§ 57. Спектры нестационарных процессов. Квазистационарные процессы

Вопросы спектрального анализа нестационарных процессов привлекают внимание уже в течение многих лет. Интерес к ним обусловлен как потребностями измерительной техники, так и тем, что здесь приходится иметь дело с более сложными понятиями, чем в случае стационарных процессов. Это обусловлено, конечно, нелокализуемостью нестационарных процессов по частоте (§ 40), т. е. наличием корреляции между разночастотными гармоническими компонентами нестационарного и (по предположению) гармонизуемого процесса Из-за этой корреляции «энергетические» вклады таких компонент неаддитивны и моменты второго порядка не представимы в виде однократных разложений Фурье с какой-то постоянной (не зависящей от времени) спектральной интенсивностью, аналогичной интенсивности стационарных процессов. Спектральная «масса» нестационарного процесса двумерна, и средние билинейные (в частности, квадратичные) величины могут быть выражены лишь в виде двукратных интегралов Фурье — Стилтьеса (§ 40).

Хорошо известно, однако, насколько часто возникает стремление (как в науке, так и, в особенности, в инженерной практике) распространить привычные понятия и методы за пределы области их законной применимости. Не удивительно, что и в данном вопросе — о спектральных разложениях билинейных («энергетических») характеристик нестационарных процессов — появились и появляются многочисленные работы, направленные к тому, чтобы построить и для этого случая какой-то эквивалент одномерной и неотрицательной спектральной интенсивности . Поскольку было сразу же ясно, что в общем случае эта задача не имеет точного решения, усилия были направлены к тому, чтобы решить ее приближенно и установить границы применимости соответствующих приближений. Отсюда и возникли понятия спектра мощности, усредненного по конечному

времени (finite-time averaged spectra), кратковременного (short-time) спектра, «физического» спектра и т. п. Мы коротко затронем эти вопросы в следующем параграфе, а сейчас обратимся к точным (двумерным) спектральным разложениям нестационарных процессов.

Мы предположим, что рассматриваемый, вообще говоря, комплексный процесс гармонизуем, и допустим для простоты, что он обладает нулевым средним значением и чисто сплошным спектром. Таким образом, разложение Фурье имеет вид (40.4):

причем с Смешанный момент равен

где — двумерная плотность комплексной спектральной «массы» (40.10):

Как мы знаем (§ 40), гармонизуемость означает, что интеграл (57.1) существует в среднем квадратичном, для чего необходимо и достаточно, чтобы при всех был конечен интеграл (57.2). В частности, конечен и средний квадрат модуля , т. е. мгновенная средняя мощность процесса:

Часто бывает удобно пользоваться вместо переменными

так что

Обозначим смешанный момент, рассматриваемый как функция t и х, через

Заметим, что симметрия относительно t обусловливает эрмитовость по сдвигу :

что означает четность по в случае вещественного процесса

Согласно (57.2) и (57.5)

откуда ясно, что целесообразно и на плоскости перейти к переменным, аналогичным (57.5), а именно:

или

Обозначим двумерную спектральную плотность, рассматриваемую как функция Q и через

Тогда (57.2) принимает вид

    (57.9а)

откуда обратно

    (57.9б)

В силу (57.8) плотность эрмитова по

    (57.10)

а если процесс вещественный, так что то четна по и:

    (57.11)

В общем случае комплексная спектральная «масса» распределена по всей плоскости , но если - нестационарный аналитический сигнал, то, как это ясно из (41.18), его двумерная спектральная плотность отлична от нуля только в первом квадранте плоскости .

Все корреляционные свойства процесса конечно, отражены определенным образом и в распределении комплексной спектральной «массы». В общем случае зависимость от времени t и сдвига , конечно, может быть по обеим переменным многомасштабной. Пусть — наименьшие характерные масштабы соответственно по I и . Двумерная спектральная плотность обладает в этом случае двумя наибольшими масштабами — порядка по Q и по , т. е. комплексная спектральная «масса» распределена в области с такими протяженностями по осям Q и .

Пусть момент меняется в функции от t гораздо более медленно, чем в функции от . Иначе говоря, характерные времена изменения по t и существенно разные: если Т — наибольший масштаб по , то . Средняя мгновенная мощность, равная , очевидно, тоже должна быть медленной функцией в указанном смысле, т. е. должна мало меняться на интервалах t порядка Т. Пусть для простоты - вещественный процесс. Сказанное означает тогда, одномерная плотность вероятностей получающаяся из двумерной плотности интегрированием по всей области возможных значений либо по либо по — тоже медленная функция t. Следовательно, медленной функцией будет и среднее значение

Случайный процесс с такими свойствами, т. е. с моментами мало меняющимися по t на наибольшем характерном временном интервале флуктуаций Т, можно назвать квазистационарным (в широком смысле) Очевидно, флуктуации в какой-либо системе, стационарные при неизменных параметрах и условиях, при достаточно медленном изменении этих параметров и условий во многих случаях окажутся

квазистационарными. Например, дробовой шум в электронной лампе или полупроводниковом приборе при изменениях среднего тока будет квазистационарным, если за наибольшее время корреляции шума Т средний ток меняется мало. Аналогично обстоит дело и с тепловым шумом в электрической цепи при медленном изменении ее сопротивления и (или) температуры. Если указанные шумы считаются белыми , то даже не возникает ограничения скорости изменения параметров системы. Однако учет отличного от нуля Т необходим для конечности дисперсии процесса, а это последнее условие целесообразно включить в определение квазистационарности — как по аналогии с определением стационарности в широком смысле, так и в качестве условия гармонизуемости процесса. Конечно, при этом нестационарный белый шум строго говоря, исключается из класса в широком смысле квазистационарных процессов, подобно тому как стационарный белый шум не относится к процессам, в широком смысле стационарным.

Нетрудно сообразить, как проявляется квазистационарность процесса в двумерном распределении его спектральной «массы». Характерные масштабы спектральной плотности -наибольший порядка по и наименьший порядка по — удовлетворяют неравенству Таким образом, спектральная «масса» сосредоточена в области, сильно вытянутой вдоль биссектрисы (по меньшей мере на интервал порядка и узкой в направлении оси Q (ширина порядка . Подчеркнем, что из двух условий стационарности в широком смысле 1) концентрации спектральной «массы» точно на биссектрисе Q = 0 и 2) конечности полного количества этой «массы» — у квазистационарных процессов «немного» нарушено первое условие, тогда как у йроцессов со стационарными приращениями и у белых шумов — второе.

Очевидно, стационарные процессы представляют собой предельный случай, получающийся при неограниченном возрастании масштаба . При таком предельном переходе момент вообще перестает зависеть от t, а спектральная «масса» концентрируется на биссектрисей так как наибольший масштаб по стремится к нулю. В пределе мы получаем где — вещественная одномерная спектральная плотность стационарного процесса.

В числе операций, производимых над самим нестационарным процессом или над его моментами второго порядка, нам пойадобится в дальнейшем операция сглаживания момента или средней мгновенной мощности по

некоторому временному интервалу . Согласно (57.9 а),

и, следовательно,

Главный максимум множителя равный единице на биссектрисе занимает полосу между значениями Вне этой полосы спектр процесса практически подавлен. Таким образом, моменты сглаженные по достаточно большому интервалу Г (превосходящему наибольшее время корреляции Т), меняются со временем, так, как если бы это были моменты квазистационарного процесса с наименьшим масштабом по Q. Переход к стационарному процессу при разумеется, предполагает либо наличие в стационарной компоненты, обладающей конечной «массой» на биссектрисе либо замену мгновенной сглаженной мощности энергией, накопленной за время от до t

Рассмотрим теперь второй пример — двумерный спектр вещественного модулированного процесса где — функции, меняющиеся медленно по сравнению с . Смешанный момент соответствующего аналитического

равен

Двумерная спектральная плотность комплексной амплитуды локализована в окрестности начала координат плоскости в области, линейные размеры которой малы по сравнению с (на рис. 76 эта область показана пунктиром и вертикальной штриховкой). Умножение на смещает центр этой области вдоль оси и в точку

«Второй» смешанный момент аналитического сигнала (§ 38) равен

«Вторая» спектральная плотность , тоже отлична от нуля лишь в малой окрестности начала координат (на рис. 76 эта область тоже обведена пунктиром и заштрихована горизонтальной штриховкой).

Рис. 76.

Умножение на смещает центр этой области вдоль оси Q в точку Но, согласно (38.3), момент вещественного процесса выражается через «первый» и «второй» моменты аналитического сигнала формулой

    (57.12)

Таким образом, двумерный спектр нестационарного вещественного модулированного процесса расположен в четырех областях, обозначенных на рис. 76 буквами А, В, С и D. Первый член в (57.12) со своим к. с. (области А и В на рис. 76) дает компоненту, медленно меняющуюся со временем а второй

член со своим к. с. (области С и D на рис. 76) - компоненту, меняющуюся с частотами, близкими к

Если комплексная амплитуда приближается к стационарному случайному процессу, так что перестает зависеть от t, то спектральная плотность . То же самое происходит и со «второй» спектральной плотностью , если она вообще не обращается в нуль. Таким образом, области А и В на рис. 76 стягиваются в отрезки на оси , а С и D — в отрезки, параллельные оси . Получается модулированный процесс, принадлежащий к так называемым периодически-нестационарным (§ 59). Если же при приближении к стационарности то в пределе и процесс становится стационарным модулированным процессом.

Сглаживание по периоду пропускает лишь те участки двумерного спектра, которые находятся внутри полосы ширины по Q (на рисунке эта полоса ограничена штрих-пунктирными прямыми), т. е. срезает области С и D. В результате сглаженный момент приближенно равен

Будучи низкочастотной компонентой , сглаженный момент отвечает некоторому случайному процессу, квазистационарность или стационарность которого полностью определяется наличием этих же свойств у комплексной амплитуды .

Наряду с двукратными преобразованиями Фурье (57.9) можно рассматривать также величины, связанные однократными преобразованиями. Можно записать (57.9 а) в виде

    (57.13а)

где

    (57.13б)

Таким образом, средняя мгновенная мощность есть

    (57.14)

Если не зависит от t (процесс стационарен), то функция переходит в спектральную плотность стационарного процесса, а (57.13а) превращается в формулу Хинчина. Казалось бы, выражения (57.13а) — (57.14), содержащие t как параметр, дают основание к тому, чтобы трактовать как «мгновенную» спектральную плотность. Этот термин действительно широко используется, и мы тоже будем его применять, но следует ясно представлять себе, что частотно-временной «гибрид» не может без каких-либо ограничений обладать тем же смыслом, что и одномерная плотность у стационарных процессов (частотная плотность мощности).

Плотность всегда вещественна. Согласно (57.6)

Если и сам процесс вещественный, то

    (57.15а)

т. е. в этом случае еще и четна по — в соответствии с (57.11). В свою очередь (57.13а) принимает при этом вид

    (57.15б)

Но, будучи вещественной, мгновенная плотность не обязательно неотрицательна на всей плоскости , что исключает ее энергетическое истолкование, несмотря на выражение (57.14) для полной средней мгновенной мощности.

Из (57.9) и (57.13) вытекают следующие связи между мгновенной и двумерной спектральными плотностями:

    (57.16а)