§ 40. Спектральные разложения случайных функций

Центральное место в корреляционной теории занимает вопрос о гармонических разложениях как самих/случайных функций, так и их моментов второго порядка, т. е. средних билинейных величин. Важность последних связана с тем, что во многих случаях они имеют энергетический смысл и во всех случаях служат простейшей мерой интенсивности случайных изменений. Разумеется, сказанное еще нисколько не разъясняет, почему вообще целесообразно прибегать к каким-либо разложениям и почему из различных возможных разложений

следует отдать предпочтение разложению по функциям . Но ответы на оба эти вопроса не содержат ничего специфического для случайных функций.

Представление внешнего воздействия на динамическую систему и ее отклика на это воздействие в виде суммы каких-то «элементарных» слагаемых становится оправданным всякий раз, когда система линейна, т. е. удовлетворяет принципу суперпозиции (отклик на сумму сил равен сумме откликов на каждое из слагаемых). Это в равной мере относится как к детерминированным, так и к случайным воздействиям. Тот или иной выбор тех «элементарных» слагаемых, на которые оказывается целесообразным разлагать рассматриваемые функции, опять-таки определяется свойствами динамической системы. Среди линейных систем весьма обширный класс образуют;

устройства с постоянными параметрами. Часто их называют гармоническими системами (в частности, гармоническими фильтрами), имея в виду то основное их свойство, что воздействие вызывает гармонический же установившийся отклик с неизмененной частотой . Тем самым из различных полных систем «элементарных» функций оказываются выделенными для таких устройств именно функции с непрерывным или дискретным набором частот со. Особая роль разложений Фурье обусловлена, таким образом, большой распространенностью и важностью линейных динамических систем с постоянными параметрами — обстоятельство, которое тоже в одинаковой мере касается как детерминированных, так и случайных процессов. По указанным причинам мы также уделим основное внимание разложениям

где — конечное или бесконечно малое (пропорциональное ) приращение функции на интервале :

Интеграл Фурье — Стилтьеса (40.1) охватывает случаи и непрерывного, и дискретного, и смешанного спектров. В чисто дискретном случае можно записать его в более привычной форме обобщенного ряда Фурье:

а при чисто непрерывном спектре можно в некотором формальном смысле (о чем речь пойдет в дальнейшем) ввести плотность комплексной амплитуды

так что (40.1) примет вид обычного интеграла Фурье:

Формально же можно включить в (40.4) и случай дискретного спектра (40.2), допуская, что

Заметим, что при вещественной функции должно, очевидно, выполняться условие

причем

Если — случайная функция, то существование интеграла (40.1) надо понимать в смысле какого-либо из видов вероятностной сходимости. Случайные функции, представимые в виде (40.1), называются гармонизуемыми.

В пределах корреляционной теории, ограничивающейся моментами не выше второго порядка, естественно и целесообразно понимать существование интеграла (40.1) в среднем квадратичном. Необходимым и достаточным условием гармонизуемости случайной функции является тогда существование при любых двукратного интеграла Фурье — Стилтьеса

представляющего момент второго порядка функции Иначе говоря, если интеграл (40.7) существует, то это означает, что существует случайная комплексная функция такая, что интеграл (40.1) сходится в среднем квадратичном к , причем двумерное приращение функции есть

В частности, при имеем

Заметим, что условие конечности интеграла (40.7), разумеется, ничего не говорит о среднем значении функции и не предполагает, скажем, стационарности (постоянства) . Единственность разложения (40.1) при условии (40.7), т. е. однозначность соответствия между статистическими характеристиками и , может быть установлена только с привлечением фильтрации, позволяющей выделять те или иные участки плоскости частот , но к фильтрации мы обратимся позднее (§§ 50 и 58).

Функцию

мы будем называть комплексной спектральной «массой» процесса . Эта «масса» может быть сконцентрирована в отдельных точках плоскости она может быть распределена на линиях — с непрерывной линейной плотностью — и, наконец, может быть размазана на плоскости с непрерывной поверхностной плотностью. Однако двумерное приращение (40.8), очевидно, всегда обладает тем свойством, что

т. е. в точках, расположенных симметрично по отношению к биссектрисе значения плотностей любого вида комплексно-сопряженны, а на самой биссектрисе вещественны. Тем самым интегралы вида

распространенные на любую область , симметричную относительно биссектрисы [в частности, интегралы по всей плоскости ], будут вещественными. Так как интеграл (40.7) существует, в частности, и при полное количество комплексной «массы» (40.10), т. е. величина вещественно и конечно.

Распределение «массы» (40.10) по всей плоскости , обусловленное корреляцией амплитуд взятых в разных точках влечет за собой невозможность представления моментов второго порядка (40.7), (40.9) в виде однократных интегралов по частоте. В частности, если эти моменты имеют энергетический смысл, например, если есть средняя мгновенная мощность случайного процесса то указанное обстоятельство означает, что вклад в эту мощность в частотном интервале вносит не только гармоническая компонента процесса но и все остальные его гармонические компоненты, поскольку они коррелированы с . При таких условиях говорят, что средние энергетические (или, более широко, средние билинейные) величины не локализуемы по частоте. Возможно ли противоположное положение вещей?

Как уже было подчеркнуто, интерес гармонических разложений (40.1) связан с тем, что для линейной системы с постоянными параметрами они позволяют по заданному внешнему воздействию (процессу на входе) сразу же построить соответствующий отклик (процесс на выходе). Каждая гармоника трансформируется при этом самостоятельно, т. е. динамическая система (фильтр) с функцией передачи преобразует эту гармонику независимо от остальных гармоник в колебание . В результате процесс (40.1) на

входе системы порождает на ее выходе процесс

Известно, однако, что конструирование процесса может быть осуществлено и иначе, так сказать, непосредственно, если воспользоваться не спектральным, а временным подходом к задаче. В этом случае рассматриваемая динамическая система описывается не функцией передачи , а откликом на импульс . Тогда процесс на выходе выразится интегралом Дюамеля (§ 37), что позволяет, между прочим, очень просто охватить и переходные явления (процессы установления).

Таким образом, если спектральное представление ограничено локализацией по частоте только для линейных величин, то оно является одним из возможных и равносильных представлений, но какие-либо дополнительные физические аргументы в его пользу отсутствуют. Положение меняется и спектральный подход приобретает особое значение, коль скоро гармоники могут быть индивидуализированы также по их вкладу в «энергетические» (средние билинейные) величины, связанные с Именно так обстоит дело для стационарных случайных функций, к которым мы теперь и обратимся.