Главная > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава V. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 33. Постановка вопроса

Мы уже отмечали, что марковские процессы можно рассматривать как непосредственное обобщение детерминированных процессов, а именно как отклик динамической системы на случайное воздействие. Конечно, это не означает, что отклик любой динамической системы на произвольное случайное воздействие обязательно будет процессом без вероятностного последействия. Напротив, можно предвидеть заранее, что для этого необходимо выполнение определенных условий. Однако в рамках того чисто вероятностного подхода, который был изложен в предыдущей главе, т. е. при выводе уравнений для функций распределения (вероятностей состояний, вероятностей перехода), мы, по существу, не анализировали вопроса ни о динамических свойствах системы, ни о вероятностных свойствах воздействий на нее. Применяя теорию марковских процессов (например, к автогенератору), мы были вынуждены поэтому апеллировать к различным качественным соображениям об условиях марковости отклика. Действительно, коэффициенты в уравнениях Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями (§ 23), коэффициенты в уравнении Эйнштейна—Фоккера для диффузионных марковских процессов (§§ 26, 27), а также ядро и вероятность в уравнении Колмогорова — Феллера в случае скачкообразного марковского процесса (§ 31) - все эти величины появились в результате определенных предположений о том, как должны вести себя искомые вероятности перехода на бесконечно малых промежутках времени. Связь этих функций с динамическими характеристиками системы и с вероятностными свойствами случайных воздействий установлена не была.

Обратимся теперь к другому подходу к случайным процессам в динамических системах, при котором исходными являются

уравнения не для вероятностей перехода (или других функций распределения), а для самого случайного отклика Этот подход был введен Ланжевеном в связи с теорией брауновского движения [1], но его значение и возможности значительно шире. Достаточно указать на то, что он не ограничен требованием марковости отклика

Для пояснения постановки вопроса возьмем случай линейной динамической системы (что тоже не обязательно), описываемой, например, дифференциальным уравнением

Здесь — внешняя сила, линейный дифференциальный оператор, который в общем случае тоже явно зависит от времени t — через коэффициенты при производных:

(параметрическое воздействие). Пусть динамическая задача, поставленная уравнением (33.1) с заданными начальными условиями имеет единственное решение Предположим теперь, что и сила и коэффициенты и начальные значения случайны, причем почти для всех реализаций этих случайных функций и величин (т. е. почти наверное) остаются в силе условия единственности решения Тогда уравнение (33.1) порождает множество реализаций и естественно ожидать, что все вероятностные свойства этого (теперь уже случайного) процесса будут вполне определены статистикой исходных случайных функций и величии. Если это справедливо, то можно рассчитывать и на то, что в частном случае, когда отклик оказывается диффузионным марковским процессом, статистика исходных функций и величин должна определять коэффициенты в уравнении Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода случайного процесса

Конечно, здесь возникает ряд чисто математических вопросов. Например, в каких случаях можно получить дифференциальные уравнения для или по крайней мере для любых моментов . Когда обеспечена марковость процесса которая, как сказано, вовсе не обязательна при описанной постановке вопроса? И т. п. Мы не можем и не будем пытаться анализироватьэти вопросы во всей полноте, тем более что не все они уже имеют ответ, а ограничимся лишь некоторыми результатами, представляющими непосредственный интерес для приложений.

Прежде всего нам надо познакомиться с еще одним классом случайных функций, который играет важную роль именно в тех случаях, когда отклик динамической системы оказывается марковским процессом.

1
Оглавление
email@scask.ru