется, нисколько, не похож на дельта-функцию. При , что соответствует

положительная корреляция сменяется отрицательной.

Рис. 37.

Это значит, что при временных сдвигах значения компоненты по некоторому фиксированному направлению чаще будут иметь в моменты i и одинаковый знак, а при — противоположный знак. Можно пояснить это следующим образом. Частота , на которую приходится максимум спектральной плотности , равна

Таким образом, волны частотами, близкими к сот, представлены наиболее интенсивно, и в каждой точке пространства смена направления Е на противоположное определяется преимущественно полупериодами этих волн. При этом более высокие частоты дают в больший вклад, чем более низкие (рис. 3-6). Естественно, что время должно быть порядка полупериода соответствующего частоте сот, и должно лежать ниже этого полупериода. Действительно, из выражений для О и (от находим

Времени О можно поставить в соответствие пространственный радиус корреляции который с точностью до коэффициента совпадает с длиной волны

в законе смещения В. Вина (на приходится максимум плотности электромагнитной энергии, пересчитанной на длины волн). Из выражений для следует, что