§ 3. Биномиальный закон распределения

Если выполнение конечного числа испытаний можно расположить определенным образом во времени, например, приурочив испытание номера v к моменту времени (или как-либо иначе), то мы получим тем самым некоторую модель случайного процесса, для рассмотрения которой достаточны представления и методы классической теории вероятностей. В качестве примера рассмотрим хорошо известную задачу теории вероятностей — задачу Бернулли (1713 г.), в которой речь идет о последовательности независимых испытаний и которая может служить одной из наиболее ярких иллюстраций того, как одна и та же математическая схема (динамическая или статистическая) охватывает множество совершенно разнородных явлений.

Перечислим ряд конкретных вопросов, непосредственно сводящихся к математической схеме задачи Бернулли. Для части этих вопросов не требуется какой-либо локализации испытаний во времени, другие же допускают или даже предполагают такую локализацию, т. е. касаются процессов, разворачивающихся со временем.

1. Урновая задача. В урне лежат белые и черные шары, причем вероятность вынимания белого шара (событие А) есть и соответственно для черного шара (событие А) . Производится N испытаний, причем каждый раз вынутый шар кладется обратно и шары перемешиваются (этим обеспечивается независимость испытаний). Какова вероятность того, что при N испытаниях какие-либо раз будет вынут белый шар?

2. Бросание монеты. Какова вероятность того, что при N бросаниях раз выпадет «орел», если вероятность выпадения «орла» при одном бросании есть Или какова вероятность того, что из N новорожденных окажутся мальчиками, если вероятность рождения мальчика

3. Флуктуации плотности. В объеме. V находится N молекул газа. Вероятность попадания молекулы в выделенный

из V объем и (событие А) равна . Какова вероятность того, что в v находится каких-то молекул?

4. Флуктуации интенсивности. Складываются N колебаний вида , причем с вероятностями и q. Какова вероятность того, что интенсивность суммарного колебания будет равна

т. е. амплитуда войдет раз?

5. Телефонные вызовы. Телефонистка дежурит в течение времени Т. Вероятность того, что за очень малый интервал произойдет вызов, равна . Какова вероятность вызовов за все время дежурства?

6. Дробовой эффект в вакууме. Из накаленной нити вылетают электроны, причем вероятность вылета за весьма малое время х есть . Какова вероятность того, что за время Т на анод прилетит электронов, т. е. поступит заряд Если в анодной цепи стоит интегрирующий прибор, суммирующий заряд за время Т, то наш вопрос направлен к выяснению того, что покажет этот прибор в среднем и насколько он будет флуктуировать. Случайные блуждания. Примем следующую модель движения брауновской частицы: она совершает скачки на отрезок а вправо или влево с вероятностями и q. Какова вероятность того, что за N скачков частица уйдет на расстояние а, т. е. сделает шагов вправо? Если здесь то можно сказать, что это одномерное движение «абсолютно пьяного человека»; если же А — шаг вправо, А — шаг на месте, то это движение «нерешительного человека».

Три последних вопроса касаются процессов во времени. Они естественным образом связываются с представлением об испытаниях, производимых в последовательные моменты времени.

Общая постановка задачи, следовательно, такова: производится N независимых испытаний, при каждом происходит одно из противоположных событий А или А. Какова вероятность того, что за N испытаний какие-либо раз произойдет событие А? Хотя решение задачи Бернулли хорошо известно, все же воспроизведем его здесь.

Итак,

Какова вероятность того, что при N независимых испытаниях получится последовательность

т. е. на месте А, на месте А и т. д., причем А произойдет всего раз? Ответ очевиден:

Нас интересует событие В, состоящее в том, что А произошло раз при каких-то испытаниях из N. Появление раз А при определенных испытаниях — это все частные случаи В, взаимно исключающие друг друга.. По аксиоме сложения

Но число частных случаев В — это число способов, которыми можно выбрать элементов из N, т. е. Следовательно,

— закон распределения, называемый биномиальным, так как представляет собой член разложения бинома Написанная сумма должна быть равна единице, поскольку она выражает вероятность какого-либо из возможных значений . Очевидно, это так и есть ввиду того, что

В более общем случае, когда при каждом испытании возможно наступление одного из k взаимно исключающих событий с вероятностями (разумеется, ) вероятность того, что за N испытаний событие произойдет раз будет выражаться соответствующим членом степенного разложения а именно:

Рассмотрим некоторые свойства и следствия биномиального закона распределения.

Если обозначить через то значение , при котором вероятность максимальна, т. е. наивероятнейшее значение , то из условия

нетрудно получить, что

Таким образом, имеется либо одно, либо два оптимальных значения. Если то

Найдем теперь среднее значение и дисперсию Для момента порядка имеем

После того как оператор применен k раз, нужно учесть в полученном результате, что . В частности,

и, следовательно,

Заметим, что при больших N среднее значение совпадает, согласно (3.2), с наивероятнейшим. Что касается дисперсии то она растет с числом испытаний N так же, как и среднее значение, т. е. пропорционально N. Поэтому среднее относительное отклонение

с ростом N убывает. Таким образом, с увеличением N флуктуации растут, но относительные флуктуации падают.