Главная > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Задачи

1. Вывести выражение для многомерной характеристической функции комплексного нормального процесса через его комплексные корреляционные матрицы, исходя из -мерной характеристической функции вещественных процессов

Решение. Обозначим возможные значения через — через . Характеристическая функция гауссовых величин есть

Параметры тоже можно записать как так что

Воспользуемся теперь комплексными возможными значениями величины и комплексными параметрами Так как

получаем

и, следовательно,

где через обозначены половинные значения элементов корреляционных матриц:

В силу эрмитовости матрицы — первые два члена в правой части (1) совпадают и характеристическая функция принимает вид

Если - стационарный аналитический сигнал, то (§ 38), и тогда

Соответствующее (3) распределение есть

где элементы матрицы, обратной детерминант матрицы В.

Исследованиям комплексного нормального распределения посвящено довольно много работ (см., например, [54] и приведенную там литературу).

2. Получить моменты любого порядка для стационарного аналитического сигнала с помощью найденной в предыдущей задаче характеристической функции (3):

Решение. Общее правило вычисления моментов путем дифференцирования характеристической функции остается прежним:

Однако теперь надо учесть, что производная по какому-либо зависит только от U и наоборот:

Поэтому из вторых производных S отличны от нуля только смешанные:

Это означает, что отличны от нуля лишь те моменты четного порядка, которые содержат поровну сомножителей Результат можно записать следующим образом [55]:

2) если то

где — перестановка целых чисел . Сумма распространяется на все эти перестановки, т. е. содержит я! слагаемых, например:

В частности,

3. Показать, пользуясь «теоремой Хинчина, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса

удовлетворяет неравенству

где

Решение. Пусть для простоты так что

Следовательно,

В силу неравенства Шварца

4. Тем же способом, каким получена формула (41.9), установить условия стационарности вещественной случайной функции

Ответ.

При этих условиях

Таким образом, гармоническое колебание где — постоянная, случайная величина, не может быть стационарным процессом даже при

5. Найти функцию корреляции процесса получаемого из стационарного процесса посредством скользящего усреднения:

Решение. Подставив в формулу для спектральное разложение находим

Воспользовавшись формулой (41.2), получаем функцию корреляции (считаем, что )

Первый сомножитель под интегралом подавляет частоты т. е. скользящее усреднение сглаживает быстрые (в масштабе Т) изменения Можно сказать, что эта операция отвечает действию фильтра с функцией передачи (см. § 50), у которой

6. Для детерминированного импульса у которого заполнение — синусоидальное колебание с линейно меняющейся частотой , найти «корреляционную функцию»

Оценить эффективное «время корреляции» в том случае, когда девиация мгновенной частоты за время мала по сравнению с «а много больше среднего периода

Решение. Подстановка и замена переменной интегрирования t на приводят выражение для к виду

Для вычисления интегралов воспользуемся формулой

(а > 0), что дает

где

Если т. е. s близко к единице, то оба гауссова множителя одинаковы по ширине но второй член мал из-за множителя поскольку мы принимаем, что Если же так что и то в первом члене гауссов множитель имеет ширину малую по сравнению с шириной гауссова множителя во втором члене Условие того, чтобы в пределах ширины первого члена второй член был мал, очевидно, сводится к требованию

Это выполняется ввиду предположения о малости девиации . Таким образом, при указанных условиях функция во всей существенной области с достаточной точностью описывается первым членом полученной формулы и, следовательно, имеет эффективное «время корреляции»

где — «время корреляции» частотно-модулированного заполнения, обратное девиации мгновенной частоты со на ширине огибающей д. У сложного импульса Наоборот, при уменьшении а, когда заполнение приближается к гармоническому колебанию, у которого «время корреляции» тк бесконечно, импульс становится простым и

7. В § 11 был рассмотрен импульсный пуассоновский процесс со случайной длительностью импульсов и получена формула (11.8) для функции корреляции такого процесса. В частном случае процесса (11.9):

эта формула принимт вид

Найти с помощью теоремы (42.9) спектральную плотность такого процесса.

Решение. Вводя спектральную амплитудную плотность импульса по безразмерной переменной

получаем, в соответствии с теоремой (42.9), что

или, через размерную частоту

Таким образом, спектральная плотность процесса (11.9) равна

8. Для прямоугольных импульсов с экспоненциальным распределением длительностей

в § 11 получена экспоненциальная функция корреляции (11.10):

которой, по теореме Хинчина (41.7), соответствует спектральная плотность

Убедиться, что к этому же результату приводит и расчет по формуле (1), полученной в предыдущей задаче.

Решение. Для прямоугольного импульса с в интервале имеем

так что

и формула (1) предыдущей задачи дает

9. Какой вид принимает формула (46.22) в случае пуассоновского процесса, когда

Ответ.

10. Найти спектральную плотность и функцию корреляции пуассоновского процесса с независимыми интервалами в случае импульсов, линейно нарастающих со временем с фиксированной скоростью а в каждом интервале причем от нулевого значения при , т. е. по закону (рис. 46)

Рис. 46.

Так ведет себя, например, скорость заряженной частицы в среде, если в течение свободного пробега ускорение а постоянно (движение в постоянном электрическом поле), а при соударениях с атомами среды скорость частицы падает до нуля.

Решение. Вводя получаем, согласно (46.21),

При расчет по формулам (46.19) и (46.20) дает

Учитывая, что находим из (46.22)

Этой спектральной плотности соответствует экспоненциальная функция корреляции

11. Найти спектральную плотность процесса (46.18) в случае пуассоновских импульсов, представляющих собой экспоненциально затухающие синусоидальные цуги (рис. 47):

Рис. 47.

Случайные величины предполагаются взаимно независимыми. Этот процесс моделирует излучение осциллятора («атома»), возбуждаемого ударами в моменты после чего происходит высвечивание до следующего удара; — время высвечивания (в квантовой механике — время жизни возбужденного состояния), определяющее минимальную («радиационную») ширину спектральной линии. Частота в разных импульсах различна из-за эффекта Допплера, так как при ударах случайным образом меняется поступательная скорость «атома» v вдоль направления наблюдения, а сдвиг от частоты, излучаемой покоящимся атомом, пропорционален

Решение. Как и в предыдущей задаче, F — детерминированная функция и угловые скобки в (46.19) и (46.20) означают усреднение по параметрам . Вводя получаем по (46.21)

Полагая находим из (46.19) и (46.20)

где теперь угловые скобки обозначают усреднение по распределению . С учетом того, что имеем

т. е. в (46.22) остается (при любых распределениях и, Р и только первый член:

Заметим, что при и (или) [т. е. при равномерном распределении фаз Р в интервале величины ] обращаются в нуль и в формуле (46.22) остается только первый член без предположения о пуассоновском потоке моментов

В случае газа «атомов» - осцилляторов лучевая скорость v распределена нормально, в силу чего и допплеровский сдвиг имеет гауссово распределение. Однако интеграл

при произвольном значении со не вычисляется в замкнутом виде. Вводя в (2) обозначения

можно записать выражение (1) для спектральной плотности следующим образом:

Функция называется (нормированной) функцией Фохта (см. [58] ). Если параметр b мал, т. е. основную роль играет допплеровское уширение линии, то для грубой оценки можно вынести из-под интеграла значение экспоненты в точке у — х, и тогда Таким образом, в этом случае получается форма линии, близкая к гауссовой (колокольной). Напротив, при можно вынести из-под интеграла знаменатель, положив в нем что дает Для получается формула (1) с и, конечно, уже без угловых скобок [при гауссово распределение переходит в . Таким образом, при малой роли эффекта Допплера получается лорвнцева форма линии с максимумом на и полушириной Радиационное затухание Y и среднее число соударений в единицу времени входят в полуширину аддитивно. Полная интенсивность равна в этом случае

так что спектральную плотность можно записать в виде

12. Если сложить N независимых процессов вида, рассмотренного в конце предыдущей задачи, т. е. интересоваться суммарным излучением N независимых одинаковых осцилляторов (без эффекта Допплера), то для спектральная плотность будет просто , а 1 форма спектра останется прежней. Но, казалось бы, можно рассуждать иначе. Все независимые моменты ударов у всех осцилляторов можно расположить в порядке их возрастания и занумеровать общим индексом (X. Интервал в среднем будет в раз короче, чем у каждого процесса в отдельности, где он равен т. е. среднее число ударов в секунду для будет равно . Форма импульса у процесса та же, что и у процессов так как сумма цугов с некоторыми амплитудами и фазами, изменяющихся со временем по закону снова дает такой же затухающий Но тогда применение формулы (46.22) депосредственно к суммарному процессу должно дать лоренцеву линию с полушириной а не что противоречит выражению . Объяснить, в чем причина противоречия.

Решение. При выводе (46.22) предполагалась взаимная независимость всех параметров мы считаем теперь фиксированной), в результате чего все импульсы были некоррелированы. Для суммарного же процесса импульсы коррелированы, так как в каждый момент случайным образом меняются амплитуда и фаза только одного из N складываемых колебаний . Корреляция импульса с соседними исчезнет лишь после того, как скачки произойдут у каждого из складываемых колебаний, а для этого потребуется в среднем N интервалов т. е. время Таким образом, формула (46.22) неприменима к суммарному процессу из-за наличия корреляции между его импульсами.

13. Выяснить, каково совместное влияние на видность интерференционной картины немонохроматичности излучения и малых флуктуаций угла падения волны а, приняв гауссову форму спектральной линии и нормальное распределение для а с Для простоты можно положить, что

Решение. Согласно (47.14)

Если заменить (ввиду малости а на а, то разность

тоже будет нормальной величиной с т. е. с распределением

Формула тогда к следующему выражению для безусловной функции корреляции :

Следовательно, усредненная по а интенсивность (47.7) равна

и, соответственно, видность есть

В отсутствие флуктуаций угла мы возвращаемся к формуле (47.14). При но при идеальной монохроматичности получаем

т. е. видность снижена на протяжении всей интерференционной картины одинаково и быстро убывает с ростом Согласно (1)

так что

14. Рассчитать видность интерференционной картины в том случае, когда стационарные квазимонохроматические колебания на щелях интерферометра имеют вид

причем и разность распределена по нормальному закону.

Решение. При указанных условиях

Следовательно, интенсивность в интерференционной картине меняется по закону

т. е. видность полос равна

При видность падает с ростом дисперсии фаз Видность равна единице либо при полной корреляции либо в отсутствие флуктуаций фаз т. е. при идеальной монохроматичности колебаний.

15. Найти матрицу спектральных плотностей для колебаний двух связанных осцилляторов, на которые действуют взаимно некоррелированные стационарные белые шумы:

    (2)

Решение. Согласно (1), уравнения для спектральных амплитудных плотностей таковы:

где . Отсюда

Составив корреляционную матрицу спектральных амплитудных плотностей

получаем при помощи (2) и (3)

Разумеется, взаимная корреляция откликов обусловлена наличием связи к и исчезает при Если осцилляторы идентичны и спектральные плотности шумов одинаковы то

Корреляционная матрица откликов может быть получена из по теореме Хинчина:

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru