§ 47. Корреляционная теория когерентности

Хотя неадэкватность элементарной концепции полной когерентности и полной некогерентности была понята уже давно (Е. Верде, 1869), эта концепция продержалась в учебниках по оптике до сравнительно недавнего времени. Общая количественная трактовка когерентности была развита, начиная с 50-х годов (Э. Вольф, А. Блан-Лапиерр и др.), на основе теории случайных функций и, в частности, корреляционной теории (развернутая теория когерентности рассматривает моменты не только второго, но и высших порядков). Так как речь идет о свойствах волновых полей — функций времени и точки пространства, — теория когерентности даже там, где она не выходит за рамки корреляционной теории, должна оперировать со случайными полями (пространственно-временная когерентность), к которым мы обратимся только в части II этой книги. Здесь мы затронем лишь вопросы временндй когерентности, т. е. будем рассматривать случайные колебательные процессы.

Понятие когерентности в равной мере применимо к колебаниям и волнам любой физической природы и любого диапазона частот, так что оптическая терминология здесь вовсе не

обязательна. Что же касается примеров, то, отдавая дань оптике, как той ветви физики, в которой впервые возникло само понятие когерентности, мы часто будем прибегать именно к оптическим интерференционным явлениям.

Рассмотрим один из наиболее простых примеров такого рода — двухщелевой интерферометр Юнга — Релея. Интерферометр состоит из экрана В с двумя параллельными щелями I и 2 и линзы L, в главной фокальной плоскости которой П наблюдается интерференционная картина (рис. 42). Заметим, что линзы можно и не ставить, а рассматривать интерференцию «на бесконечности», т. е. на расстояниях где d — расстояние между щелями, К — длина световой волны (так называемая фраунгоферова зона). Щели мы будем считать настолько узкими, что изменений амплитуды и фазы падающей на них волны по их ширине можно не учитывать, описывая поле на щелях просто двумя колебаниями — на первой щели и на второй Линза предполагается идеальной, и ее конечная апертура тоже не учитывается.

Рис. 42.

Волны, распространяющиеся из щелей, можно представить в виде суперпозиции бегущих и так называемых неоднородных плоских волн. Последние не участвуют в переносе энергии и экспоненциально ослабевают с удалением от экрана В, спадал практически до нуля на расстояниях порядка Я. Те из бегущих волн, которые распространяются от обеих щелей под одним и тем же углом 8, фокусируются линзой в соответствующей точке Р на плоскости П. Таким образом, колебания складываются в точке Р, причем одно из них запаздывает на время где с — скорость света.

Запишем результирующее колебание в точке Р:

через аналитические сигналы

Нас интересует распределение интенсивности (освещенности) на плоскости П, описываемое зависимостью от координаты точки на этой плоскости, т. е. от задержки , с которой х однозначно связано. Для мгновенной интенсивности имеем

Очевидно, переход к мгновенной интенсивности идентичен действию квадратичного детектора в радиотехнике. В обоих случаях в представлены комбинационные частоты второго порядка — суммарные (в частности, удвоенные) и разностные (в частности, нулевые). Если считать модулированными колебаниями (а далее мы увидим, что для наблюдения интерференции это необходимо):

то

В радиотехнических устройствах используются всевозможные комбинационные частоты, создаваемые нелинейными элементами. В частности, широко используется, как известно, промежуточная частота — разность между частотой интересующего нас колебания и частотой гетеродина. Но в интерферометрах — как в радио, так и в оптике, — речь идет большей частью о колебаниях с одинаковой несущей частотой тогда принимает вид

т. е. содержит низкочастотную часть спектра (верхняя строка) и модулированное колебание с несущей частотой (нижняя строка, см. рис. 56).

Разумеется, можно и в оптике рассматривать колебания с разными частотами в том числе и с настолько близкими, чтобы разностная частота юг находилась, например, в радиодиапазоне СВЧ. На принципиальную возможность и техническую осуществимость такого гетеродинирования света впервые еще до появления лазеров — указал Г. С. Горелик [45]. Однако сейчас мы будем рассматривать обычные условия интерференционных наблюдений, когда выражается формулой (47.3).

Под интенсивностью понимается при этом низкочастотная компонента , поскольку именно она выделяется при всяком реальном способе наблюдения. Дело в том, что время наблюдения Т, даже когда оно очень мало по сравнению с временным масштабом тк модулирующих функций всегда гораздо больше периода несущей частоты Это относится и к скользящему усреднению, которое можно смоделировать операцией

и к накоплению, которое отличается от (47.4) только умножением на Г и тем, что под t понимается некоторый фиксированный момент начала накопления. В оптике, например, скользящее усреднение осуществляет глаз или электрический фильтр после ФЭУ, в радио — видеофильтр. Накопление осуществляют для света фотопластинка, болометр, а в радио — разного рода накопители и интегрирующие схемы. Учитывая сильное неравенство можно считать, что усреднение по периоду заведомо происходит, и просто включить его в самое определение «мгновенной» интенсивности :

Наблюдаемое же распределение интенсивности представляет собою результат последующего усреднения по времени наблюдения Т:

и, конечно, всецело зависит в общем случае от соотношения между Т и временным масштабом модуляции тк.

Мы сосредоточим внимание на явлениях, которые происходят при случайной модуляции. Формула (47.5) описывает тогда

некоторую мгновенную реализацию распределения интенсивности на плоскости П, т. е. в функции от задержки .

В подавляющем большинстве интерференционных экспериментов и измерений приходится иметь дело со стационарными и стационарно связанными колебаниями Если эти стационарные процессы удовлетворяют также условию эргодичности второго порядка, то, как мы знаем (§ 20), при увеличении времени наблюдения Т получается такой же результат, как и при усреднении по ансамблю реализаций (47.5), поскольку имеет место сходимость по вероятности:

Среднее же статистическое от выражения (47.5), если воспользоваться формулами (38.1) для моментов второго порядка, имеет вид

где В — моменты модулированных колебаний а -моменты комплексных амплитуд

Заметим, что статистическое среднее от мгновенной интенсивности (47.1) содержит в общем (нестационарном) случае как моменты В, так и «вторые» моменты В [см. (38.2)]. Однако в рассматриваемом случае стационарных аналитических сигналов моменты В равны нулю. Таким образом, статистическое усреднение, равносильное временному усреднению по достаточно большому интервалу Т, автоматически включает в себя и усреднение по периоду То несущей частоты.

Очевиднр, величины

— это интенсивности равномерной засветки, даваемой каждой из щелей 1 и 2 в отдельности. Отклонения от равномерной суммарной освещенности всецело определяются вещественной частью корреляционной функции:

Некоррелированные колебания на щелях интерферометра (например, освещение каждой из них волной от своего независимого

источника) не дадут интерференционной картины, т. е. будет полное отсутствие когерентности.

В оптике корреляционную функцию теперь принято называть комплексной функцией когерентности второго порядка (в данном случае — функцией временной когерентности) и обозначать через , но, как уже было отмечено, нет, в сущности, никаких оснований для того, чтобы отступать от общей терминологии, принятой в теории случайных функций. Формула (47.7) показывает, что распределение интенсивности на плоскости П изображает с точностью до постоянной составляющей функцию корреляции интерферирующих колебаний.

Вводя взаимные коэффициенты корреляции для комплексных амплитуд и для высокочастотных колебаний

можно записать (47.7) в виде

Таким образом, как это и должно быть для модулированных колебаний (§ 44), распределение само представляет собой модулированное колебание: интерференционные полосы повторяются по с частотой и вписаны в огибающую

В оптике издавна принято характеризовать контрастность интерференционной картины так называемой видностью полос. Эта легко измеряемая величина по определению есть

    (47.10)

где — значения интенсивности (освещенности экрана П) в соседних максимуме и минимуме. Для модулированных колебаний можно считать, что эти соседние значения отвечающие изменению на , соответствуют, одному и тому же значению Из (47.9) и (47.10) тогда следует, что

    (47.11)

т. е. видность с точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей Отсюда ясно, что коэффициент корреляции представляет собой адэкватную и удобную количественную меру когерентности — от полной когерентности до

полного ее отсутствия . В оптике называется комплексной степенью когерентности. Вместе с тем интерференция дает предельно наглядную иллюстрацию «соотношения неопределенностей» между шириной интерференционной картины и степенью монохроматичности используемого света, поскольку спектральная плотность этого света тоже непосредственно наблюдаема, скажем, при помощи спектроскопа.

Возьмем для простоты случай, когда на щели интерферометра падает нормально плоская волна, так что Соответственно и (47.9) принимает вид

    (47.12)

где — коэффициент автокорреляции комплексной амплитуды колебания Согласно и спектральная плотность связаны преобразованием Фурье:

чем и обусловлено «соотношение неопределенностей» (§ 42). В частности, при гауссовой форме спектральной линии (ширины Q на уровне от максимума, лежащего на частоте огибающая коэффициента корреляции тоже будет гауссовой:

Лоренцевой форме линии (ширины Q на уровне 1/2 от максимума) отвечает экспоненциальная огибающая:

    (47.15)

Для прямоугольного спектра, постоянного в полосе частот находим

    (47.16)

Видность во всех случаях зависит от так что интерференционная картина расширяется по с уменьшением ширины спектра и наоборот. При (идеальная монохроматичность) , т. е. в нашем идеализированном приборе интерференционные полосы заполняют весь сектор углов с постоянной максимальной контрастностью (полная когерентность).

При нормальном падении плоской волны на экран В видность связана только с монохроматичностью колебания общем случае колебания на разнесенных щелях могут различаться не только задержкой одного из них на время , поскольку они представляют собой временной ход волнового поля в несовпадающих точках пространства: . Тем самым, эти колебания (а значит, и видность) зависят от пространственной структуры поля, которая в случае точечного источника связана только с его положением, но для протяженного источника определяется еще и статистическими свойствами всей совокупности колебаний, излучаемых его «точечными» элементами. На пространственно-временную структуру поля могут влиять, кроме того, как детерминированные, так и случайные неоднородности среды на пути от источника к интерферометру, а также флуктуации в самом приборе, например флуктуации положения «щелей». Конечно, последний фактор практически исключен в двухщелевом интерферометре Юнга — Релея, но, например, в звездном интерферометре Майкельсона он играет существенную роль, так как речь идет о двух разнесенных на несколько метров зеркалах и пренебрегать вибрациями конструкции уже нельзя. Остановимся на некоторых иллюстрациях сказанного.

Пусть плоская волна падает на интерферометр не по нормали к экрану В, а под достаточно малым углом а к этой нормали (рис. 43). Плоской можно считать волну и от точечного источника, направление на который дается углом а, при условии, что этот источник находится во фраунгоферовой зоне . При наклонном падении запаздывание колебания 1 относительно колебания 2 равно теперь , где

    (47.17)

Это приводит, очевидно, к смещению всей интерференционной

картины, так как аргументом в предыдущих формулах будет вместо разность

Если а — случайная величина, независимая от (скажем, а — это флуктуации направления прихода волны из-за неоднородностей среды), то усреднение по ансамблю реализаций и выполненное в формуле (47.7), будет давать теперь условное среднее — среднее при фиксированном а, например, . Безусловная функция корреляции (отметим ее чертой сверху) получится в результате последующего усреднения по распределению случайной величины а:

    (47.18)

где дается формулой . В отсутствие других различий между колебаниями помимо дополнительного сдвига надо заменить в формуле на функцию автокорреляции В.

Рис. 43.

Запишем эту формулу в другом представлении. Пользуясь (47.13) (конечно, с заменой на и вводя характеристическую функцию случайного угла а:

получаем из (47.18)

Если распределение достаточно острое и, следовательно,

существенны лишь столь малые а, что можно считать то интеграл по а равен интегрирования по и это дает

    (47.19)

Рассмотрим теперь протяженный источник, состоящий из некогерентных (т. е. некоррелированных) «точечных» элементов. Каждый такой элемент, видимый под углом а, дает плоскую волну, приходящую по направлению а, причем соответствующее элементарное колебание может, вообще говоря, явно зависеть от а — хотя бы из-за различной светимости разных элементов протяженного источника. Суммарное колебание на щели создаваемое протяженным источником в целом, есть а так как, по предположению, колебания дельта-коррелированы по а, распределение интенсивности в интерференционной картине будет

    (47.20)

Другими словами, интерференционные картины, даваемые некоррелированными «точечными» элементами, сложатся по интенсивности. Пределы интегрирования определяются той областью углов а, в которой еще отличны от нуля, так что формально эти пределы можно раздвинуть в Так как спектральная плотность тоже зависит от а:

можно записать переменную (зависящую от часть интенсивности в (47.20) в виде

    (47.21)

Конечно, угол а теперь не случайная величина, а просто параметр, от которого зависят «элементарные» колебания на щелях. Тем не менее в том частном случае, когда спектральная плотность «факторизуется»:

[т. е. у всех «элементарных» источников одинаковый спектр, а на каждой частоте — одинаковое распределение светимости по углу], формула (47.21) формально приводится к виду (47.19). Действительно, в этом случае

Поскольку и всегда можно пронормировать на полной протяженности источника к единице, интеграл по а (при столь малых размерах источника, что можно считать совпадает с «характеристической функцией» распределения

и мы получаем формулу вида (47.19).

Ясно без вычислений, что в случае двух точечных источников, разнесенных на угловое расстояние

наихудшая видность получится тогда, когда интерференционные полосы обеих картин сдвинуты на нечетное число угловых полуширин интерференционной полосы. Если же источник заполняет с постоянной яркостью угловой интервал так что «характеристическая функция» есть

то формула (47.19) дает

При идеальной монохроматичности получаем

    (47.22)

Таким образом, видность всей интерференционной картины уменьшается с ростом или d по такому же закону (47.16), по какому она спадает в случае точечного источника с ростом ширины Q прямоугольной спектральной полосы.

Аналогичное положение вещей имеет место и в двумерном случае, когда источник виден под некоторым телесным углом, а интерферометр содержит не щели, а достаточно малые «отверстия» (например, зеркала в звездном интерферометре Майкельсона или зеркальные антенны в радиоастрономическом интерферометре). Для круглого однородного по яркости монохроматического диска с угловым диаметром видность, выражающаяся через двумерную трансформанту Фурье от распределения яркости, равна

    (47.23)

где — бесселева функция первого порядка. Увеличение длины базы d повышает разрешающую силу по углу Первый (наиболее отчетливо выраженный) нуль видности в (47.22) и (47.23) получается соответственно при

В первом звездном интерферометре, установленном в 1920 г. на обсерватории Маунт-Вильсон, базу d можно было увеличить до что дает при исчезновение интерференционной картины при Удалось измерить угловые диаметры шести звезд, лежащие в пределах от 0,02" до 0,05".

Хотя радиоинтерферометры работают на волнах гораздо большей длины, они позволяют получать более высокие угловые разрешения, чем в оптических интерферометрах — за счет применения сверхдлинных баз (в сотни и тысячи километров). Например, при км на волне см получаем Увеличение базы до 10000 км, что технически осуществимо, уменьшает еще на порядок. При таких разрешениях радиоинтерферометры позволят решать астрометрические задачи, измерять параллаксы квазаров и пульсаров, измерять угловые диаметры квазаров и внегалактических туманностей и т. п.

Чувствительность к атмосферным флуктуациям фазы световых колебаний и угла прихода световой волны, необходимость исключительной точности изготовления инструмента, а также точности его наведения и слежения — это основные причины, ограничившие возможности, звездного интерферометра Майкельсона, измеряющего функцию корреляции высокочастотных

(световых) колебаний. От этих трудностей свободен так называемый интерферометр интенсивностей, предложенный P. X. Брауном и Р. К. Твиссом в. 1954 г. для радиодиапазона [46], а в дальнейшем и для света . Остановимся на принципе его работы.

Мы рассматривали среднюю интенсивность интерференционной картины, зависящую от функции корреляции колебаний Может ли дать какую-либо информацию о степени когерентности колебаний корреляция мгновенных интенсивностей ? На первый взгляд кажется, что ответ должен быть отрицательным, поскольку эти квадраты модулей уже не содержат фаз колебаний а только их амплитуды. Тем не менее корреляция между позволяет, как мы сейчас убедимся, судить о корреляции Заметим, что теперь мы будем рассматривать момент более высокого (четвертого) порядка, т. е. выйдем за рамки корреляционной теории.

Корреляционная функция интенсивностей есть

где — средние интенсивности, по-прежнему относительная временная задержка, обусловленная разностью хода от обеих щелей. Если, как это часто бывает, колебания можно считать нормальными случайными функциями, то входящий в формулу для четвертый момент равен сумме I попарных произведений вторых моментов (см. задачу 2):

где — «первая» и «вторая» взаимные корреляционные функции (§ 38). Но у стационарно связанных аналитических сигналов и мы получаем для корреляционной функции интенсивностей простое выражение:

    (47.24)

Согласно (47.11) измерение непосредственно определяет видность

Схема интерферометра интенсивностей показана на рис. 44. Фотоэлектрические умножители регистрируют интенсивности световых пучков, т. е. в конечном счете — флуктуации амплитуд.

Рис. 44.

Полоса пропускаемых частот определяется теперь электрическими фильтрами, т. е. гц (в то время как оптическому фильтру с полосой в 100 А соответствует гц). Взяв для оценки прямоугольную полосу, т. е. формулу

нетрудно убедиться, что разность хода в 30 см ( сек) уменьшает видность всего на 2%. Отсюда вытекает легкость получения высокого углового разрешения без исключительной точности изготовления прибора. Вторым преимуществом является именно нечувствительность к фазам самих световых колебаний: важны лишь фазы сравнительно низкочастотных флуктуаций интенсивностей. Поэтому на работе интерферометра практически не сказываются атмосферные флуктуации, при которых колебания углов прихода не превышают , а времен прихода — сек.

К недостаткам прибора относится, во-первых, малая чувствительность: наибольшая звездная величина, еще измеримая за не слишком длительное время экспозиции, определяется шумами на входе коррелятора. Во-вторых, необходима достаточно высокая спектральная плотность (число фотонов на единицу спектрального интервала), которую обеспечивают только горячие звезды.

Укажем в заключение на иное направление в использовании интерференции радиоволн для измерительных целей. Высокая монохроматичность колебаний радиогенераторов, возможность получить большую стабильность их частот (уменьшить технические уходы) и осуществить взаимную синхронизацию разнесенных передатчиков — все это явилось предпосылкой к тому, чтобы распространить использование интерференции на радиодиапазон. В 30-х годах Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси развили различные варианты радиоинтерференционных

методов для измерения скорости распространения радиоволн в реальных условиях (а при известной скорости — для измерения расстояний). При этом были использованы дополнительные возможности радиодиапазона — легкость трансформации частот радиоволн в простых дробных отношениях при ретрансляции этих волн и легкость непосредственной регистрации разностей фаз интерферирующих колебаний, т. е. не модуля коэффициента корреляции (видности), а его аргумента [см. (47.8)]. Одним из вариантов упомянутых методов является измерение положения приемника при помощи координатной гиперболической «сетки», созданной на местности тремя синхронизированными передатчиками. Все эти методы получили практическое применение в геодезии, картографии, навигации и других областях (см. [49]).