§ 25. Некоторые обобщения распределения Релея

В этом параграфе, хотя он и прерывает изложение теории марковских процессов, мы остановимся на некоторых обобщениях релеевского распределения, к которому нас привела простейшая постановка задачи о случайных блужданиях на плоскости. Отвлекаясь от этой задачи, в которой вектор есть сумма многих случайных шагов можно резюмировать полученный результат следующим образом. Если компоненты вектора независимы и распределены нормально с то, согласно (24.10), модуль и аргумент этого вектора независимы, распределено по Релею, а — равномерно в интервале . Отказ от любого из указанных ограничений распределения ведет к распределениям , обобщающим релеевское. Рассмотрим сначала случай, когда при сохранении всех остальных предположений допускается, что среднее значение отлично от нуля.

Мы будем говорить о как о комплексной амплитуде колебания на векторной диаграмме ( — амплитуда, — фаза колебания).

Рис. 14.

1. Рассмотрим распределение суммы детерминированного сигнала и нормального шума. Пусть сигнал изображается вектором А с постоянными амплитудой А и фазой (гармонический сигнал), а нормальный шум — вектором с распределением (24.10). Нас интересует распределение вектора , т. е. совместное распределение его амплитуды R и фазы (рис. 14). Так как

имеем

Поэтому преобразование (24.10) к переменным дает

что и является искомым распределением. Здесь нет ни независимости R и ни равномерного распределения

Интегрируя (25.1) по от 0 до и пользуясь известным выражением для нулевой бесселевой функции мнимого аргумента

получаем распределение амплитуды

которое часто называют распределением Райса [8] или обобщенным релеевским. При переходит в и, соответственно, - в релеевское распределение. Средний квадрат R равен а моменты любого (не обязательно целого) порядка v выражаются формулой

где — вырожденная гипергеометрическая функция. При больших значениях аргумента бесселевой функции, пользуясь асимптотической формулой при получаем из

Интегрируя (25.1) по R от 0 до находим распределение фазы

где — так называемый интеграл ошибок:

. При распределение (25.4) становится равномерным.

2. Теперь, сохраняя нормальный закон для х и у и предположение, что рассмотрим случай коррелированных неодинаковыми дисперсиями:

т. е. нормальное распределение (7.13). Полагая в нем по-прежнему получаем

Интегрирование по от 0 до если воспользоваться формулой

приводит к распределению

где

Если отсутствует корреляция х то

Если корреляция есть, но то

Разумеется, обе формулы переходят в релеевское распределение, если в (25.7) положить

При коэффициенте корреляции К, настолько близком к единице, что и при условии, что аргумент бесселевой функции велик так что можно воспользоваться ее асимптотическим выражением, распределение (25.6) переходит в одностороннее гауссово :

3. Отказ от нормального распределения компонент х и у, естественно, уменьшает возможности получения каких-либо конкретных результатов. Рассмотрим случай, когда х и у

независимы, но распределены по одному и тому же закону, так что их совместное распределение имеет вид Переходя к полярным координатам, получаем

откуда

Конечно, в случае гауссовой плотности до формула (25.9) возвращает нас к релеевской плотности .

Введем характеристическую функцию компонент х и у:

Плотность можно записать тогда в виде

Если ввести полярные координаты также на плоскости , положив то последнее выражение преобразуется в следующее:

    (25.10)

где

Таким образом, представляет собой умноженную на трансформанту Бесселя от функции

4. Вернемся теперь к случайным блужданиям на плоскости, когда вектор рассматривается как сумма случайных векторов (элементарных скачков или шагов) и статистика не задается непосредственно, а определяется статистикой Возьмем случай изотропных случайных блужданий со случайной длиной шага. Пусть все элементарные векторы а независимы в совокупности и распределены одинаково, причем полярные углы

(фазы) каждого из них независимы от его амплитуды и распределены равномерно в интервале (все направления элементарных шагов равновероятны, что и обеспечивает изотропность блужданий). Таким образом, для любого

Соответствующая характеристическая функция есть

    (25.12)

где . В силу статистической независимости всех двумерная характеристическая функция суммарного вектора равна

    (25.13)

а совместная плотность вероятности декартовых компонент х и у вектора запишется в виде

Переходя к полярным координатам как на плоскости так и на плоскости , получаем

    (25.14)

Эта совместная плотность не содержит , т. е. направление результирующего вектора независимо от его амплитуды

и распределено равномерно в . В соответствии с центральной предельной теоремой при распределение стремится к нормальному закону для независимых х , а тем самым распределение амплитуды к релеевскому [9].

Если вернуться к рассмотренному в § 24 случаю фиксированной длины шага, т. е. к плотности вероятности то по . Из (25.14) следует при этом, что

Учитывая, что

можно записать вероятность того, что не превосходит R, в виде

Отсюда при находим

5. Рассмотрим -распределение Накагами [10]. Выше мы рассматривали модуль вектора , задавая распределение его декартовых компонент или же полагали, что есть сумма векторов и специальным образом задавали распределение Возьмем теперь существенно более общий случай, когда — произвольная неотрицательная детерминированная функция -мерной случайной величины

Без каких-либо предположений о виде -мерного распределения величины а (т. е. совместного распределения декартовых компонент всех или распределения всех модулей и фаз ) имеем (см, задачу 9 гл. II)

    (25.15)

где угловые скобки означают усреднение по распределению а. При дельта-функция может быть представлена в виде разложения Ганкеля:

Подставив это в (25.15), получаем

    (25-16)

где

    (25-17)

Заметим, что формула (25.10) отвечает частному случаю когда

Из известного степенного разложения

и из (25.17) следует, что содержит только четные степени Я и только четные моменты Ф:

При использовании формул (25.16) и (25.18) Накагами считает v вещественным, так что условие, наложенное на , сводится к требованию . Но и при этом ограничении формулы (25.16) и (25.18) охватывают, очевидно, чрезвычайно обширный набор самых разнообразных распределений , так как возможен выбор не только значений v, но и распределения многомерной случайной величины а — аргумента функции . Автор поступает, однако, иначе: он просто конструирует функцию не задаваясь вопросом о том, какому распределению а она при этом соответствует. Во-первых, налагается условие, чтобы зависела только от двух параметров, связанных с моментами , а именно от

    (25.19)

Во-вторых, известное неравенство Ляпунова

заменяется равенством, с помощью которого высшие четные моменты Ф выражаются через (например, и т. д.), т. е. через . Тогда (25.18) можно привести к ряду, который в случае суммируется и дает функцию

    (25.20)

где — полиномы Лагерра. Если же , то значение v выбирается равным Тогда (25.18) приводится к ряду, который приближенно, но с хорошей точностьюописывается функцией

    (25.21)

Хотя здесь и предполагалось, что но, как легко видеть, обе формулы (25.20) и (25.21) при совпадают, поскольку

Подстановка (25.20) (при v = 0) и (25.21) (при ) в (25.16) дает в результате вычисления интегралов одно и то же выражение для ), а именно:

    (25.22)

что автор и назвал плотностью -распределения. Отметим, что в случае из условия следует, что . Так как по , где то это означает, что

В цитируемой работе [10] рассмотрено много применений и обобщений -распределения, но мы ограничимся лишь двумя замечаниями. Из (25.22) видно, что -распределение переходит при в одностороннее гауссово, а при в релеевское распределение. Далее, если перейти в (25.22) к переменной и переобозначить через а, то для х получается гамма-распределение

Вернемся теперь к марковским процессам.