§ 51. Случайное воздействие на безынерционные нелинейные системы

Во многих случаях представляет интерес воздействие на нелинейную систему детерминированного и (или) случайного процесса (детерминированный сигнал плюс шум, случайный сигнал

плюс шум, только шум), причем сама система состоит не только из собственно нелинейных элементов (детекторы, ограничители), но и из линейных цепей (фильтры, резонансные контуры и т. п.). Такая система описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут содержать кроме аргумента t еще и «запаздывающий аргумент» (наличие линий задержки). Одна из возможных задач состоит в том, чтобы при полном задании процесса на входе, т. е. при известных его конечномерных распределениях, получить столь же полное описание выходного процесса. Задача эта очень трудна даже для линейных систем, а для нелинейных сделано совсем немного (см., например, [6, 7]).

Универсальных методов здесь не существует (как, впрочем, и для случая детерминированного воздействия), и в каждой конкретной задаче приходится искать какие-либо приемы, приуроченные либо к специальному виду уравнений, описывающих систему, либо к специальному характеру воздействия (например, марковский процесс, белый шум и т. д.), либо к ограниченной постановке вопроса. Нас могут, скажем, интересовать на выходе не функции распределения, а лишь среднее значение и функция корреляции.

Дело обстоит значительно легче, если речь идет о безынерционных нелинейных системах, т. е. просто о нелинейной функциональной связи входного процесса и выходного процесса

где функция F описывает характеристику нелинейного элемента (детектора, ограничителя и т. п.). Цепь может содержать при этом и линейную нагрузку, но чисто активную: наличие реактивных параметров сразу приводит к нелинейному дифференциальному уравнению. В случае безынерционной нелинейности нахождение конечномерных распределений если таковые известны для не представляет затруднений, но сначала мы коснемся вычисления моментов

Для нахождения какого-либо момента порядка вида

на выходе линейной системы надо [поскольку выражается как линейный оператор от знать только смешанный момент того же порядка вида

В случае нелинейной системы, даже столь простой, как (51.1), этого уже недостаточно. Момент вида (51.2) может быть вычислен, только если известна -мерная функция распределения

входного процесса [для сокращения записи мы будем опускать параметры ] Действительно,

Но, коль скоро известны моменты любого порядка для совокупности k случайных величин можно (за исключением особых и практически неинтересных случаев) построить и -мерную функцию распределения . Таким образом, должна определяться известной нам Разумеется, это так и есть, ибо зависимость (51.1), справедливая при любом значении t, сводит нахождение к преобразованию от переменных к переменным

В задаче 7 гл. I это было сделано для взаимно-однозначного преобразования общего вида т. е. преобразования

Функция распределения w выражается в этом случае через следующим образом:

причем в правую часть, в соответствии с обратным преобразованием , которое, по предположению, однозначно, подставлены . Нас интересует сейчас частный случай преобразования (51.4), когда

и, обратно,

Нетрудно видеть, что формула (51.5) принимает при этом вид

Это выражение и давало бы полный ответ, если бы не одно усложнение, связанное с тем, что характеристики реальных нелинейных устройств зачастую обладают неоднозначной обратной функцией Рассмотрим поэтому именно такой случай.

На рис. 52 показаны два примера нелинейных характеристик первой из которых соответствует однозначная обратная функция а второй — двузначная.

Рис. 52.

В первом случае попадание у в интервал имеет ту же вероятность, что и попадание х в интервал так что

Во втором случае вероятность попадания у в интервал равна сумме вероятностей двух несовместимых событий — попадания х либо в либо в Через мы обозначили при этом две ветви обратной функции . Таким образом, во втором случае

Вообще, если имеет m ветвей, то

    (51.9)

Можно прийти к тому же результату и несколько иным, более формальным, но поучительным способом. Располагая мы можем вычислить -мерную характеристическую функцию для выходного процесса:

    (51.10)

При помощи можно легко находить любые моменты вида (51.2) (см. § 9), но, выполнив преобразование Фурье, можно получить и

Подставив сюда (51.10) и учтя, что

находим

    (51.11)

Дельта-функция дает вклад в интеграл только в тех точках, в которых т. е. в точках , где ветвь функции, обратной . В малой окрестности каждой из этих точек (а для дельта-функции достаточно сколь угодно малой окрестности) можно считать, что

и, следовательно, в окрестности

С учетом же всех точек имеем

Составив произведение

и подставив его в (51.11), получаем

    (51.12)

В частном случае одномерной функции распределения отсюда следует формула (51.9). При взаимно-однозначном преобразовании формула (51.12) сводится к одночленной формуле (51.6).

Мы видели, что нормальный процесс на входе линейной системы дает нормальный же процесс на ее выходе. Более того, при достаточно узкой полосе пропускаемых частот линейная система могла дать на выходе нормальный процесс при негауссовом воздействии. Полученные формулы показывают, что нелинейная система (по крайней мере в рассматриваемом случае безынерционности) радикально меняет распределен ние и, в частности, не сохраняет нормального распределения, если оно и было у входного процесса.

Рис. 54.

Рассмотрим несколько простых примеров.

Пусть характеристика состоит из двух прямолинейных лучей с угловыми коэффициентами К (при ) и k (при ) (рис. 53, а). Если входной процесс гауссов, со стандартом , то, как это ясно и без вычислений, распределение на выходе будет составлено из двух гауссовых законов — при со стандартом К, а при стандартом ко (рис. 53, б). При (переход к так называемому линейному детектору) левая часть сжимается в дельта-функцию при любое дает на выходе

У квадратичного детектора

(рис. 54, а) обратная функция двузначна:

По формуле (51.9) получаем

Если распределение нормально, то распределение для будет

    (51.13)

(рис. 54, б), т. е., как и в первом примере, уже не является гауссовым.

Остановимся на способах вычисления среднего значения и момента в некоторых частных случаях. Согласно (44.3) имеем

Для вычисления двукратного интеграла, выражающего применяются различные математические приемы: сведение этого интеграла к контурному, различного рода разложения в ряд, например разложение по какой-либо системе ортогональных функций

и другие способы, использующие те или иные частные особенности задачи.

Пусть, например, стационарный гауссов процесс, так что

    (51.14)

Разложив по степеням , нетрудно получить, что

    (51.15)

где

Допустим, что при . Тогда из (51.15) получаем

и, следовательно,

    (51.16)

Спектральная плотность по положительным частотам будет

    (51.17)

Таким образом, форма спектра на выходе определяется как коэффициентом корреляции входного процесса (т. е. его спектром), так и нелинейной характеристикой от вида которой зависят значения коэффициентов

Рис. 55.

Если гауссов процесс на входе имеет узкий спектр и (для простоты) симметричный относительно частоты то, согласно § 44,

    (51.18)

где - медленная функция т. Двумерное распределение (51.14) в этом случае — периодическая функция и может быть разложено в ряд Фурье:

где

Подстановка в формулу для дает

    (51.19)

причем коэффициенты

— медленные функции . Спектр состоит поэтому из узких полос, расположенных на частотах (рис. 55). Разумеется, если подставить в (51.15) выражение (51.18) для ,

выразить степени через косинусы кратных дуг и перегруппировать члены, мы придем к (51.19).

В случае квазимонохроматического входного процесса где можно вычислить еще и другим способом, а именно пользуясь функциями распределения огибающей А и фазы Периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье по Ф:

    (51.20)

где

Поскольку член ряда (51.20) - это квазимонохроматический процесс, спектр которого лежит в окрестности . В случае стационарного процесса совместное распределение А и имеет, как мы знаем (§ 44), вид

Следовательно,

и для вычисления среднего значения надо знать только распределение огибающей Но для вычисления необходимо уже четырехмерное распределение Если - гауссов процесс, то это распределение (44.23). Все расчеты могут быть доведены при этом до конца.

Существенную пользу при вычислении моментов процесса на выходе безынерционного нелинейного элемента цепи, в особенности в тех случаях, когда процесс на входе не является нормальным, можно извлечь из кумулянтных уравнений, примеры которых были приведены в задачах 15 и 16 гл. II (см. задачи 3 и 4 данной главы).

Результаты, относящиеся к тому или иному частному виду нелинейной характеристики (51.1), можно, конечно, получить из общих формул, но если характеристика простая, то и расчеты проще проводить непосредственно для этой характеристики.

Пусть, например, на квадратичный детектор воздействует суперпозиция детерминированного сигнала и гауссова шума

Следовательно,

так что

    (51.21)

Здесь учтено, что у нормальной функции нечетные моменты равны нулю, а Функция корреляции зависит от t через произведение . В отсутствие сигнала процесс на выходе детектора стационарен и функция корреляции равна

    (51.22)

Рис. 56.

Это не что иное, как степенное разложение (51.16) содержащее в данном случае только один член (только . Если шум квазимонохроматичен и имеет место (51.18), то

    (51.23)

т. е. первоначальный спектр, локализованный в окрестности частоты дает на выходе квадратичного детектора две полосы — вблизи и (рис. 56). Медленно меняющаяся часть, примыкающая к может бытк выделена, как это большей частью и делается, последующим видеофильтром. Вообще, если нелинейный элемент включен между линейными цепями (например, фильтрами) и обратная реакция последующего звена на предыдущее отсутствует, то расчет такой цепи может, очевидно, производиться поэтапно от звена к звену.

Формула (51.23) - это, конечно, разложение Фурье (51.19), в котором отличны от нуля только

Согласно (51.21) дисперсия на выходе квадратичного детектора при наличии сигнала есть

Если и сигнал и шум квазимонохроматичны, а процесс на выходе детектора подвергается усреднению по периоду высокой частоты (такого рода операцию производит, и видеофильтр

фильтр, срезающий частоты , то дисперсия будет равна

где волнистой чертой обозначено указанное временное усреднение. Простейшим условием непосредственного обнаружения сигнала при наличии шума является неравенство т. е. достаточно большое значение отношения средних мощностей сигнала и шума (обычно говорят короче: отношения «сигнал/шум»).

Разумеется, такого рода критерий обнаружения сигнала в шуме не является ни общим, ни сколько-нибудь универсальным. Общая постановка задачи достаточно сложна, так как должна учитывать особенности сигнала (его импульсный или стационарный характер, его зависимость от различных параметров, которые частично могут быть случайными, частично детерминированными) и должна оценивать как вероятность правильного обнаружения — превышения некоторого порога на выходе приемного устройства при наличии сигнала, так и вероятность ложного обнаружения (как принято говорить в радиолокации — ложной тревоги), т. е. превышения порога в отсутствие сигнала, за счет одного только шума. Относящиеся сюда вопросы составляют в настоящее время большую область применения теории случайных функций и важны не только для радиосвязи и радиолокации, но и вообще для измерений при наличии шумов. Однако в целом эту область можно охарактеризовать как типичную «радиоматематику». Физической проблематики здесь, по сути дела, нет, и мы не будем поэтому углубляться в данный круг задач, которым посвящена обширная специальная литература (укажем на книги [8—11]).