§ 48. Нестационарная интерференция. Корреляция источников колебаний

При стационарных и стационарно связанных колебаниях интерференционная картина абсолютно устойчива. Она сохраняется при произвольном увеличении времени усреднения (или накопления) Т и описывается — при эргодичности процессов -статистическим средним от мгновенного распределения интенсивности (47.7). Если же колебания нестационарны или хотя бы нестационарно связаны, то усреднение по ансамблю реализаций уже не совпадает с усреднением по достаточно длительному интервалу времени.

Согласно (47.5) и (47.6) картина, наблюдаемая при некотором времени усреднения Т, описывается выражением

Распределение интенсивности по экрану (т. е. в функции от зависит теперь и от текущего времени t, и от интервала усреднения Т.

Возьмем, например, простой случай двух разночастотных гармонических колебаний: . Формула (48.1) дает в этом случае

Мы видим, что полосы, повторяющиеся по с периодом не стоят на месте, а бегут со скоростью, равной (по

Видность этих полос есть т. е. определяется произведением времени усреднения Т на частоту биений Видность близка к единице при Смысл этого условия заключается в том, что сдвиг полос за время усреднения Г, равный должен быть значительно меньше периода полос . В противном случае картина будет смазана, распределение интенсивности станет равномерным. Таким образом, формула (48.2) описывает непрерывный переход от полной когерентности при к полной некогерентности при

Следует подчеркнуть, что при частичной когерентности мы наблюдаем движущиеся полосы, т. е. суждение о том, имеются ли отступления от равномерной суммарной засветки, вовсе не предполагает обязательной неподвижности картины. Все определяется соотношением между характеристикой прибора (временем и немонохромэтичностью (в нашем примере — разностью двух частот). Для глаза ( сек) полосы могут быть не видны, но, скажем, фотоаппарат с экспозицией сек может их зарегистрировать.

Разумеется, сказанное применимо к любым модулированным колебаниям, как детерминированным, так и случайным. Если

где мало меняются за период высокой частоты то и разность тоже будет медленной функцией t. Считая для простоты, что (интерференционная картина особенно чувствительна именно к фазам), и отбрасывая члены, меняющиеся по времени t с частотой получаем для мгновенной интенсивности формулу

В темпе изменения разности полосы будут «ерзать» и (или) односторонне смещаться с мгновенной скоростью

а условие малости их смещения за время наблюдения Т сведется, естественно, к тому, чтобы изменение за время Т было гораздо меньше

Резюмируя, можно сделать вывод, что в общем случае целесообразно связать само определение понятия когерентности с временной постоянной прибора. Такое определение является и более общим, и более гибким, так как не предполагает абсолютной неизменности интерференционной картины. Однако если речь идет о хаотической (случайной) модуляции интерферирующих колебаний, то, как всегда в таких случаях, интерес представляют статистические характеристики наблюдаемого явления. Разумеется, для их вычисления необходим ансамбль реализаций, получаемых либо в одном и том же интервале времени при помощи большого числа одинаковых интерферометров, либо, что, может быть, более реалистично, получаемых на одном интерферометре в последовательные интервалы времени при воспроизведении одних и тех же условий в каждый начальный момент

Мы можем либо сначала найти статистическое среднее от (47.1), а потом выполнить усреднение по времени, либо наоборот. В первом случае мы получаем

Входящие сюда «вторые» моменты В теперь отличны от нуля, но, в отличие от «первых» моментов В, они содержат колебания с частотой например:

Поэтому усреднение (48.4) по интервалу практически уничтожит члены с В, и мы получим

Тот же результат получается и при обратной последовательности операций, т. е. при статистическом усреднении формулы (48.1). Наличие или отсутствие интерференционной картины зависит от последнего члена формулы (48.5), т. е. от усредненного по интервалу Т смешанного момента, а контрастность (видность) полос может быть определена аналогично тому, как это было сделано в § 47 для стационарных колебаний. В этом последнем случае все моменты В не зависят от t, так что волнистую черту можно просто снять (скользящее усреднение

вообще ничего не меняет, а накопление сводится к умножению на Т). Другими словами, формула (48.5) переходит в (47.7).

Остановимся в заключение на «механизме» тех статистических явлений в источниках колебаний, которые приводят к некогерентности этих источников. Под источником мы понимаем динамическую систему, в которой — наряду с возможными детерминированными воздействиями и взаимодействиями — имеют место и случайные, причем последние могут принадлежать к принципиально неустранимым (напомним естественные флуктуации в автогенераторе, § 28). Характер сил и взаимодействий может быть самым различным. Возможно, что парциальные системы, из которых состоит источник, связаны детерминированным образом, но случайные силы, действующие на парциальные системы, некоррелированы. Тем не менее наличие детерминированной связи может внести взаимную корреляцию в колебания парциальных систем. Примером могут служить связанные осцилляторы, каждый из которых находится под действием силы, не коррелированной с силой, приложенной к другому (см. задачу 15). Может быть и так, что само возбуждение колебаний в парциальных системах обусловлено случайным взаимодействием между ними. Примером являются соударения в газе -осцилляторов (см. задачу 11). Разнообразие встречающихся условий очень велико, и вряд ли есть надобность в какой-либо исчерпывающей их классификации.

Мы рассмотрим здесь только одну иллюстрацию того, как утрачивается когерентность излучения (колебаний) двух связанных источников, причем ограничимся в основном качественной стороной дела и по возможности упростим саму постановку вопроса. Речь пойдет о двух связанных томсоновских автогенераторах, таких, как рассмотренный в § 28. В отличие от двух связанных осцилляторов (задача 15), т. е. линейных диссипативных систем, в которых колебания поддерживаются флуктуационными силами, здесь мы имеем нелинейные автоколебательные системы. Колебания происходят и в отсутствие флуктуационных сил (при этом они идеально монохроматичны), а роль последних состоит лишь в том, что они создают немонохроматичность, т. е. обусловливают конечную длительность когерентного цуга.

Вместо уравнения (28.1) для одного генератора

мы имеем теперь систему двух уравнений для двух идентичных

и слабо (в порядке малого параметра связанных генераторов:

причем стационарные белые шумы взаимно некоррелированы:

Не имея возможности полностью излагать здесь теорию автоколебательной системы (48.7), мы приведем только те результаты, которые непосредственно нужны для интересующего нас вопроса. Заметим, однако, что для малых флуктуаций около установившихся автоколебаний можно использовать корреляционную теорию автоколебаний. Это было сделано первоначально в работе [50] применительно к одному автогенератору, т. е. к уравнению (48.6) (см. § 53). Распространение аналогичной теории на более сложные автоколебательные системы томсоновского типа и, в частности, на связанные автогенераторы (48.7) не встречает принципиальных трудностей. Ряд таких задач детально исследован в книге [51].

Рис. 45.

Рис. 45 иллюстрирует стационарный динамический (т. е. в отсутствие шумов) режим. На плоскости Ван-дер-Поля изображены векторы обоих колебаний:

Возможны два равноправных устойчивых режима, при которых разность фаз равна и соответственно величина либо больше, либо меньше единицы. Равенство достигается только в отсутствие связи и тогда угол произволен, т. е. определяется начальными условиями. Для определенности мы выберем режим с при котором и определяются уравнениями

Предполагается, что генераторы возбуждены . В отсутствие связи мы имеем тогда

При наличии флуктуационных сил мы для простоты полностью отвлечемся от амплитудных флуктуаций, считая постоянными и равными их динамическим значениям. Что касается фаз, то мы введем их отклонения и от начальных значений в момент

При этом мы подчиним начальные значения условию стационарной динамической связи: . Тогда и удовлетворяют уравнениям

где штрихом обозначено дифференцирование по «медленному времени» , а силы линейно связанные с — тоже взаимно некоррелированные белые шумы:

Вычитая второе уравнение (48.9) из первого, получаем для флуктуаций угла между векторами х и у уравнение

    (48.10)

При сильной связи (больших флуктуации а малы, так что уравнение (48.10) можно линеаризовать :

Поведение векторов х и у выглядит при этом следующим образом. Угол а между ними флуктуирует так, как если бы эти векторы были связаны пружиной (с равновесным состоянием при и двигались в вязкой среде с коэффициентом трения Вместе с тем вся связка векторов случайным (диффузионным) образом поворачивается и может как угодно далеко уйти от своего начального положения. По мере ослабления связи (уменьшения «пружина», связывающая векторы х и у, становится все мягче и флуктуации угла а растут, т. е. диффузионное вращение каждого из векторов все меньше зависит от положения другого. В конечном счете, при каждый вектор совершает диффузионное вращательное движение сам по себе, как это и должно быть у несвязанных автогенераторов.

Нас интересует интерференционная картина, создаваемая суперпозицией колебаний , т. е. распределение интенсивности

где

индекс означает, как обычно, что величина берется в момент времени , а волнистая черта (и индекс Т) указывает на усреднение по интервалу времени Т. В случае линеаризованных по а уравнений (48.9) и (48.10) флуктуации — нормальные процессы, так что и 5 — гауссова величина (со средним значением . Поэтому

и интенсивность равна

Интересно сравнить (48.11) с картиной, даваемой каким-либо одним из связанных генераторов, скажем колебанием :

где теперь Здесь при линеаризации уравнений для фаз получаем

    (48.12)

В обоих случаях задача сводится к вычислению Мы и приведем теперь результат расчета при линеаризованных фазовых уравнениях и для не слишком больших задержек одного из колебаний (а именно предполагается, что где - задержка по медленному времени ). Последнее означает, что мы рассматриваем области интерференционной картины, не очень удаленные от ее центра Для получается

    (48.13)

Здесь коэффициенты диффузии фазы каждого из генераторов в отсутствие связи между ними.

Если связь налицо то Тем самым, с ростом времени экспонента затухает и устанавливаются стационарные дисперсии причем в (48.14) можно пренебречь первым слагаемым в фигурной скобке ввиду его малости

    (48.16)

Строго говоря, мы не имеем права переходить в формулах (48.13) — (48.16) к случаю отсутствия связи , так как при этом утрачивается возможность линеаризации уравнений для фаз по а. Однако с качественной стороны результаты остаются вполне осмысленными.

При малых х имеем приближенно так что (48.15) и (48.16) принимают вид

Из-за множителя и слагаемого стационарная дисперсия D [5] чрезвычайно велика при любых сдвигах , включая и центр интерференционной картины Это означает, согласно (48.11), что полос практически нет. Напротив, в «авто-интерференционной» картине одного генератора (48.12) полосы вписаны в экспоненциально спадающую огибающую (при произвольном знаке надо писать ). Здесь наличие очень слабой связи с другим генератором вносит лишь пренебрежимо малые поправки, исчезающие при

При дисперсия , но это «стационарное значение» достигается лишь за бесконечно долгое время установления Для всякого конечного t (и ) переход к несвязанным генераторам, т. е. переход к

в формулах (48.13) и (48.14), дает

    (48.18)

Таким образом, автоинтерференция стационарна и такая же, как выше, а интерференция между генераторами нестационарна и, как легко видеть, обусловлена независимой диффузией фаз обоих генераторов, первого — за время , а второго — за время

Если под волнистой чертой в (48.11) понимать операцию накопления за время от 0 до Т, то, в соответствии с (48.17) и (48.11), получаем (поскольку при амплитуды одинаковы, Во —

Картина полос, такая же, как и у одного генератора (если не говорить о сдвиге на половину полосы), исчезает, как только время накопления Т заметно превзойдет время «суммарной» диффузии

Наконец, что совсем тривиально, при «выключении» случайных сил, когда диффузия фаз прекращается и колебания становятся строго монохроматическими обе интерференционные картины (48.11) и (48.12) стационарны и обладают постоянными видностями соответственно Строго монохроматические колебания ничего «не знают» о том, зависимы или независимы их источники.