§ 22. Уравнение Смолуховского

Фундаментальным для теории случайных функций марковского типа является уравнение Смолуховского [1], выражающее тот простой факт, что вероятности перехода для каких-либо трех последовательных моментов времени должны быть определенным образом согласованы между собой. Если взять для конкретности марковский процесс (t непрерывно) и непрерывные же возможные значения случайной функции , то речь идет о следующем.

Переход из состояния в момент времени в состояние х в момент t [вероятность этого перехода есть реализуется через какое-либо состояние у в промежуточный момент времени может быть представлен в виде двух последовательных переходов Вероятность совместного осуществления этих двух переходов есть

причем с теми же самыми условными плотностями вероятности у (марковский процесс). Но переход есть один из взаимно исключающих частных случаев перехода (рис. 10), так что суммирование по всем возможным состояниям у в момент 0 должно давать полную вероятность перехода

Это и есть уравнение Смолуховского.

Рис. 10.

Следует вновь обратить внимание на существенное ограничение, которое налагается уравнением (22.1) на допустимый вид функций v: интегрирование по у произведения двух v должно снова давать функцию у и должно автоматически исключать зависимость результата от промежуточного момента времени , от которого зависит подынтегральная функция. По существу, это лишь иное выражение тех ограничений вида -мерных функций распределения, которыми выделены марковские процессы. Действительно, нетрудно получить уравнение Смолуховского и другим путем, опираясь только на условие согласованности распределений различной мерности (§ 14) и на определение марковости (15.3) (см. задачу 1).

Проинтегрировав (22.1) по х от нижней границы интервала возможных значений до х и перейдя от риманова интеграла по у к интегралу Стилтьеса, мы получаем уравнение Смолуховского для интегральных вероятностей перехода:

В таком виде оно охватывает случаи как непрерывных, так и дискретных возможных значений . Это различие, в общем, является второстепенным, так как, даже не прибегая к интегралу Стилтьеса, а оперируя плотностями вероятности, мы всегда можем при дискретных возможных значениях записывать эти плотности через соответствующие дельта-функции. Приведем все же запись уравнения Смолуховского для процесса с дискретными возможными значениями случайной функции , т. е. для вероятностей перехода

Если речь идет о случайных марковских последовательностях, т. е. значения параметра t дискретны, то в уравнениях (22.1) — (22.3) можно заменить аргументы на «номера испытаний» n. Например, вместо (22.3) получим

Для случая, когда число возможных дискретных значений конечно (цепи Маркова), т. е. уравнение (22.4) было установлено Марковым и носит название уравнения Маркова.

Если случайная функция марковского типа однородна по t, то (22.1) примет вид

а вместо (22.4) будет

Как сказано, мы не будем углубляться в теорию марковских последовательностей и цепей (см. [2]), но все же рассмотрим в качестве примера применение (22.6) к однородной цепи Маркова. Введем следующее более лаконичное обозначение для вероятности перехода за s шагов:

Уравнение Маркова (22.6) запишется тогда в виде

Величины образуют матрицу вероятностей перехода (коротко — матрицу перехода) за s шагов. Уравнение (22.7) показывает, что матрица равна произведению матриц

Но при возможно только так что При имеем и, вообще,

По этой формуле вероятности перехода за s шагов выражаются через вероятности перехода за один шаг. Заметим, что в матрице перехода

все элементы, разумеется, неотрицательны, причем ни один столбец не состоит сплошь из нулей (в числе х содержатся только возможные конечные состояния), равно как и ни одна строка не состоит из нулей, поскольку при всяком начальном состоянии

Рис. 11.

Пусть, например, рассматриваются случайные блуждания частицы между двумя отражающими стенками (рис. 11). Всюду, кроме положений и шаг вправо имеет вероятность р, шаг влево — вероятность На стенках частица обязательно отступает на один шаг внутрь. Это типичная однородная цепь Маркова со следующими вероятностями

перехода за один шаг

Таким образом, матрица имеет вид

Нетрудно убедиться в том, что и для неоднородной марковской последовательности вероятности перехода за s шагов тоже могут быть выражены через вероятности перехода за один шаг. Последние зависят теперь от номера испытания, так что мы обозначим их следующим образом:

Согласно (22.4)

Для непрерывной функции тот же результат можно записать через плотности вероятности:

Нетрудно сообразить, что обе формулы представляют собой просто повторные композиции соответствующих условных функций распределения, так что их можно записать в виде

В частном случае однородной цепи Маркова, когда вероятности при однократном переходе не зависят от его номера, это дает для матрицы перехода за s шагов формулу (22.8).