§ 17. Моменты случайных функций

Моменты случайной функции вводятся совершенно так же и с той же целью, что и для системы случайных величин. Это средние значения вида

причем произвольно выбираемые могут и совпадать между собой как частично ( различных значений ), так и полностью Число сомножителей называется порядком момента, так что есть момент первого порядка, — моменты второго порядка (смешанный и два средних квадрата) и т. д. Существенно новое состоит в том, что моменты случайных величин являются просто числами, в то время как моменты случайных функций представляют собой функции выбранных значений параметра t, поскольку от этих значений зависят функции распределения.

Очевидно, для вычисления момента любого порядка достаточно -мерного распределения, где — по-прежнему число различных значений Например, момент порядка определяется при помощи одномерного распределения:

Смешанный момент того же порядка , содержащий и — при помощи двумерного распределения:

и т. д. вплоть до

Это вытекает, конечно, из согласованности всех конечномерных распределений: выполняя усреднение сомножителей, из которых только различны, мы можем воспользоваться любой функцией распределения с , но интегрирование по «лишним» переменным тотчас же сведет ее к . Например,

Полагая в (17.3) значения в том или ином количестве одинаковыми, мы можем, очевидно, получить из (17.3) полный набор всех моментов порядка. В дальнейшем мы часто будем пользоваться более лаконичными обозначениями для моментов:

Центральные моменты определяются как средние значения пульсаций (или флуктуаций) Аналогичное (17.3), выражение для центрального момента порядка есть

что нетрудно, конечно, записать в виде алгебраической суммы произведений простых моментов порядка от до 1.

Относительно роли моментов случайной функции можно сказать то же, что и о роли моментов случайных величин. Конечно, они дают менее полную характеристику случайной функции, чем ее функции распределения, но, во-первых, в ряде практически важных вопросов эта характеристика оказывается достаточной, а, во-вторых, само нахождение моментов зачастую значительно проще, чем вычисление конечномерных функций распределения. Кроме того, для практических целей, а также в ряде вопросов теории наиболее существенную роль играют моменты низших порядков, в особенности первого и второго.

Момент первого порядка, или среднее значение функции, есть

Моменты второго порядка, для которых удобно ввести специальные обозначения, — это смешанный момент

равный при совпадающих аргументах среднему квадрату функции в момент времени

и центральный момент второго порядка, называемый функцией корреляции (иногда — автокорреляции):

равный при дисперсии в момент времени

Среднее значение определяет «центр тяжести» распределения, но, в отличие от случайной величины, теперь — в каждый момент времени t. Дисперсия является простейшей мерой расплывчатости, или разброса, относительно центра тяжести (опять-таки в каждый момент времени t). Наконец, функция корреляции служит характеристикой статистической связи между значениями случайной функции, принимаемыми ею в какие-либо два различных момента времени Этой последней цели служит также коэффициент корреляции, определяемый как

т. е. пропорциональный функции корреляции и нормированный к единице при . Если статистически независимы, т. е. двумерное распределение распадается на произведение двух одномерных:

то

в силу чего функция и коэффициент корреляции обращаются в нуль. Статистическая независимость влечет за собой отсутствие корреляции, но, как и для случайных величин, обратное, утверждение в общем случае неверно.

Заметим, что всегда можно при помощи (15.2) представить в виде

Внутренний интеграл представляет собой условное среднее от , т. е. среднее значение в момент времени при условии, что в момент времени t, функция приняла значение Обозначив это условное среднее, зависящее от через

мы получаем, таким образом,

    (17.10)

Для многомерной случайной функции в рассмотрение входят моменты, содержащие произведения разных компонент . Если не идти дальше моментов второго порядка, то для многомерной функции, наряду со средними значениями приходится иметь дело не только с моментами вида и соответственно с функциями автокорреляции , но и со взаимными моментами второго порядка, содержащими произведения двух различных функций Мы получаем, таким образом, матрицу моментов второго порядка с элементами

    (17.11)

и корреляционную матрицу с элементами

    (17.12)