Задачи

1. Пользуясь ответом задачи 5 гл. II, написать характеристическую функцию для -мерного распределения нормального случайного процесса со средним значением

Решение. Элементы корреляционной матрицы случайных величин равны

так что

Если процесс в широком смысле стационарен, то

а это означает, что и -мерная плотность вероятности зависит при любом только от разностей моментов времени. Таким образом, для нормального процесса стационарность в широком смысле влечет за собой стационарность и в узком смысле.

2. Располагая двумерным распределением случайного процесса . получить совместную функцию распределения для Найти для стационарного нормального процесса.

Решение. Имеем , где возможные значения Введем вместо новую переменную так что при имеем например, в среднем квадратичном. С точностью до первого порядка по х можно написать и, следовательно,

В пределе при получаем

Для стационарного нормального процесса (для простоты с ) имеем

где - коэффициент корреляции. Так как имеет при максимум (равный единице), степенное разложение есть

Следовательно,

Если ввести переменные интегрирования то

Таким образом, нормальны и независимы (в один и тот же момент времени), причем

3. Показать, что у стационарного в узком смысле случайного процесса смежные по порядку производные некоррелированы.

Решение. Для вычисления производной надо располагать (-мерным распределением самого процесса ). Следовательно, стационарность и стационарная связанность всех производных требуют стационарности в узком смысле.

Для смежных по порядку производных, взятых в один и тот же момент времени t, имеем

так как средний квадрат любой производной — постоянная величина. В частности,

но вообще говоря, отлично от нуля.