§ 44. Модулированные случайные процессы

Мы рассмотрим теперь более подробно специальный вид случайных процессов — так называемые модулированные случайные процессы, которые в случае их стационарности (и, следовательно, существования спектральной интенсивности) можно называть также узкополосными или квазитонохроматическими. Нам уже приходилось сталкиваться с такого рода процессом ранее, когда мы рассматривали спектр автоколебаний в томсоновском генераторе (§ 42).

Сделаем несколько предварительных замечаний, которые в равной мере относятся как к детерминированным, так и к случайным модулированным процессам.

О модулированных колебаниях часто говорят как о «гармонических» колебаниях с медленно меняющейся амплитудой и (или) частотой. Такое, строго говоря, внутренне противоречивое словоупотребление (у гармонического колебания, по определению, амплитуда и частота — постоянные параметры на всей оси t) обладает, однако, определенным смыслом, если достаточно мало частотное разрешение (селективность) используемой спектральной аппаратуры. Отклик на выходе такой аппаратуры успевает хорошо следовать за изменениями частоты и амплитуды

на входе, т. е. квазистационарно воспроизводить модуляцию. В каждый момент времени отклик приблизительно такой же, какой вызвало бы гармоническое колебание со значениями частоты и амплитуды, взятыми в этот момент. В этом случае модулированные колебания целесообразно записывать в квазигармоническом виде:

где - функции времени, медленные по сравнению с колебанием частоты Другими словами, изменения за период высокой частоты малы. Это не значит, что такое же представление оправдано и для более селективной спектральной аппаратуры, способной выделить компоненты спектра колебания (44.1). Поясним это на простом примере гармонической амплитудной модуляции, когда где и для простоты Таким образом,

В радиотехнической литературе неоднократно возникала полемика о «реальности» боковых частот (в общем случае— боковых полос или, вообще, компонент разложения Фурье). Спрашивали, что же имеет место «на самом деле» — колебание одной частоты с медленно меняющейся амплитудой или три колебания с частотами Поводом для первой дискуссии такого рода послужил важный практический вопрос о том, надо ли предоставлять каждой радиостанции частотную полосу конечной ширины или же можно ограничиваться сколь угодной узкой окрестностью несущей частоты и «заселять эфир» гораздо плотнее. Исчерпывающее разъяснение подобных недоразумений было дано Л. И. Мандельштамом уже в начале 30-х годов (см. [15], стр. 35; [16], стр. 62 и 436), хотя это и не предотвратило возобновления полемики в значительно более поздней зарубежной литературе (см. [17]).

Л. И. Мандельштам указал на то, что сама постановка вопроса о «реальности» левой или правой части (44.2) лишена смысла, поскольку это математическое тождество. С таким же успехом можно дискутировать, что «реально»: (а или Вопрос приобретает смысл только в связи со спектральными свойствами (селективностью) аппаратуры, регистрирующей колебание (44.2), причем речь может идти о «реальности» лишь в смысле целесообразности того или другого из двух математически равнозначных представлений Если колебание воздействует, скажем, на колебательный контур с

резонансной кривой полуширины h, то при (низкая селективность) отклик контура хорошо воспроизведет модуляцию, а при (высокая селективность) контур может выделить три гармонических колебания с частотами . В первом случае целесообразно («реально») квазигармоническое представление, во втором — разложение на три гармонических колебания. Все зависит, таким образом, от соотношения между характеристиками самого колебания и прибора (h). Если отвлечься от прибора, то вопрос повисает в воздухе.

Представление (44.1), при котором одна функция записана через две функции разумеется, неоднозначно. Для однозначности необходимо как-то отдельно определить либо либо Один из возможных способов такого определения, который даже не связан с условием медленности и, вместе с тем, не привносит никакой информации сверх той, какая содержится в 10), опирается на свойства аналитического сигнала (§ 38).

Перейдем от вещественного колебания к комплексному:

и потребуем, чтобы было аналитическим сигналом, т. е. чтобы мнимая часть (44.3), равная

была трансформантой Гильберта от вещественной части [см. (38.5)]. Располагая функциями мы получаем однозначное определение

В общем случае формально полученные посредством описанной процедуры, не будут медленными функциями, и, называя их мгновенной амплитудой и фазой, мы не извлечем из этого никаких физически оправданных следствий. Если же медленны, то приобретает смысл наглядное представление об огибающей, в которую вписаны «гармонические» колебания с плавно меняющейся высокой частотой Определения (44.5) практически совпадают в этом случае с другими возможными определениями огибающей и мгновенной частоты, почерпнутыми из свойств гармонического колебания . Так, например, для этого колебания

Пренебрегая в первом приближении производными мы получаем при дифференцировании (44.1)

т. е. преобразование Гильберта приближенно сводится к дифференцированию исходной функции по (см. [18]).

Колебания (44.1) и (44.4) можно рассматривать как проекции вектора длины , вращающегося с угловой скоростью на взаимно ортогональные оси Вводя комплексную амплитуду

называемую также модулирующей функцией, можно записать аналитический сигнал (44.3) в виде

Часто бывает удобно пользоваться декартовыми компонентами вектора на плоскости Ван-дер-Поля, т. е. на плоскости, вращающейся вокруг начала координат с угловой скоростью относительно плоскости

Амплитуды - это проекции вектора длины поворачивающегося с мгновенной угловой скоростью относительно осей а, b на плоскости Ван-дер-Поля. Очевидно, в случае модулированного колебания, т. е. при медленно меняющихся функции тоже являются медленными. Как следует из (44.6),

Обратимся теперь к случайным модулированным колебаниям, когда все рассматриваемые функции, как быстро меняющиеся , так и медленные являются случайными. Пусть — стационарный случайный процесс. Тогда, как мы знаем, тоже стационарны, причем . Для корреляционных функций имеем (§ 38)

где индексом по-прежнему отмечены величины, взятые в момент . В частности, при

    (44.10)

При помощи (44.8) и (44.9) нетрудно вывести выражения для корреляционных функций через :

В частности,

    (44.12)

Функция корреляции комплексной амплитуды согласно (44.11), равна

    (44.13)

Разрешая (44.11) относительно , получаем

Таким образом, корреляционные функции исходных высокочастотных колебаний сами имеют — как функции временного сдвига — характер модулированных колебаний.

Обратимся теперь к спектральным разложениям рассматриваемых функций корреляции. Из (44.6) следует, что

    (44.16)

а для мы имеем спектральное разложение (41.21) (так как смешанный момент совпадает с

    (44.16)

где — спектральная плотность колебаний Если — модулированное (квазимонохроматическое) колебание, то на полуоси плотность заметно отлична от нуля только в окрестности узкой по сравнению с Подставив разложение (44.16) в (44.15), получаем

Вводя разностную частоту и функцию отличную от нуля только в узкой полосе около можно записать предыдущую формулу в виде

    (44.17)

что дает совместно с (44.13)

Отметим, что в случае симметричного относительно распределения плотности т. е. при четной функции согласно и модуляции и оказываются чисто амплитудными:

Для , как для всякой функции корреляции, имеет место неравенство Нетрудно, однако, установить, что справедливо более сильное неравенство [19]. Действительно, из (44.14) следует, что

Но а значит, «огибающая» нигде не превосходит и поэтому

— неравенство более жесткое, чем

Основной круг вопросов, относящихся к случайному колебанию (44.6), касается связи вероятностных характеристик (функций распределения, моментов) исходного колебания ной стороны, и ван-дер-полевских переменных а, b, А и — с другой. Если -нормальный процесс, то все такого рода вопросы могут быть решены до конца, причем не только при стационарном процессе но и для более общего случая. Рассмотрим сначала более простой случай нормального и стационарного процесса

Из (38.5) следует, что при гауссовом сопряженный процесс тоже гауссов. Следовательно, зная функции корреляции и мы можем составить корреляционную матрицу В для любой совокупности величин а при помощи В и обратной матиры написать -мерное распределение этих величин. Дальнейшее сводится к тривиальным преобразованиям переменных — переходу к или к Сделаем это для двумерного распределения, т. е. совместного распределения

Согласно (44.10) матрица В имеет вид

так что

    (44.19)

(некоррелированность влечет здесь за собой их независимость). Учитывая теперь, что

получаем из (44.19) совместное распределение амплитуд а и b:

и совместное распределение огибающей А и фазы :

    (44.21)

Таким образом, а и b независимы и распределены нормально, а А и независимы, причем огибающая А распределена по релеевскому закону, а фаза — равномерно в интервале .

Аналогичным образом для можно при помощи корреляционной матрицы В:

и обратной матрицы записать четырехмерное распределение. Если воспользоваться коэффициентами корреляции , то получим

    (44.22)

Замена переменных дает

    (44.23)

где введено обозначение

Интегрирование (44.23) по «лишним» переменным позволяет получать различные частные случаи. Так, интегрируя по (от 0 до ) (от 0 до ), мы получим, конечно, распределение (44.21) для Интегрируя по получим распределение для

Интеграл по (или, что то же, по ) дает нулевую бесселеву функцию мнимого аргумента, а интеграл по добавляет множитель Окончательно получается распределение Райса (§ 25):

В соответствии с теоремой Дуба (см. задачу 5 гл. IV) в том случае, когда корреляция экспоненциальна огибающая представляет собой марковский нормальный . В этом можно убедиться, вычислив при помощи (44.24) и одномерного (релеевского) распределения [см. (44.21)] условную вероятность:

Она оказывается при вероятностью перехода, т. е. удовлетворяет уравнению Смолуховского:

Это вполне естественный результат, так как экспоненциальная корреляция означает, что удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению первого порядка с дельта-коррелированной случайной силой, т. е. ведет себя так же, как, например, скорость частицы при одномерном брауновской движении (§ 35). Можно сказать также, что представляет собой огибающую процесса, отфильтрованного из белого шума селективным колебательным контуром.

Интегрирование (44.23) по А и приводит к совместному распределению . При помощи двумерных распределений можно вычислить смешанные моменты А и например и (они зависят от , а также получить распределения производных

Мы не будем приводить эти расчеты, отсылая читателя к имеющейся литературе (см. [20], гл. 8).

Перейдем к более общему случаю гауссова процесса причем стационарные амплитуды a и b не удовлетворяют условиям (44.12), при которых процесс стационарен. Пусть но Нетрудно понять, что моменты процесса в этом случае периодически меняются со временем Например,

т. е. - периодическая функция t с периодом Каково в этом случае распределение А и

Заметим, что подбором постоянной начальной фазы всегда можно ввести такие а и b, для которых Действительно, из (44.8) имеем

Заменив здесь аргумент на получаем

    (44.25)

где

Следовательно,

и, выбрав таким, что получаем . Будем рассматривать поэтому процесс (44.25), у которого

    (44.26)

По условию процесс гауссов, так что

Переход к полярным координатам дает

    (44.27)

т. е. нет ни независимости между А и ни равномерности распределения

Интегрирование (44.27) от 0 до по А дает распределение

которое при превращается в равномерное. При интегрировании (44.27) от 0 до по удобно ввести переменную

Введем параметры и и а, положив

    (44.28)

При этом, согласно (44.25) и (44.26),

а распределения и А принимают вид

Нетрудно убедиться, что при всяком а (44.30) дает как это и должно быть в силу (44.28), поскольку

Если

то и (44.30) переходит в распределение Релея. Чем меньше а, тем для больших значений А это справедливо, а при релеевское распределение верно для любых А.

Рис. 38.

В противоположном предельном случае, когда

можно воспользоваться асимптотическим выражением ,

что

т. е. гауссов закон. Этот закон справедлив при тем меньших А, чем ближе а к единице. При а гауссово распределение верно для всей полуоси

На рис. 38 приведены кривые а на рис. 39 — кривые [в интервале от 0 до , так как ], взятые из цитированной выше работы [21]. В этой работе вычислены также моменты и показано, что четные моменты

являются элементарными функциями а нечетные — выражаются через полные эллиптические интегралы. Кроме того, вычислен смешанный момент получено (для специального вида корреляционной матрицы четырехмерное распределение и найдено распределение огибающей и фазы процесса (44.25) при наличии регулярной составляющей, т. е. при отличных от нуля. Рассмотрим теперь вопрос о связи распределений случае, когда модулированный процесс стационарен, но не гауссов.

Найдем характеристическую функцию процесса

Рис. 39.

Записав через условное распределение

и воспользовавшись известным разложением в ряд Фурье:

получаем

Но в силу стационарности характеристическая функция не должна зависеть от t, что возможно, очевидно, лишь при

т. е. при независимости от А и равномерном распределении

Характеристическая функция принимает тогда вид

    (44.32)

т. е. представляет собой преобразование Ганкеля от функции . Обращение этого преобразования дает

    (44.33)

Таким образом, распределение есть преобразование Фурье характеристической функции

    (44.34)

а распределение огибающей А — преобразование Ганкеля от этой же функции. Этот изящный результат был получен Блан-Лапиерром [22], но здесь приведен более последовательный его вывод, данный позднее Ф. В. Бункиным и Л. И. Гудзенко [23].

Пользуясь формулами (44.32) и (44.34), можно, однако, пойти дальше и получить прямую связь между Для этого достаточно подставить (44.32) в (44.34) и воспользоваться значениями разрывного интеграла

Таким образом,

    (44.35)

Если ввести переменную интегрирования х, положив то (44.35) запишется в еще более лаконичной форме, которая к тому же более удобна в некоторых конкретных случаях:

    (44.36)

Нетрудно убедиться, что при релеевском распределении формула (44.36) (здесь она удобней) дает гауссов закон для При равномерном распределении А в интервале из (44.35) получаем

а при экспоненциальном распределении по формуле (44.36) находим

где К — нулевая функция Макдональда, обладающая логарифмической особенностью в нуле и убывающая на бесконечности, как