Глава V. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 33. Постановка вопроса

Мы уже отмечали, что марковские процессы можно рассматривать как непосредственное обобщение детерминированных процессов, а именно как отклик динамической системы на случайное воздействие. Конечно, это не означает, что отклик любой динамической системы на произвольное случайное воздействие обязательно будет процессом без вероятностного последействия. Напротив, можно предвидеть заранее, что для этого необходимо выполнение определенных условий. Однако в рамках того чисто вероятностного подхода, который был изложен в предыдущей главе, т. е. при выводе уравнений для функций распределения (вероятностей состояний, вероятностей перехода), мы, по существу, не анализировали вопроса ни о динамических свойствах системы, ни о вероятностных свойствах воздействий на нее. Применяя теорию марковских процессов (например, к автогенератору), мы были вынуждены поэтому апеллировать к различным качественным соображениям об условиях марковости отклика. Действительно, коэффициенты в уравнениях Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями (§ 23), коэффициенты в уравнении Эйнштейна—Фоккера для диффузионных марковских процессов (§§ 26, 27), а также ядро и вероятность в уравнении Колмогорова — Феллера в случае скачкообразного марковского процесса (§ 31) - все эти величины появились в результате определенных предположений о том, как должны вести себя искомые вероятности перехода на бесконечно малых промежутках времени. Связь этих функций с динамическими характеристиками системы и с вероятностными свойствами случайных воздействий установлена не была.

Обратимся теперь к другому подходу к случайным процессам в динамических системах, при котором исходными являются

уравнения не для вероятностей перехода (или других функций распределения), а для самого случайного отклика Этот подход был введен Ланжевеном в связи с теорией брауновского движения [1], но его значение и возможности значительно шире. Достаточно указать на то, что он не ограничен требованием марковости отклика

Для пояснения постановки вопроса возьмем случай линейной динамической системы (что тоже не обязательно), описываемой, например, дифференциальным уравнением

Здесь — внешняя сила, линейный дифференциальный оператор, который в общем случае тоже явно зависит от времени t — через коэффициенты при производных:

(параметрическое воздействие). Пусть динамическая задача, поставленная уравнением (33.1) с заданными начальными условиями имеет единственное решение Предположим теперь, что и сила и коэффициенты и начальные значения случайны, причем почти для всех реализаций этих случайных функций и величин (т. е. почти наверное) остаются в силе условия единственности решения Тогда уравнение (33.1) порождает множество реализаций и естественно ожидать, что все вероятностные свойства этого (теперь уже случайного) процесса будут вполне определены статистикой исходных случайных функций и величии. Если это справедливо, то можно рассчитывать и на то, что в частном случае, когда отклик оказывается диффузионным марковским процессом, статистика исходных функций и величин должна определять коэффициенты в уравнении Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода случайного процесса

Конечно, здесь возникает ряд чисто математических вопросов. Например, в каких случаях можно получить дифференциальные уравнения для или по крайней мере для любых моментов . Когда обеспечена марковость процесса которая, как сказано, вовсе не обязательна при описанной постановке вопроса? И т. п. Мы не можем и не будем пытаться анализироватьэти вопросы во всей полноте, тем более что не все они уже имеют ответ, а ограничимся лишь некоторыми результатами, представляющими непосредственный интерес для приложений.

Прежде всего нам надо познакомиться с еще одним классом случайных функций, который играет важную роль именно в тех случаях, когда отклик динамической системы оказывается марковским процессом.