§ 39. Свойства функции корреляции и связанные с ней свойства случайной функции

Для краткости последующие рассуждения проводятся над смешанным моментом хотя они полностью применимы и к функции корреляции

Из определения тотчас же следует, что имеет место эрмитовость:

Легко видеть, далее, что на всей плоскости момент ограничен по модулю. Действительно, полагая имеем с учетом (39.1)

так что

Свойства (39.1) и (39.2) вытекают из более общего утверждения, состоящего в том, что момент В является положительно-определенной функцией. Это означает, что для любых моментов времени произвольных комплексных чисел вещественна и неотрицательна сумма

    (39.3)

Доказательство крайне простое: (39.3) вытекает из того, что

Очевидно, «второй» смешанный момент симметричен по отношению к перестановке t t, но свойством положительной определенности не обладает.

Можно доказать и обратную теорему: всякая положительноопределенная функция является моментом второго порядка некоторой случайной функции рассматриваемого типа. Таким образом, класс положительно-определенных функций совпадает с классом моментов случайных функций второго порядка. Нетрудно видеть, что любые линейные комбинации моментов с произвольными положительными коэффициентами тоже положительно-определенны, т. е. обладают свойствами смешанного момента В некоторой случайной функции второго порядка.

Если стационарна, так что , где , то свойства (39.1) — (39.3) принимают следующую форму:

(что непосредственно вытекает из инвариантности к сдвигу начала отсчета времени, см. § 18),

Заметим еще раз, что все сказанное справедливо и по отношению к функции корреляции . Для стационарной функции можно вообще отождествить считая

Убедимся теперь в том, что предположенная непрерывность при любых влечет за собой равномернуюнепрерывность на всей плоскости . Имеем

Следовательно, воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского

получаем

Так как правая часть при обращается в нуль в силу непрерывности при всех то и левая часть стремится к нулю, причем при любых т. В частности, если случайная функция стационарна, то неравенство принимает вид

откуда видно, что непрерывность смешанного момента в нуле обеспечивает его непрерывность при всех Следовательно, из четырех изображенных на рис. 30 вещественных и четных функций только три последние могут представлять момент второго порядка стационарного процесса, а первая — наверное не может.

Рис. 30.

Через определенные условия, налагаемые на момент выражается ряд свойств самой случайной функции Так, например, из равенства

следует, что непрерывность при означает непрерывность в среднем квадратичном для

Легко также показать, что производная обязательно будет существовать и будет случайной функцией второго порядка, непрерывной в среднем квадратичном, только при условии существования непрерывной для всех смешанной производной . Действительно, легко проверить, что при этом условии

т. e. существует предел в среднем квадратичном отношения не зависящим от способа перехода к

Чему равен момент случайной функции Имеем

В частности, для стационарной случайной функции достаточным условием существования является существование производной причем смешанный момент есть

Таким образом, стационарные случайные функции с моментами показанными на рис. 30, б, в, не имеют производной, а с изображенным на рис. 30, г, имеет производную. Непрерывность производной (в среднем квадратичном) опять-таки определяется непрерывностью в нуле.

Тем же способом, которым мы нашли нетрудно убедиться, что

а для стационарной

    (39.10)

Разумеется,

так как , т. е. не зависит от

Наконец, необходимым и достаточным условием существования в среднем квадратичном интеграла

где — некоторая детерминированная функция, а пределы могут быть и бесконечными, является конечность двукратного интеграла

который, если он существует, представляет собой величину Очевидно, функция распределения случайной величины I зависит от а и b, как от параметров, а кроме того, является функционалом от