Задачи

1. Вывести выражение для многомерной характеристической функции комплексного нормального процесса через его комплексные корреляционные матрицы, исходя из -мерной характеристической функции вещественных процессов

Решение. Обозначим возможные значения через — через . Характеристическая функция гауссовых величин есть

Параметры тоже можно записать как так что

Воспользуемся теперь комплексными возможными значениями величины и комплексными параметрами Так как

получаем

и, следовательно,

где через обозначены половинные значения элементов корреляционных матриц:

В силу эрмитовости матрицы — первые два члена в правой части (1) совпадают и характеристическая функция принимает вид

Если - стационарный аналитический сигнал, то (§ 38), и тогда

Соответствующее (3) распределение есть

где элементы матрицы, обратной детерминант матрицы В.

Исследованиям комплексного нормального распределения посвящено довольно много работ (см., например, [54] и приведенную там литературу).

2. Получить моменты любого порядка для стационарного аналитического сигнала с помощью найденной в предыдущей задаче характеристической функции (3):

Решение. Общее правило вычисления моментов путем дифференцирования характеристической функции остается прежним:

Однако теперь надо учесть, что производная по какому-либо зависит только от U и наоборот:

Поэтому из вторых производных S отличны от нуля только смешанные:

Это означает, что отличны от нуля лишь те моменты четного порядка, которые содержат поровну сомножителей Результат можно записать следующим образом [55]:

2) если то

где — перестановка целых чисел . Сумма распространяется на все эти перестановки, т. е. содержит я! слагаемых, например:

В частности,

3. Показать, пользуясь «теоремой Хинчина, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса

удовлетворяет неравенству

где

Решение. Пусть для простоты так что

Следовательно,

В силу неравенства Шварца

4. Тем же способом, каким получена формула (41.9), установить условия стационарности вещественной случайной функции

Ответ.

При этих условиях

Таким образом, гармоническое колебание где — постоянная, случайная величина, не может быть стационарным процессом даже при

5. Найти функцию корреляции процесса получаемого из стационарного процесса посредством скользящего усреднения:

Решение. Подставив в формулу для спектральное разложение находим

Воспользовавшись формулой (41.2), получаем функцию корреляции (считаем, что )

Первый сомножитель под интегралом подавляет частоты т. е. скользящее усреднение сглаживает быстрые (в масштабе Т) изменения Можно сказать, что эта операция отвечает действию фильтра с функцией передачи (см. § 50), у которой

6. Для детерминированного импульса у которого заполнение — синусоидальное колебание с линейно меняющейся частотой , найти «корреляционную функцию»

Оценить эффективное «время корреляции» в том случае, когда девиация мгновенной частоты за время мала по сравнению с «а много больше среднего периода

Решение. Подстановка и замена переменной интегрирования t на приводят выражение для к виду

Для вычисления интегралов воспользуемся формулой

(а > 0), что дает

где

Если т. е. s близко к единице, то оба гауссова множителя одинаковы по ширине но второй член мал из-за множителя поскольку мы принимаем, что Если же так что и то в первом члене гауссов множитель имеет ширину малую по сравнению с шириной гауссова множителя во втором члене Условие того, чтобы в пределах ширины первого члена второй член был мал, очевидно, сводится к требованию

Это выполняется ввиду предположения о малости девиации . Таким образом, при указанных условиях функция во всей существенной области с достаточной точностью описывается первым членом полученной формулы и, следовательно, имеет эффективное «время корреляции»

где — «время корреляции» частотно-модулированного заполнения, обратное девиации мгновенной частоты со на ширине огибающей д. У сложного импульса Наоборот, при уменьшении а, когда заполнение приближается к гармоническому колебанию, у которого «время корреляции» тк бесконечно, импульс становится простым и

7. В § 11 был рассмотрен импульсный пуассоновский процесс со случайной длительностью импульсов и получена формула (11.8) для функции корреляции такого процесса. В частном случае процесса (11.9):

эта формула принимт вид

Найти с помощью теоремы (42.9) спектральную плотность такого процесса.

Решение. Вводя спектральную амплитудную плотность импульса по безразмерной переменной

получаем, в соответствии с теоремой (42.9), что

или, через размерную частоту

Таким образом, спектральная плотность процесса (11.9) равна

8. Для прямоугольных импульсов с экспоненциальным распределением длительностей

в § 11 получена экспоненциальная функция корреляции (11.10):

которой, по теореме Хинчина (41.7), соответствует спектральная плотность

Убедиться, что к этому же результату приводит и расчет по формуле (1), полученной в предыдущей задаче.

Решение. Для прямоугольного импульса с в интервале имеем

так что

и формула (1) предыдущей задачи дает

9. Какой вид принимает формула (46.22) в случае пуассоновского процесса, когда

Ответ.

10. Найти спектральную плотность и функцию корреляции пуассоновского процесса с независимыми интервалами в случае импульсов, линейно нарастающих со временем с фиксированной скоростью а в каждом интервале причем от нулевого значения при , т. е. по закону (рис. 46)

Рис. 46.

Так ведет себя, например, скорость заряженной частицы в среде, если в течение свободного пробега ускорение а постоянно (движение в постоянном электрическом поле), а при соударениях с атомами среды скорость частицы падает до нуля.

Решение. Вводя получаем, согласно (46.21),

При расчет по формулам (46.19) и (46.20) дает

Учитывая, что находим из (46.22)

Этой спектральной плотности соответствует экспоненциальная функция корреляции

11. Найти спектральную плотность процесса (46.18) в случае пуассоновских импульсов, представляющих собой экспоненциально затухающие синусоидальные цуги (рис. 47):

Рис. 47.

Случайные величины предполагаются взаимно независимыми. Этот процесс моделирует излучение осциллятора («атома»), возбуждаемого ударами в моменты после чего происходит высвечивание до следующего удара; — время высвечивания (в квантовой механике — время жизни возбужденного состояния), определяющее минимальную («радиационную») ширину спектральной линии. Частота в разных импульсах различна из-за эффекта Допплера, так как при ударах случайным образом меняется поступательная скорость «атома» v вдоль направления наблюдения, а сдвиг от частоты, излучаемой покоящимся атомом, пропорционален

Решение. Как и в предыдущей задаче, F — детерминированная функция и угловые скобки в (46.19) и (46.20) означают усреднение по параметрам . Вводя получаем по (46.21)

Полагая находим из (46.19) и (46.20)

где теперь угловые скобки обозначают усреднение по распределению . С учетом того, что имеем

т. е. в (46.22) остается (при любых распределениях и, Р и только первый член:

Заметим, что при и (или) [т. е. при равномерном распределении фаз Р в интервале величины ] обращаются в нуль и в формуле (46.22) остается только первый член без предположения о пуассоновском потоке моментов

В случае газа «атомов» - осцилляторов лучевая скорость v распределена нормально, в силу чего и допплеровский сдвиг имеет гауссово распределение. Однако интеграл

при произвольном значении со не вычисляется в замкнутом виде. Вводя в (2) обозначения

можно записать выражение (1) для спектральной плотности следующим образом:

Функция называется (нормированной) функцией Фохта (см. [58] ). Если параметр b мал, т. е. основную роль играет допплеровское уширение линии, то для грубой оценки можно вынести из-под интеграла значение экспоненты в точке у — х, и тогда Таким образом, в этом случае получается форма линии, близкая к гауссовой (колокольной). Напротив, при можно вынести из-под интеграла знаменатель, положив в нем что дает Для получается формула (1) с и, конечно, уже без угловых скобок [при гауссово распределение переходит в . Таким образом, при малой роли эффекта Допплера получается лорвнцева форма линии с максимумом на и полушириной Радиационное затухание Y и среднее число соударений в единицу времени входят в полуширину аддитивно. Полная интенсивность равна в этом случае

так что спектральную плотность можно записать в виде

12. Если сложить N независимых процессов вида, рассмотренного в конце предыдущей задачи, т. е. интересоваться суммарным излучением N независимых одинаковых осцилляторов (без эффекта Допплера), то для спектральная плотность будет просто , а 1 форма спектра останется прежней. Но, казалось бы, можно рассуждать иначе. Все независимые моменты ударов у всех осцилляторов можно расположить в порядке их возрастания и занумеровать общим индексом (X. Интервал в среднем будет в раз короче, чем у каждого процесса в отдельности, где он равен т. е. среднее число ударов в секунду для будет равно . Форма импульса у процесса та же, что и у процессов так как сумма цугов с некоторыми амплитудами и фазами, изменяющихся со временем по закону снова дает такой же затухающий Но тогда применение формулы (46.22) депосредственно к суммарному процессу должно дать лоренцеву линию с полушириной а не что противоречит выражению . Объяснить, в чем причина противоречия.

Решение. При выводе (46.22) предполагалась взаимная независимость всех параметров мы считаем теперь фиксированной), в результате чего все импульсы были некоррелированы. Для суммарного же процесса импульсы коррелированы, так как в каждый момент случайным образом меняются амплитуда и фаза только одного из N складываемых колебаний . Корреляция импульса с соседними исчезнет лишь после того, как скачки произойдут у каждого из складываемых колебаний, а для этого потребуется в среднем N интервалов т. е. время Таким образом, формула (46.22) неприменима к суммарному процессу из-за наличия корреляции между его импульсами.

13. Выяснить, каково совместное влияние на видность интерференционной картины немонохроматичности излучения и малых флуктуаций угла падения волны а, приняв гауссову форму спектральной линии и нормальное распределение для а с Для простоты можно положить, что

Решение. Согласно (47.14)

Если заменить (ввиду малости а на а, то разность

тоже будет нормальной величиной с т. е. с распределением

Формула тогда к следующему выражению для безусловной функции корреляции :

Следовательно, усредненная по а интенсивность (47.7) равна

и, соответственно, видность есть

В отсутствие флуктуаций угла мы возвращаемся к формуле (47.14). При но при идеальной монохроматичности получаем

т. е. видность снижена на протяжении всей интерференционной картины одинаково и быстро убывает с ростом Согласно (1)

так что

14. Рассчитать видность интерференционной картины в том случае, когда стационарные квазимонохроматические колебания на щелях интерферометра имеют вид

причем и разность распределена по нормальному закону.

Решение. При указанных условиях

Следовательно, интенсивность в интерференционной картине меняется по закону

т. е. видность полос равна

При видность падает с ростом дисперсии фаз Видность равна единице либо при полной корреляции либо в отсутствие флуктуаций фаз т. е. при идеальной монохроматичности колебаний.

15. Найти матрицу спектральных плотностей для колебаний двух связанных осцилляторов, на которые действуют взаимно некоррелированные стационарные белые шумы:

    (2)

Решение. Согласно (1), уравнения для спектральных амплитудных плотностей таковы:

где . Отсюда

Составив корреляционную матрицу спектральных амплитудных плотностей

получаем при помощи (2) и (3)

Разумеется, взаимная корреляция откликов обусловлена наличием связи к и исчезает при Если осцилляторы идентичны и спектральные плотности шумов одинаковы то

Корреляционная матрица откликов может быть получена из по теореме Хинчина: