Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава I. ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ§ 1. Физическое понятие вероятностиКак показывает опыт преподавания, изучение теории вероятностей в чисто математическом плане не всегда приводит к достаточной ясности в принципиальных вопросах, существенных для физика. Целесообразно поэтому хотя бы коротко остановиться на том, что такое вероятность и как пользуется этим понятием физик. Хорошо известно, что вычислять вероятности научились задолго до того, как по-настоящему поняли, что такое вероятность. Теория возникла из попыток рассчитать шансы на выигрыш, «справедливые» ставки и т. п. в так называемых азартных играх, примерами которых могут служить игра в кости, в орлянку, такие карточные игры, как «очко», т. е. игры, в которых все зависит от «воли случая» и ничего не зависит от способностей игрока, его сообразительности или уменья. В этом смысле подобные игры можно назвать глупыми. Между тем, как любят говорить математики, умная игра в шахматы практически ничего не дала науке, тогда как глупая игра в кости дала очень много. В чем причина этого интересного факта? Дело в том, что шахматы подчинены своим специальным правилам и все ситуации, которые здесь возникают, не выходят за рамки этих правил, т. е. не могут претендовать на какую-либо всеобщность. Напротив, игра в кости элементарно проста и позволяет проявиться в чистом виде чрезвычайно общей статистической закономерности — устойчивости относительных частот при возрастании числа испытаний. Если при эмпирический факт не зависит от того, «хорошая» кость или «плохая». У заведомо фальшивой кости, содержащей, например, кусочек свинца со стороны одной из граней, устойчивость величин Итак, устойчивость Иногда полагают, что значения
Это определение недостаточно широко, так как оно не охватывает случаев, когда возможные исходы составляют бесконечное счетное или непрерывное множество. Но даже не требуя от определения больше того, на что оно распространяется, легко заметить тавтологичность данного определения. Ведь равно - возможность означает здесь не что иное, как равновероятность, и, следовательно, вероятность Р «определена» через вероятность же. Просто здесь дается правило подсчета вероятностей интересующих нас исходов по принятому заранее равномерному распределению вероятностей всех возможных исходов. Полагая, что из определения Лапласа следует вероятность На что опираются все такие «самоочевидные» предположения? В качестве их опоры иногда привлекается так называемый «принцип недостаточного основания»: если кость сделана геометрически аккуратно, из однородного материала и т. п., то нет оснований считать иначе. Психологически это, может быть, и понятно. Для человека, ровно ничего не знающего ни о каком статистическом опыте, равновероятность выпадения граней аккуратной кости или обеих сторон монеты представляется очевидной по «здравому смыслу». Конечное число возможных исходов и наличие симметрии делают здесь равновероятность естественной до самоочевидности. Но в отсутствие симметрии или, скажем, при непрерывных возможных исходах «здравый смысл» пасует или подводит. В случае фальшивой кости только статистический опыт с данной костью позволяет получить оценку вероятностей выпадения различных граней. Трудности возникающие при выборе равновозможных исходов при непрерывном их множестве, были очень ярко продемонстрированы на ряде геометрических задач в «Исчислении вероятностей» Бертрана (1888 г.). Эти так называемые парадоксы Бертрана с «геометрическими» вероятностями — еще один пример недостаточности «здравого смысла» или интуиции в этой более сложной ситуации [21]. Более того, когда мы говорим, что в простых случаях интуитивное предсказание правильно, то сама эта «правильность» означает лишь то, что проверка на статистическом опыте подтвердила бы предсказание. Таким образом, даже «самоочевидные» предположения о равновероятности в конечном счете опираются на огромное количество испытаний, фактически проведенных с соблюдением определенных условий, т. е. на накопленный статистический опыт. Конечно, здесь нет возможности углубляться в историю развития теории вероятностей. На протяжении этой долгой истории возникали и сталкивались разные воззрения на понятие вероятности. Созревание теории вероятностей как аксиоматизированной ветви математики затянулось почти на три столетия. Математическая теория, возникнув на основе каких-то (обычно довольно простых) идей, почерпнутых из реальных явлений и фактов, большей частью стремится в дальнейшем к эмансипации, к отрыву от своих эмпирических корней, к достижению уровня аксиоматизированной теории. У теории вероятностей этот процесс завершился лишь в 30-х годах нашего века, когда А. Н. Колмогоров сформулировал аксиомы, сделавшие теорию вероятностей главой метрической теории функций. Сегодня математик называет вероятностью неотрицательную, нормированную к единице, вполне аддитивную функцию множеств, определенную на некоторой алгебре множеств. Событие А изображается множеством А точек пространства всевозможных «элементарных исходов» рассматриваемого опыта (испытания), и вероятность
I. Вероятность II. Для достоверного события U имеет место равенство III. Для взаимно исключающих друг друга событий
Знак суммы имеет различный смысл слева и справа. Слева он означает, что речь идет о вероятности того, что произойдет хоть какое-то из событий «Достоверное событие», о котором идет речь в аксиоме II, отвечает множеству U, состоящему из всех мыслимых «элементарных исходов», так что все другие события Л представляют собой подмножества Аксиома III (аксиома сложения) охватывает и случай Из аксиом I—III, дополненных определениями ряда связанных с вероятностью понятий (например, понятия случайной величины или понятия математического ожидания), логически вытекает вся теория вероятностей. Конечно, в аксиомах, определяющих величину Р, нетрудно разглядеть связь этой абстрактной величины с эмпирической относительной частотой, но это генетическая связь, касающаяся происхождения аксиом, а не их содержания, из которого все эмпирическое уже исключено. Поэтому, выслушав это абстрактное определение вероятности, физик, инженер, экономист и т. д., т. е. человек, имеющий дело с реальными вещами и явлениями, сразу же спросит, что ему делать с этой вполне аддитивной функцией множеств, как связывать уравнения и формулы математической теории с реальным миром. Ситуация здесь та же, что и во всякой физической теории. Уравнения и формулы для неких величин, взятые сами по себе, еще не исчерпывают физической теории. Последняя требует, чтобы мы знали, как извлекать из реальных вещей и явлений те числа, которые следует подставлять в математические формулы в качестве значений входящих в них величин, т. е. знали, как измерять эти величины. Разумеется, физическая теория представляет собой органическое целое, ее математическая и измерительная части никоим образом не независимы друг от друга, но они не заменяют одна другую. Располагая одной, нельзя обойтись без другой. Поэтому для всех физических (и вообще практических) приложений математической теории вероятностей необходимо дополнить последнюю по крайней мере одним (реализуемым и конкретным) способом измерения входящей в нее величины Р — вероятности. Естественно обратиться в поисках такого способа, или «аксиомы измерения», к относительной частоте. Примем, что вероятность события измеряется (приближенно, как и при любом измерении) относительной частотой его появления в достаточно длинной серии испытаний, осуществляемых при определенных неизменных условиях, в достаточно обширном ансамбле «однородных» систем, т. е. в статистическом опыте. Будучи самостоятельным постулатом, не содержащимся в аксиомах математической теории вероятностей, этот способ не предуказан как единственный и не дает априорных гарантий успеха. Конечно, от него надо заранее требовать, чтобы он был логически совместим с математической теорией. Как мы убедимся далее (§ 19), частотная «аксиома измерения» вероятности этому требованию удовлетворяет. Но приведет ли получающаяся в результате добавления этой аксиомы физическая теория случайных явлений к согласию с опытом — это уже дальнейший вопрос, на который может ответить только статистический опыт. Важно, однако, подчеркнуть, что без какого-либо способа измерения вероятностей нельзя не только ответить на подобный вопрос, но даже его поставить. Принимая предложенный способ измерения вероятности, мы отнюдь не отождествляем ее с относительной частотой, как это делает частотная концепция вероятности, выдвинутая Р. Мизесом в 1928 г. [24]. Он предложил понимать под вероятностью предел относительной частоты Еще и поныне в зарубежной литературе пользуется иной раз успехом так называемая субъективная концепция вероятности, согласно которой вероятность есть мера нашего незнания. Мы не знаем, какая выпадет грань кости, и поэтому Что касается математической теории, то она попросту не нуждается в том, чтобы распределение возможных исходов было равномерным. Несколько огрубляя положение вещей, можно сказать, что математическая теория вероятностей, вытекающая логически из определенных аксиом, учит тому, как по известным распределениям одних случайных событий или величин находить распределения различным образом связанных с ними других случайных событий или величин. Например, по аксиоме сложения вероятность выпадения четного числа очков есть
независимо от того, одинаковы ли и, вообще, чему равны вероятности Откуда известны исходные распределения — это вопрос, лежащий за пределами математики. Алгебра, например, учит, как для квадратного уравнения вычислить корни
|
1 |
Оглавление
|