Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 51. Случайное воздействие на безынерционные нелинейные системыВо многих случаях представляет интерес воздействие на нелинейную систему детерминированного и (или) случайного процесса (детерминированный сигнал плюс шум, случайный сигнал плюс шум, только шум), причем сама система состоит не только из собственно нелинейных элементов (детекторы, ограничители), но и из линейных цепей (фильтры, резонансные контуры и т. п.). Такая система описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут содержать кроме аргумента t еще и «запаздывающий аргумент» Универсальных методов здесь не существует (как, впрочем, и для случая детерминированного воздействия), и в каждой конкретной задаче приходится искать какие-либо приемы, приуроченные либо к специальному виду уравнений, описывающих систему, либо к специальному характеру воздействия (например, марковский процесс, белый шум и т. д.), либо к ограниченной постановке вопроса. Нас могут, скажем, интересовать на выходе не функции распределения, а лишь среднее значение и функция корреляции. Дело обстоит значительно легче, если речь идет о безынерционных нелинейных системах, т. е. просто о нелинейной функциональной связи входного процесса
где функция F описывает характеристику нелинейного элемента (детектора, ограничителя и т. п.). Цепь может содержать при этом и линейную нагрузку, но чисто активную: наличие реактивных параметров сразу приводит к нелинейному дифференциальному уравнению. В случае безынерционной нелинейности нахождение конечномерных распределений Для нахождения какого-либо момента
на выходе линейной системы надо [поскольку
В случае нелинейной системы, даже столь простой, как (51.1), этого уже недостаточно. Момент вида (51.2) может быть вычислен, только если известна входного процесса
Но, коль скоро известны моменты любого порядка для совокупности k случайных величин В задаче 7 гл. I это было сделано для взаимно-однозначного преобразования общего вида
Функция распределения w выражается в этом случае через следующим образом:
причем в правую часть, в соответствии с обратным преобразованием
и, обратно,
Нетрудно видеть, что формула (51.5) принимает при этом вид
Это выражение и давало бы полный ответ, если бы не одно усложнение, связанное с тем, что характеристики реальных нелинейных устройств зачастую обладают неоднозначной обратной функцией На рис. 52 показаны два примера нелинейных характеристик
Рис. 52. В первом случае попадание у в интервал
Во втором случае вероятность попадания у в интервал
Вообще, если
Можно прийти к тому же результату и несколько иным, более формальным, но поучительным способом. Располагая
При помощи можно легко находить любые моменты вида (51.2) (см. § 9), но, выполнив преобразование Фурье, можно получить и
Подставив сюда (51.10) и учтя, что
находим
Дельта-функция
и, следовательно, в окрестности
С учетом же всех точек
Составив произведение
и подставив его в (51.11), получаем
В частном случае одномерной функции распределения отсюда следует формула (51.9). При взаимно-однозначном преобразовании формула (51.12) сводится к одночленной формуле (51.6). Мы видели, что нормальный процесс на входе линейной системы дает нормальный же процесс на ее выходе. Более того, при достаточно узкой полосе пропускаемых частот линейная система могла дать на выходе нормальный процесс при негауссовом воздействии. Полученные формулы показывают, что нелинейная система (по крайней мере в рассматриваемом случае безынерционности) радикально меняет распределен ние и, в частности, не сохраняет нормального распределения, если оно и было у входного процесса.
Рис. 54. Рассмотрим несколько простых примеров. Пусть характеристика У квадратичного детектора
(рис. 54, а) обратная функция двузначна:
По формуле (51.9) получаем
Если распределение
(рис. 54, б), т. е., как и в первом примере, уже не является гауссовым. Остановимся на способах вычисления среднего значения
Для вычисления двукратного интеграла, выражающего
и другие способы, использующие те или иные частные особенности задачи. Пусть, например,
Разложив
где
Допустим, что
и, следовательно,
Спектральная плотность
Таким образом, форма спектра на выходе определяется как коэффициентом корреляции
Рис. 55. Если гауссов процесс на входе имеет узкий спектр и (для простоты) симметричный относительно частоты
где
где
Подстановка в формулу для
причем коэффициенты
— медленные функции выразить степени В случае квазимонохроматического входного процесса
где
Поскольку
Следовательно,
и для вычисления среднего значения Существенную пользу при вычислении моментов процесса на выходе безынерционного нелинейного элемента цепи, в особенности в тех случаях, когда процесс на входе не является нормальным, можно извлечь из кумулянтных уравнений, примеры которых были приведены в задачах 15 и 16 гл. II (см. задачи 3 и 4 данной главы). Результаты, относящиеся к тому или иному частному виду нелинейной характеристики (51.1), можно, конечно, получить из общих формул, но если характеристика простая, то и расчеты проще проводить непосредственно для этой характеристики. Пусть, например, на квадратичный детектор
Следовательно,
так что
Здесь учтено, что у нормальной функции
Рис. 56. Это не что иное, как степенное разложение (51.16) содержащее в данном случае только один член (только
т. е. первоначальный спектр, локализованный в окрестности частоты Формула (51.23) - это, конечно, разложение Фурье (51.19), в котором отличны от нуля только Согласно (51.21) дисперсия на выходе квадратичного детектора при наличии сигнала есть
Если и сигнал и шум квазимонохроматичны, а процесс на выходе детектора подвергается усреднению по периоду высокой частоты фильтр, срезающий частоты
где волнистой чертой обозначено указанное временное усреднение. Простейшим условием непосредственного обнаружения сигнала при наличии шума является неравенство Разумеется, такого рода критерий обнаружения сигнала в шуме не является ни общим, ни сколько-нибудь универсальным. Общая постановка задачи достаточно сложна, так как должна учитывать особенности сигнала (его импульсный или стационарный характер, его зависимость от различных параметров, которые частично могут быть случайными, частично детерминированными) и должна оценивать как вероятность правильного обнаружения — превышения некоторого порога на выходе приемного устройства при наличии сигнала, так и вероятность ложного обнаружения (как принято говорить в радиолокации — ложной тревоги), т. е. превышения порога в отсутствие сигнала, за счет одного только шума. Относящиеся сюда вопросы составляют в настоящее время большую область применения теории случайных функций и важны не только для радиосвязи и радиолокации, но и вообще для измерений при наличии шумов. Однако в целом эту область можно охарактеризовать как типичную «радиоматематику». Физической проблематики здесь, по сути дела, нет, и мы не будем поэтому углубляться в данный круг задач, которым посвящена обширная специальная литература (укажем на книги [8—11]).
|
1 |
Оглавление
|