§ 5. Дробовой эффект. Распределение Пуассона

Рассмотрим в заключение задачу о дробовом эффекте, вполне аналогичную задаче о телефонных вызовах.

Мы по-прежнему принимаем, что при каждом испытании вероятность события А (в данном случае это вылет электрона из катода в течение некоторого малого времени имеет одно и то же значение , не зависящее ни от исходов остальных испытаний, ни от номера рассматриваемого испытания, т. е. от эмиссии и присутствия других электронов и наличия объемного заряда. С учетом объемного заряда, вызывающего явление так называемой депрессии (подавления) дробового эффекта, задача существенно усложняется.

Перелет электрона от катода к аноду создает импульс анодного тока, длительность которого порядка времени пролета (в обычных электронных лампах — порядка сек), а интегральное значение равно заряду электрона е. Если средний анодный ток составляет, скажем, то ежесекундно на анод поступает примерно электронов. Отсюда ясно, что импульсы анодного тока густо перекрываются. Если бы они следовали вплотную друг за другом, но без перекрытия, то пролет указанного количества электронов занял бы около года. Но для нас сейчас нет необходимости рассматривать с/епень перекрытия импульсов, равно как и их форму. Под событием А мы будем понимать мгновенный акт вылета электрона из катода, т. е. начало импульса анодного тока.

Нас интересует заряд, поступивший на анод за некоторое время где каждый интервал — это одно из N испытаний, в результате которого констатируется либо наличие вылета в интервале вероятностью , либо его отсутствие. Сразу же возникает вопрос о том, как быть с теми интервалами , в которых оказалось два или более вылетов. Интуитивно ясно, что вероятность вылета должна убывать с уменьшением . Тогда при все более мелком дроблении промежутка времени Т на части вероятности двукратного, трехкратного и т. д. вылетов за время будут уменьшаться, как величины соответственно второго, третьего и т. д. порядка малости относительно Мы можем поэтому рассчитывать на то, что при достаточно больших N (а никаких ограничений в этом отношении нет) для подавляющей доли интервалов имеет место простая альтернатива: либо произошел один вылет (вероятность ), либо интервал пустой (вероятность ). Тем самым задача приводится к схеме Бернулли, и мы получаем, что вероятность вылетов за время Т (за N испытаний) есть Сила тока в среднем за время Т равна

Среднее значение тока будет

интенсивность флуктуаций (дисперсия)

а относительное квадратичное отклонение —

Но в таком виде полученные результаты не могут претендовать на физическую значимость, так как они зависят от произвольного числа испытаний

Естественно, напрашивается предельный переход осуществляемый при условии, что средняя сила тока I фиксирована, т. е.

где среднее число электронов, вылетающих за одну секунду. Согласно (5.1) это означает, что вероятность вылета электрона за интервал времени х должна быть связана с N следующим образом:

т. е. должно стремиться к нулю вместе с Подставив в выражение для и перейдя к пределу при получаем теперь

С ростом времени усреднения Т флуктуации тока уменьшаются как абсолютно, так и относительно. С увеличением среднего тока 7 происходит абсолютное усиление флуктуаций, но относительное их сглаживание. Формулы (5.2) — это основные формулы дробового эффекта без объемного заряда (без депрессии). Они явным образом отражают тот факт, что флуктуации тока — это следствие дискретности электрического заряда.

Дробовой эффект дает пример такой задачи, когда целесообразно считать, что число испытаний N за время Т неограниченно растет, но при этом среднее число наступлений события А за единицу времени а значит и среднее их число за время Т, т. е. остается конечным. Тем самым вероятность А при отдельном испытании

с ростом N стремится к нулю, т. е. в подавляющей доле испытаний событие А не наступает.

Во всех задачах такого типа (к ним относится и задача о телефонных вызовах, о сцинтилляциях, об ожидании трамвая, о соударениях молекул между собой или об их ударах о стенку и т. п.) напрашивается переход от общей формулы для к предельному выражению при но фиксированном .

Заменяя в (3.1) через получаем

В пределе при для вероятности отсюда следует закон распределения Пуассона:

Единственный параметр Я, входящий в этот закон, представляет собой именно среднее значение , т. е. . Все моменты высших порядков, конечно, тоже выражают через и, в частности,

Заметим, что если с самого начала считать вероятность наступления события А за время равной вместо прежнего , то с точностью до величин второго порядка малости относительно совершенно строго получается закон Пуассона, Легко видеть, что

как это и должно быть. Разумеется, среднее значение Я и стандарт вычисленные при помощи распределения Пуассона, можно получить и посредством предельного перехода из выражений для этих величин, даваемых биномиальным законом, а именно:

С равномерным распределением вероятности события , где однозначно связан не только закон Пуассона, дающий вероятность того или иного числа осуществлений события А за время Т, но и вполне определенный (экспоненциальный) закон распределения для промежутка времени t от произвольно выбранного момента до первого наступления события А. Подойдем к этой задаче, отправляясь снова от схемы Бернулли.

Вероятность осуществления двух независимых событий — того, что интервал (0, t) «пустой» и что в интервале событие А произошло хотя бы один раз, — равна произведению вероятностей этих событий. Разобьем ось t на малые интервалы длины , и пусть N таких интервалов содержится в Вероятность «пустого» интервала (0, t) равна, следовательно,

а вероятность хотя бы одного наступления равна (см. сноску на стр. 27)

В пределе при первая вероятность переходит в , а вторая — в , т. е. с точностью до первого порядка относительно . В результате получаем

Согласно (5.4) среднее время ожидания есть

что можно было написать сразу, исходя из определения Следует подчеркнуть, что момент, от которого отсчитывается время t, ничем не выделен. В частности, это может быть момент наступления события А, и тогда t будет промежутком времени между двумя осуществлениями А (соударениями молекул, телефонными вызовами, вылетами электронов и т. д.)