Глава I. ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ

§ 1. Физическое понятие вероятности

Как показывает опыт преподавания, изучение теории вероятностей в чисто математическом плане не всегда приводит к достаточной ясности в принципиальных вопросах, существенных для физика. Целесообразно поэтому хотя бы коротко остановиться на том, что такое вероятность и как пользуется этим понятием физик.

Хорошо известно, что вычислять вероятности научились задолго до того, как по-настоящему поняли, что такое вероятность. Теория возникла из попыток рассчитать шансы на выигрыш, «справедливые» ставки и т. п. в так называемых азартных играх, примерами которых могут служить игра в кости, в орлянку, такие карточные игры, как «очко», т. е. игры, в которых все зависит от «воли случая» и ничего не зависит от способностей игрока, его сообразительности или уменья. В этом смысле подобные игры можно назвать глупыми. Между тем, как любят говорить математики, умная игра в шахматы практически ничего не дала науке, тогда как глупая игра в кости дала очень много. В чем причина этого интересного факта?

Дело в том, что шахматы подчинены своим специальным правилам и все ситуации, которые здесь возникают, не выходят за рамки этих правил, т. е. не могут претендовать на какую-либо всеобщность. Напротив, игра в кости элементарно проста и позволяет проявиться в чистом виде чрезвычайно общей статистической закономерности — устойчивости относительных частот при возрастании числа испытаний. Если при бросаниях кости число очков i выпало раз, то относительная частота обнаруживает с увеличением удивительное постоянство. Этот

эмпирический факт не зависит от того, «хорошая» кость или «плохая». У заведомо фальшивой кости, содержащей, например, кусочек свинца со стороны одной из граней, устойчивость величин все равно имеет место, хотя для разных граней относительные частоты оказываются неодинаковыми, не равными 1/6.

Итак, устойчивость не требует, чтобы кость была «хорошей», а конкретные «асимптотические» значения не вытекают из самого факта устойчивости. Их дает только статистический опыт, либо специально поставленный, либо накопленный ранее. Говоря, что у «хорошей» (пригодной для игры) кости близки к 1/6, мы, в сущности, определяем, какую кость мы будем называть «хорошей».

Иногда полагают, что значения да 1/6 следуют из принадлежащего Лапласу классического определения вероятности:

Это определение недостаточно широко, так как оно не охватывает случаев, когда возможные исходы составляют бесконечное счетное или непрерывное множество. Но даже не требуя от определения больше того, на что оно распространяется, легко заметить тавтологичность данного определения. Ведь равно - возможность означает здесь не что иное, как равновероятность, и, следовательно, вероятность Р «определена» через вероятность же. Просто здесь дается правило подсчета вероятностей интересующих нас исходов по принятому заранее равномерному распределению вероятностей всех возможных исходов. Полагая, что из определения Лапласа следует вероятность выпадения каждой из граней костл, мы на самом деле лишь извлекаем из него то, что в негр вкладываем, — равновозможность выпадения каждой из граней. Совершенно так же мы предполагаем, что равновозможно появление любой из 36 или 52 карт при извлечении одной карты из колоды и т. п.

На что опираются все такие «самоочевидные» предположения?

В качестве их опоры иногда привлекается так называемый «принцип недостаточного основания»: если кость сделана геометрически аккуратно, из однородного материала и т. п., то нет оснований считать иначе.

Психологически это, может быть, и понятно. Для человека, ровно ничего не знающего ни о каком статистическом опыте, равновероятность выпадения граней аккуратной кости или обеих сторон монеты представляется очевидной по «здравому смыслу». Конечное число возможных исходов и наличие симметрии делают здесь равновероятность естественной до самоочевидности. Но в отсутствие симметрии или, скажем, при непрерывных

возможных исходах «здравый смысл» пасует или подводит. В случае фальшивой кости только статистический опыт с данной костью позволяет получить оценку вероятностей выпадения различных граней. Трудности возникающие при выборе равновозможных исходов при непрерывном их множестве, были очень ярко продемонстрированы на ряде геометрических задач в «Исчислении вероятностей» Бертрана (1888 г.). Эти так называемые парадоксы Бертрана с «геометрическими» вероятностями — еще один пример недостаточности «здравого смысла» или интуиции в этой более сложной ситуации [21]. Более того, когда мы говорим, что в простых случаях интуитивное предсказание правильно, то сама эта «правильность» означает лишь то, что проверка на статистическом опыте подтвердила бы предсказание. Таким образом, даже «самоочевидные» предположения о равновероятности в конечном счете опираются на огромное количество испытаний, фактически проведенных с соблюдением определенных условий, т. е. на накопленный статистический опыт.

Конечно, здесь нет возможности углубляться в историю развития теории вероятностей. На протяжении этой долгой истории возникали и сталкивались разные воззрения на понятие вероятности. Созревание теории вероятностей как аксиоматизированной ветви математики затянулось почти на три столетия.

Математическая теория, возникнув на основе каких-то (обычно довольно простых) идей, почерпнутых из реальных явлений и фактов, большей частью стремится в дальнейшем к эмансипации, к отрыву от своих эмпирических корней, к достижению уровня аксиоматизированной теории. У теории вероятностей этот процесс завершился лишь в 30-х годах нашего века, когда А. Н. Колмогоров сформулировал аксиомы, сделавшие теорию вероятностей главой метрической теории функций.

Сегодня математик называет вероятностью неотрицательную, нормированную к единице, вполне аддитивную функцию множеств, определенную на некоторой алгебре множеств. Событие А изображается множеством А точек пространства всевозможных «элементарных исходов» рассматриваемого опыта (испытания), и вероятность события А — функция множества такая, что если она имеет смысл для множеств то она может быть определена и для множества, состоящего из всех точек, входящих хотя бы в одно из множеств а также и для множества точек, входящих сразу во все множества

(см. [8, 22]). Эта функция подчинена следующим трем аксиомам:

I. Вероятность события А удовлетворяет неравенству

II. Для достоверного события U имеет место равенство

III. Для взаимно исключающих друг друга событий , где может быть сколь угодно велико)

Знак суммы имеет различный смысл слева и справа. Слева он означает, что речь идет о вероятности того, что произойдет хоть какое-то из событий так что это событие или или , а справа стоит обычная сумма неотрицательных чисел

«Достоверное событие», о котором идет речь в аксиоме II, отвечает множеству U, состоящему из всех мыслимых «элементарных исходов», так что все другие события Л представляют собой подмножества

Аксиома III (аксиома сложения) охватывает и случай в силу чего Р и называется вполне аддитивной функцией.

Из аксиом I—III, дополненных определениями ряда связанных с вероятностью понятий (например, понятия случайной величины или понятия математического ожидания), логически вытекает вся теория вероятностей.

Конечно, в аксиомах, определяющих величину Р, нетрудно разглядеть связь этой абстрактной величины с эмпирической относительной частотой, но это генетическая связь, касающаяся происхождения аксиом, а не их содержания, из которого все эмпирическое уже исключено. Поэтому, выслушав это абстрактное определение вероятности, физик, инженер, экономист и т. д., т. е. человек, имеющий дело с реальными вещами и явлениями, сразу же спросит, что ему делать с этой вполне аддитивной функцией множеств, как связывать уравнения и формулы математической теории с реальным миром. Ситуация здесь та же, что и во всякой физической теории.

Уравнения и формулы для неких величин, взятые сами по себе, еще не исчерпывают физической теории. Последняя требует, чтобы мы знали, как извлекать из реальных вещей и явлений те числа, которые следует подставлять в математические формулы в качестве значений входящих в них величин, т. е.

знали, как измерять эти величины. Разумеется, физическая теория представляет собой органическое целое, ее математическая и измерительная части никоим образом не независимы друг от друга, но они не заменяют одна другую. Располагая одной, нельзя обойтись без другой. Поэтому для всех физических (и вообще практических) приложений математической теории вероятностей необходимо дополнить последнюю по крайней мере одним (реализуемым и конкретным) способом измерения входящей в нее величины Р — вероятности. Естественно обратиться в поисках такого способа, или «аксиомы измерения», к относительной частоте.

Примем, что вероятность события измеряется (приближенно, как и при любом измерении) относительной частотой его появления в достаточно длинной серии испытаний, осуществляемых при определенных неизменных условиях, в достаточно обширном ансамбле «однородных» систем, т. е. в статистическом опыте. Будучи самостоятельным постулатом, не содержащимся в аксиомах математической теории вероятностей, этот способ не предуказан как единственный и не дает априорных гарантий успеха. Конечно, от него надо заранее требовать, чтобы он был логически совместим с математической теорией. Как мы убедимся далее (§ 19), частотная «аксиома измерения» вероятности этому требованию удовлетворяет. Но приведет ли получающаяся в результате добавления этой аксиомы физическая теория случайных явлений к согласию с опытом — это уже дальнейший вопрос, на который может ответить только статистический опыт. Важно, однако, подчеркнуть, что без какого-либо способа измерения вероятностей нельзя не только ответить на подобный вопрос, но даже его поставить.

Принимая предложенный способ измерения вероятности, мы отнюдь не отождествляем ее с относительной частотой, как это делает частотная концепция вероятности, выдвинутая Р. Мизесом в 1928 г. [24]. Он предложил понимать под вероятностью предел относительной частоты при в «статистическом коллективе», т. е. в ансамбле или в серии испытаний, удовлетворяющих некоторым требованиям. Однако такое определение понятия вероятности не могло дать удовлетворительное обоснование для математической теории. Ведь никто не знает, что такое предел эмпирической величины. Если же понимать «предел» в каком-либо вероятностном смысле (§ 19), то мы вновь оказываемся в порочном, кругу, так как пытаемся определить понятие вероятности через вероятность.

Еще и поныне в зарубежной литературе пользуется иной раз успехом так называемая субъективная концепция вероятности, согласно которой вероятность есть мера нашего незнания. Мы не знаем, какая выпадет грань кости, и поэтому Если принимать эту точку зрения всерьез, то происходит чудо: из самого незнания якобы рождается некое знание, некое положительное утверждение. В сущности, здесь утверждается, что если распределение неизвестно, то оно равномерно. Конечно, мы вправе испытать и такую гипотезу, с тем чтобы судить о ее пригодности по тем следствиям, к которым она приводит. Но почему именно эту гипотезу надо считать с необходимостью вытекающей из нашего незнания? В случае фальшивой кости мы тоже не знаем, какая выпадет грань, но наше незнание нисколько не подвигает нас в установлении правильных значений вероятностей для граней такой кости.

Что касается математической теории, то она попросту не нуждается в том, чтобы распределение возможных исходов было равномерным. Несколько огрубляя положение вещей, можно сказать, что математическая теория вероятностей, вытекающая логически из определенных аксиом, учит тому, как по известным распределениям одних случайных событий или величин находить распределения различным образом связанных с ними других случайных событий или величин. Например, по аксиоме сложения вероятность выпадения четного числа очков есть

независимо от того, одинаковы ли и, вообще, чему равны вероятности выпадения грани с числом очков 2, 4 и 6.

Откуда известны исходные распределения — это вопрос, лежащий за пределами математики. Алгебра, например, учит, как для квадратного уравнения вычислить корни , т. е. как выразить через известные коэффициенты уравнения а, b и с. Откуда мы знаем коэффициенты — этим алгебра не интересуется. В сущности, именно внематематический вопрос об источнике исходных распределений и был корнем различных воззрений на вероятность и теорию вероятностей до ее аксиоматизации, т. е. до того, как она раз и навсегда была освобождена от обязанности отвечать на этот вопрос. Ответ на него дает измерение, т. е. статистический опыт.