§ 35. Простой пример стохастического дифференциального уравнения

Вернемся к динамическому уравнению первого порядка (система с 1/2 степени свободы), примером которого было уравнение для малых флуктуаций амплитуды в автогенераторе [первая формула (29.1)], т. е. уравнению вида

С таким же уравнением мы имеем дело в задачах о скорости и одномерного движения частицы массы в среде с вязким трением или о смещении s этой частицы, но лишенной массы и привязанной к пружине с коэффициентом упругости , или о напряжении V на емкости -контура , или о токе I в -контуре и т. д.

В соответствии со сказанным в § 28, мы рассчитываем на то, что при действии на динамическую систему (35.1) достаточно «густых» (по сравнению со временем установления ) однородных толчков отклик будет непрерывным однородным

марковским процессом с вероятностью перехода удовлетворяющей уравнению Эйнштейна — Фоккера

т. е. уравнению (29.2), но в одномерном случае, когда нет зависимости v от второй переменной. По способу, мотивированному в § 28, коэффициент в (35.2) приравнен выражению для х, т. е. правой части уравнения (35.1):

При начальном условии

решение уравнения (35.2) выражается нормальным законом

где

[см. (29.5) и (29.6)]. В пределе при , т. е. для t , формула (35.3) переходит в не зависящее от стационарное распределение . В задаче о скорости и частицы в вязкой среде, когда распределение должно быть максвелловским:

так что откуда Аналогичные выражения для В можно написать и в остальных перечисленных выше задачах — просто как следствие теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы: средняя энергия системы с 1/2 степени свободы должна быть равна (в данном случае

Такова при сделанных исходных допущениях чисто вероятностная схема решения задачи о флуктуациях. Теперь мы поступим иначе. Введем в уравнение (35.1) случайную (или флуктуационную) силу :

Если для конкретности рассуждать над задачей о движении частицы в неограниченной вязкой среде, то речь идет об уравнении движения

в котором воздействие среды на частицу разбито на две части: систематическую силу трения и случайную силу

Предполагая, что систематическая сила трения выражается законом Стокса (для сферической частицы радиуса а имеем , где вязкость жидкости), мы дёлаем два допущения.

Во-первых, должно быть выполнено условие ламинарности обтекания частицы, т. е. малости числа Рейнольдса:

где плотность жидкости. Если для и взять значение средней квадратичной скорости теплового движения [и — плотность вещества частицы], т. е. учесть самые быстрые дрожания частицы, то

При имеем что даже для молекулярных размеров а дает значение Таким образом, условие ламинарности выполнено.

Во-вторых, полная систематическая сила, действующая на шар, движущийся в вязкой несжимаемой жидкости, равна, согласно Буссине,

где — присоединенная масса, равная половине массы, вытесненной частицей жидкости. В уравнении (35.6) из полной силы F удержан только первый член. Но при второй и третий члены одного порядка с . В отношении это несущественно, так как роль этого члена сводится лишь к изменению эффективной массы частицы. Более важен третий член, выражающий вязкое гидродинамическое последействие (см. §§ 15 и 21), при учете которого система приобретает бесконечное множество степеней свободы.

При наличии вязкого (а тем самым и вероятностного) последействия средний квадрат смещения частицы был найден В. В. Владимирским и Я. П. Терлецким [2]. Обычное выражение оказывается справедливым лишь для промежутков времени t, достаточно больших по сравнению со временем релаксации Мы ограничимся упрощенной постановкой задачи, основанной на уравнении (35.5).

Мы будем обращаться с этим стохастическим уравнением так, как если бы это было обычное дифференциальное уравнение.

Проинтегрировав его при начальном условии получаем

Так как по предположению усреднение (35.7) по ансамблю случайных сил дает

т. е. для х получается тот же динамический закон, что и из уравнения (35.1), и из уравнения Эйнштейна — Фоккера (35.2). Найдем теперь дисперсию . Согласно (35.7) и (35.8)

и, следовательно, для получения надо задать функцию корреляции случайной силы . Можно задать любую функцию корреляции, допускаемую общими ограничениями ее вида, но мы сделаем специальное предположение, а именно примем, что -стационарный дельта-коррелированный процесс:

    (35.10)

где С — постоянная. Заметим, что тем самым импульс силы

представляет собой непрерывную случайную функцию с независимыми приращениями и, следовательно, распределен нормально при любом t (§ 34).

Подставив (35.10) в (35.9), находим

    (35.11)

Если положить , то это совпадет с выражением (35.4) для полученным из уравнения Эйнштейна — Фоккера (35.2).

Мы нашли только моменты но можно утверждать больше. Поскольку приращение импульса распределено при всяком нормально, постольку разность представляет собою, согласно (35.7), сумму (или, точнее, предел суммы) нормально распределенных величин. Следовательно, распределение тоже дается гауссовым законом с дисперсией (35.11). Это условное распределение (при условии ), если принять просто совпадает с (35.3). Далее, нетрудно убедиться прямой подстановкой, что такого вида условные вероятности удовлетворяют уравнению Смолуховского (являются вероятностями перехода), т. е. процесс оказывается марковским. Таким образом, если в стохастическом дифференциальном уравнении (35.5) случайная сила ) стационарна и дельта-коррелирована [см. (35.10)], то отклик -диффузионный марковский процесс, у которого вероятность перехода удовлетворяет уравнению Эйнштейна — Фоккера с

Оба подхода — основанный на уравнении Эйнштейна — Фоккера и основанный на стохастическом дифференциальном уравнении для случайной функции -оказываются в рассмотренной задаче равносильными. Это, конечно, не означает их тождества за пределами этой задачи. Уравнение Эйнштейна — Фоккера обладает, например, несомненным преимуществом в тех случаях, когда наложены определенные ограничения множества возможных значений случайной функции (наличие отражающих или поглощающих стенок и т. п.), учитываемые просто соответствующими граничными условиями. При ланжевеновской постановке задачи введение такого рода ограничений довольно сложно. С другой стороны, как это уже было подчеркнуто, ланжевеновский метод не требует, чтобы сила обязательно была дельта-коррелирована.

Стоит, быть может, отметить, что как раз в случае дельта-коррелированной силы оперирование дифференциальным уравнением (35.5) имеет в известном смысле условный характер. Это уравнение написано не для х, а для мгновенного значения . Но при бесконечно-частых толчках отклик — не дифференцируемая функция, т. е. не существует (ни в каком из вероятностных смыслов понятия производной). Таким образом, все «дифференциальное уравнение» имеет лишь некий символический смысл. Это надо понимать следующим образом.

Формальное интегрирование уравнения (35.5) приводит к решению (35.7) для , в котором уже нет никаких неприятностей, поскольку оно содержит дельта-коррелированную дилу только под интегралом. Другими словами, уравнение (35.5) —

это (в рассматриваемом случае дельта-коррелированной силы) математически некорректная запись для последующего — уже вполне осмысленного и, в конечном счете, единственно интересующего нас — решения данного уравнения. Оправданием такого подхода являются хорошо известные преимущества оперирования дифференциальными уравнениями при постановке задачи — возможность исходить из общих динамических законов, возможность использования всего существующего арсенала математических средств для получения решения и т. д. Мы не говорим уже о том, что при не дельта-коррелированной все оговорки становятся излишними: стохастические дифференциальные уравнения для самих случайных функций приобретают тогда вполне определенное математическое содержание и, сверх того, позволяют выйти за пределы класса марковских процессов.

Постоянная С в функции корреляции (35.10) характеризует, очевидно, интенсивность случайных толчков. Вернемся к переменным, в которых сила и отклик системы энергетически сопряжены, т. е. произведение силы на производную отклика представляет собой мощность, отдаваемую системе. Это справедливо, например, для силы в уравнении (35.6), так как отдаваемая частице мощность равна . Уравнение (35.6) переходит в (35.5), будучи поделено на массу частицы т. Таким образом, так что функция корреляции настоящей силы в соответствии с (35.10), равна

Мы установили выше, что и что в задаче о скорости брауновской частицы . Следовательно, постоянная С в функции корреляции силы равна

    (35.12)

т. е. связана только с коэффициентом систематического трения h. В задаче о токе в -контуре под надо понимать случайную тепловую (§ 28), а под h — активное сопротивление контура R, так что корреляционная постоянная для будет

    (35.13)

Метод стохастических дифференциальных уравнений позволяет продвинуться и дальше. Решение (35.7) для х — это скорость и в задаче о брауновской частице или сила тока в -контуре. Но , где s — пройденный частицей путь, a q — перенесенный через сечение цепи заряд. Следовательно, мы можем получить статистические характеристики и для величин. Будем говорить о

Интегрируя выражение (35.7) для при (детерминированном) условии получаем

    (35.14)

Отсюда следует, что

    (35.15)

Очевидно, для величины

    (35.16)

справедливы те же соображения, на основании которых мы пришли к выводу, что величина , т. е. в нашем случае , распределена нормально. Таким образом, вероятность перехода для есть

Расчет дисперсии проводится так же, как и для . В обоих случаях речь идет о случайной функции вида

    (35.17)

Следовательно, в силу (35.10), имеем

Если H зависит только от разности , то, как нетрудно видеть,

    (35.18)

Для функция Н, согласно (35.16), есть

Подставив это в (35.18) и воспользовавшись (35.12), получаем

При это дает

Строго говоря, для брауновской частицы мы не имеем права рассматривать времена (времени релаксации), так как задача поставлена без учета вязкого последействия, но в задаче о -контуре это ограничение отпадает. В противоположном случае имеем

    (35.19)

— формула, полученная впервые Эйнштейном. Она показывает, что оживленность брауновского движения растет с повышением температуры и с уменьшением коэффициента вязкого трения h. Масса в (35.19) не входит, что позволяет получить эту формулу из уравнения для , пренебрегая в нем инерцией, т. е. из уравнения

откуда