Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 40. Спектральные разложения случайных функцийЦентральное место в корреляционной теории занимает вопрос о гармонических разложениях как самих/случайных функций, так и их моментов второго порядка, т. е. средних билинейных величин. Важность последних связана с тем, что во многих случаях они имеют энергетический смысл и во всех случаях служат простейшей мерой интенсивности случайных изменений. Разумеется, сказанное еще нисколько не разъясняет, почему вообще целесообразно прибегать к каким-либо разложениям и почему из различных возможных разложений
следует отдать предпочтение разложению по функциям Представление внешнего воздействия на динамическую систему и ее отклика на это воздействие в виде суммы каких-то «элементарных» слагаемых становится оправданным всякий раз, когда система линейна, т. е. удовлетворяет принципу суперпозиции (отклик на сумму сил равен сумме откликов на каждое из слагаемых). Это в равной мере относится как к детерминированным, так и к случайным воздействиям. Тот или иной выбор тех «элементарных» слагаемых, на которые оказывается целесообразным разлагать рассматриваемые функции, опять-таки определяется свойствами динамической системы. Среди линейных систем весьма обширный класс образуют; устройства с постоянными параметрами. Часто их называют гармоническими системами (в частности, гармоническими фильтрами), имея в виду то основное их свойство, что воздействие
где
Интеграл Фурье — Стилтьеса (40.1) охватывает случаи и непрерывного, и дискретного, и смешанного спектров. В чисто дискретном случае можно записать его в более привычной форме обобщенного ряда Фурье:
а при чисто непрерывном спектре можно в некотором формальном смысле (о чем речь пойдет в дальнейшем) ввести плотность комплексной амплитуды
так что (40.1) примет вид обычного интеграла Фурье:
Формально же можно включить в (40.4) и случай дискретного спектра (40.2), допуская, что
Заметим, что при вещественной функции
причем Если В пределах корреляционной теории, ограничивающейся моментами не выше второго порядка, естественно и целесообразно понимать существование интеграла (40.1) в среднем квадратичном. Необходимым и достаточным условием гармонизуемости случайной функции
представляющего момент второго порядка
В частности, при
Заметим, что условие конечности интеграла (40.7), разумеется, ничего не говорит о среднем значении функции Функцию
мы будем называть комплексной спектральной «массой» процесса
т. е. в точках, расположенных симметрично по отношению к биссектрисе
распространенные на любую область Распределение «массы» (40.10) по всей плоскости Как уже было подчеркнуто, интерес гармонических разложений (40.1) связан с тем, что для линейной системы с постоянными параметрами они позволяют по заданному внешнему воздействию (процессу на входе) сразу же построить соответствующий отклик (процесс на выходе). Каждая гармоника входе системы порождает на ее выходе процесс
Известно, однако, что конструирование процесса Таким образом, если спектральное представление ограничено локализацией по частоте только для линейных величин, то оно является одним из возможных и равносильных представлений, но какие-либо дополнительные физические аргументы в его пользу отсутствуют. Положение меняется и спектральный подход приобретает особое значение, коль скоро гармоники
|
1 |
Оглавление
|