§ 45. Спектр колебания с флуктуирующей частотой

Пусть в колебании

девиация частоты - стационарный случайный процесс, а — случайная величина, равномерно распределенная в интервале Рассмотрим, как связан спектр колебания со спектром девиации частоты Выяснению этого вопроса посвящено довольно много работ, из которых мы будем следовать в основном работам А. Н. Малахова [25], Г. А. Елкина и М. И. Родак (см. [26] и цитированную там литературу, а также [27]).

Естественно считать, что и тогда функция корреляции для будет

где - спектральная плотность по положительным частотам. Для случайного набега фазы за время от до имеем

Очевидно, именно этот набег фазы адекватным образом характеризует качество тех «часов», в роли которых можно использовать

процесс (45.1). Для среднего квадрата который мы обозначим через , в соответствии с (45.2) и (45.3) получаем

Средний квадратичный набег фазы полностью определен, таким образом, спектром случайной девиации частоты

Предположим, далее, что Q (t), а значит, и набег фазы — нормальный процесс. Поскольку в силу (45.3), а дисперсия выражается по (45.4), распределение будет

Усредняя произведение

при помощи распределения (45.5) для х и равномерного в распределения получаем

что отличается от (42.23) — если не говорить о флуктуациях амплитуды, которыми мы теперь пренебрегаем, — только более общим законом диффузии фазы: вместо

Согласно формуле (41.16) спектральная плотность колебания равна

где интеграл, содержащий отброшен ввиду его малости. Связь между спектрами оказывается, таким образом, довольно сложной. Если мы захотели бы получить по спектру колебания спектр девиации его частоты то, согласно (45.4) и (45.7), надо было бы решать нелинейное интегральное уравнение

Мы не будем пытаться решать эту сложную задачу, а обратимся к тем результатам, которые можно извлечь из (45.7) или (45.8) в некоторых предельных случаях. Рассмотрим прежде всего выражение (45.4) для среднего квадрата набега фазы. Введем средний квадрат флуктуаций

и предположим сначала, что обладает некоторым временем корреляции так что заметно отличается от нуля лишь до Рассмотрим два следующих крайних случая: 1. Пусть т. е. частота колебания (45.1) испытывает большие и медленные (долго-коррелированные) уходы. Иначе можно сказать, что «высота» спектра гораздо больше его ширины . Если допустить, что для в этом случае существенны только (т. е. , то можно положить в (45.4) и тогда

    (45.10)

Согласно (45.7) имеем

откуда видно, что экспонента обрезает подынтегральное выражение на чем и оправдано сделанное допущение Результат интегрирования:

т. е. в исследуемом случае получается гауссова («колокольная») форма спектральной линии, характерная, например, для допплеровского уширения оптических спектральных линий. Полуширина на уровне от максимума в раз превышает стандарт флуктуаций частоты.

2. Пусть т. е. частота колебания (45.1) испытывает малые и быстрые (коротко-коррелированные) флуктуации («высота» спектра мала по сравнению с его шириной . В этом случае в (45.4) существенны значения , лежащие в интервале главного максимума множителя т. е. от до Поэтому, если получаем

    (45.12)

т. е. диффузионный закон с коэффициентом диффузии

    (45.13)

Конечно, этот результат имеет место и в предельном случае дельта-коррелированных флуктуаций Формула (45.7) дает теперь

    (45.14)

Экспонента обрезает подынтегральное выражение на что совместимо со сделанным допущением при условии

    (45.15)

Если спектр спадает с ростом более или менее монотонно, то, согласно (45.9), и условие (45.15)

удовлетворено в силу исходного предположения . Выполнив в (45.14) интегрирование, находим

    (45.16)

т. е. форма линии — резонансная (лоренцева), какую мы получили в § 42 для «естественной» ширины линии генератора в результате действия на него дельта-коррелированных толчков. Такую же форму имеют спектральные линии в оптике, когда их ширина обусловлена соударениями между атомами, причем времена свободного пробега распределены экспоненциально (пуассоновский процесс). Резонансную форму (но с гораздо меньшей шириной) имеет и естественное уширение оптических спектральных линий, обусловленное конечным временем жизни возбужденного состояния, а в классической трактовке — экспоненциальным затуханием колебаний атомных осцилляторов в результате высвечивания (импульсный процесс с экспоненциальными импульсами).

Оценим форму линии в случае малых и быстрых флуктуаций несколько точнее. Выделим с этой целью из постоянную часть Формула (45.4) дает тогда

где выражается по (45.13), а функция

    (45.17)

равномерно ограничена:

Таким образом, (45.7) принимает вид

    (45.18)

Применим теперь к этому выражению теорему, взаимную (в смысле преобразования Фурье) с теоремой (42.9). Согласно (42.9) спектральная амплитуда интеграла

равна где спектральные амплитуды функций Тем же способом нетрудно показать, что в разложении Фурье произведения

спектральная амплитуда выражается интегралом

    (45.19)

Легко убедиться, что для вещественных и четных функций [а согласно (45.4) интересующая нас функция именно такова] теорема принимает вид

    (45.20)

причем

    (45.21)

Полагая в (45.18)

имеем, таким образом,

    (45.22)

где [см. (45.14) и (45.16)]

Рассматривая выше случай 2, мы совсем пренебрегли слагаемым в формуле для Теперь мы допустим, что это слагаемое мало, и учтем его в первом порядке. Используя

(45.17), получаем

Подставляя полученные выражения в (45.22), надо учесть, что спектр ввиду малости 3) гораздо более узок, чем второе слагаемое в Поэтому

При малых расстройках от вершины линии, т. е. при вторым слагаемым можно пренебречь, и мы возвращаемся к резонансной спектральной плотности (45.16). Напротив, при пренебрегая в знаменателе первого слагаемого в (45.23) и учитывая (45.13), получаем

    (45.24)

т. е. вдали от вершины, или, как говорят оптики, на «крыльях» спектральной линии, спектр колебания с точностью до множителя воспроизводит спектр флуктуаций частоты. Если условие не выполнено, то спектр колебания становится сложным и только в другом предельном

случае — медленных и больших флуктуаций — вычисляется просто и имеет, как мы видели, форму гауссовой кривой. Можно, однако, показать, что при достаточно больших формула (45.24) справедлива всегда [26]. Таким образом, исследуя спектр колебания на крыльях линии [на частотах, удаленных от более чем на ширину центральной части или «вершины» ], можно получить высокочастотный участок спектра флуктуаций частоты

Заметим в заключение, что приведенный выше анализ предельных форм спектра предполагал относительно простой и монотонный ход спектра флуктуаций частоты Если, например, спадает ступеньками, т. е. обладает несколькими отчетливо выраженными временами корреляции, или же имеет достаточно узкий максимум на высокой стоте так что — осциллирующая функция с «несущей» частотой то критерии близости к резонансной или гауссовой форме требуют уточнения. В частности, в указанном случае узкого высокочастотного спектра форма не будет гауссовой.