§ 31. Скачкообразные марковские процессы. Уравнение Колмогорова — Феллера

Уравнение Эйнштейна — Фоккера выведено для марковских процессов , непрерывных не только в смысле непрерывности возможных значений случайной функции , но и в смысле вероятностной непрерывности изменения времени («почти все» реализации непрерывны по t в обычном смысле). При отказе от этого последнего ограничения, т. е. от условия (26.3), мы получаем возможность рассматривать марковские процессы, у которых изменения состояния происходят мгновенными скачками. Общим будет при этом смешанный случай, когда состояние может меняться и непрерывно, и скачками, но сначала мы остановимся на чисто скачкообразных переходах. Пример такого процесса уже был упомянут ранее, когда речь шла о невыполнении условия (26.3) при соударениях молекул газа: скорость молекулы меняется при соударении скачком, но множество возможных значений скорости после удара непрерывно. Кроме соударений микрочастиц (молекул, атомов, электронов и т. д.)

в эту схему укладываются и квантовые переходы, и некоторые импульсные процессы.

Рассмотрим первоначально следующий простой пример одномерного пуассоновского скачкообразного процесса Пусть случайные моменты времени образуют пуассоновский поток событий, так что вероятность наступления событий в интервале (0, t) дается законом Пуассона

где — среднее число событий в — среднее их число в единицу времени.

В момент процесс скачком попадает в интервал с вероятностью зависящей от предшествующего значения принятого в момент . Таким образом, если задано начальное значение , то вероятность цепочки значений принятых в последовательные моменты скачков равна

Найдем для плотность условной вероятности которую можно записать и в виде поскольку заранее очевидно, что в силу независимости от времени процесс однороден по t. Предположим сначала, что в интервале произошло фиксированное число скачков, и найдем плотность условной вероятности при этом дополнительном условии. Ясно, что

где

Так как переход осуществляется при любых промежуточных значениях имеем

где Заметим, что, согласно (31.2),

В частном случае т. е. при отсутствии скачков в (0, t), значение х должно быть равно так что и соответственно

Суммируя теперь по всем взаимно исключающим частным случаям , мы получаем плотность условной вероятности уже не связанную с фиксированным п:

или, после подстановки из (31.1),

В случае очень короткого интервала времени, заменяя t на и ограничиваясь членами не выше первого порядка относительно , т. е. пренебрегая многократными скачками , мы получаем отсюда для малых промежутков времени

Легко убедиться, что плотность условной вероятности (31.5) удовлетворяет уравнению Смолуховского (см. задачу 17), т. е. является плотностью вероятности перехода, определяющей марковский процесс . Кроме того, нетрудно получить для интегро-дифференциальное уравнение, решение которого при начальном условии

дается выражением (31.5). Действительно, дифференцируя (31.5) по t, получаем

откуда в силу (31.3) и (31.4) следует, что

Уравнение (31.8) представляет собой очень частный случай уравнения Колмогорова — Феллера интегро-дифференциального

уравнения, которому удовлетворяет вероятность перехода марковского случайного процесса с чисто разрывными изменениями состояния (скачками). Это общее уравнение по-прежнему выводится из фундаментального уравнения Смолуховского, но при обобщенном по сравнению с (31.6) выражении для вероятности перехода за малое время . А именно, предполагается, что на интервале процесс либо переходит (если скачок произошел) от значения в момент t в интервал с условной вероятностью либо сохраняет значение скачка не было), т. е. в этом последнем случае вероятность попадания в есть . В свою очередь пусть скачок в течение малого времени наступает с вероятностью Следовательно, с точностью до первого порядка относительно

В отличие от (31.6), временная плотность вероятности скачка равна здесь не постоянной величине , а зависит и от начального момента t, и от значения х в этот момент. Плотность условной вероятности значений z, принимаемых в результате скачка, тоже зависит не только от предшествующего значения х, но и от времени t, так что процесс уже нестационарен.

В предположении (31.9) и при некоторых дополнительных требованиях (непрерывности а и как функций t и ограниченности а на любом конечном интервале t) из уравнения Смолуховского вытекает следующее интегро-дифференциальное уравнение для плотности вероятности перехода [17]:

    (31.10)

Это уравнение для v как функции t их представляет собой аналог уравнения Эйнштейна — Фоккера (26.4) для марковских процессов с непрерывно меняющимся состоянием. В тех же предположениях и таким же путем получается и другое уравнение, аналогичное (26.7), т. е. уравнение для как функции

    (31.11)

При начальном условии

    (31.12)

оба уравнения имеют единственное решение, причем одно и то же для обоих.

В каком соотношении находится рассматриваемая схема скачкообразного изменения состояний при непрерывном их множестве с исследованным в § 23 случаем дискретных возможных состояний, когда из-за самой этой дискретности состояние может меняться только скачками, так сказать «поневоле»?

При дискретных состояниях плотности условных вероятностей можно записать через дельтафункции

где — интегральные условные вероятности состояния ( — вероятность перехода, не зависящая от того, произошел скачок или нет, — вероятность при условии, что скачок имел место). Подстановка этих выражений в (31.9) дает

Интегрируя это равенство (по -окрестности состояния ) и учитывая при этом, что

находим следующее выражение для вероятности перехода за малое время

Но это выражение имеет вид (23.2):

т. e. именно тот вид, в предположении которого выводятся уравнения Колмогорова (23.8) для марковских процессов с дискретными возможными состояниями. При этом

чем обеспечивается выполнение условия (23.7):

Таким образом, уравнения Колмогорова — Феллера (31.10) и (31.11) для скачкообразных марковских процессов охватывают случаи как непрерывных, так и дискретных возможных состояний. Целесообразно поэтому записывать их для интегральных вероятностей перехода пользуясь интегралом Стилтьеса:

    (31.13)

В таком виде эти уравнения и были получены в работе Феллера [19].

Уравнение Колмогорова — Феллера (31.10) можно записать в более лаконичной форме, а именно в виде классического уравнения Больцмана, основного уравнения кинетической теории газов. Введем плотность вероятностей скачка в момент времени t из состояния у в состояние

    (31.51)

Нетрудно установить справедливость этого равенства. Действительно, — вероятность скачка из у куда-нибудь [т. е. вероятность наличия скачка в ], a - условная вероятность того, что при наличии скачка процесс перешел в Произведение а и представляет собой условную плотность вероятностей и, как она определена выше. Интегрируя (31.15) по всем х, учитывая при этом, что и переобозначая переменные получаем

    (31.16)

Если подставить (31.16) в первый член правой части (31.10), а (31.15) - во второй, то уравнение (31.10) примет вид

    (31.17)

Это и есть уравнение Больцмана (для одномерного процесса). Из него особенно отчетливо видно, что это, по существу, уравнение баланса: скорость изменения v (например, концентрации частиц в точке х) равна разности двух обусловленных скачками ежесекундных потоков: из х в какие-либо другие состояния и из всех других состояний в

Как уже было сказано, наиболее общим является смешанный случай суперпозиции дискретного и непрерывного «спектров» возможных значений процесса когда состояние может меняться как скачками, так и непрерывно. Интегро-дифференциальные уравнения Колмогорова — Феллера для этого общего случая таковы

    (31.18)

где - коэффициенты сноса и диффузии, определенные через непрерывную часть V так же, как это было

сделано выше при выводе уравнения Эйнштейна — Фоккера [см. (26.1) и (26,2)]. Уравнение (31.19) вытекает из уравнения Смолуховского при уже указанных выше предположениях относительно А, В, а и а для вывода (31.18) достаточно допустить, сверх того, существование плотности и дифференцируемость по t и у. Тогда существует плотность вероятности перехода для которой и написано уравнение (31.18).

Если вероятность скачка равна нулю то мы получаем из (31.18) и (31.19) уравнение Эйнштейна — Фоккера (26.4) и сопряженное уравнение (26.7), предполагающие, конечно, непрерывность множества возможных значений. Если но равны нулю коэффициенты сноса и диффузии то мы возвращаемся к уравнениям Колмогорова — Феллера (31.13) и (31.14) для чисто скачкообразных марковских процессов, в том числе для процессов с дискретными возможными значениями.

Вряд ли надо добавлять, что все уравнения легко обобщаются на многомерные марковские процессы .