Задачи

1. Логарифмически-нормальным (коротко, логнормальным) распределением случайной величины х называется распределение

где Нетрудно видеть, что это стандартное нормальное распределение нормированной случайной величины т. е.

Пользуясь преобразованием от к у

наити моменты

Решение. Имеем

или, поскольку

Для дисперсии х получаем

Если ввести обозначения , то

Логнормальное распределение является предельным для произведения независимых случайных величин z при возрастании числа сомножителей .

Если то есть сумма независимых случайных величин. По центральной предельной теореме [если, конечно, ее условия выполнены для (§ 13)] распределение должно стремиться к нормальному.

В силу этой же теоремы должно, в частности, стремиться с ростом к нормальному и распределение суммы логнормальных величин т. е. величины Однако сходимость распределения величины оказывается в случае логнормальных слагаемых очень медленной. Из-за этого получается, что в широкой области значений и (больших) распределение У, прежде чем приблизиться с дальнейшим ростом к нормальному, лучше аппроксимируется не гауссовым, а логнормальным законом. Соответствующие оценки подробно исследованы в работе [9].

2. Как выражается характеристическая функция случайной величины через характеристическую функцию случайной величины

Решение. Имеем

В частности, для нормированной величины

3. Найти характеристическую функцию распределения Коши

Решение. Для этого распределения формула (9.1) дает

Точка заострения при делает невозможным дифференцирование в нуле, т. е. вычисление моментов по формуле (9.4).

4. Найти характеристическую функцию случайной величины при биномиальном распределении для и выполнить предельные переходы к характеристическим функциям распределений Пуассона и Лапласа.

Решение. Имеем

При и, соответственно, отсюда следует, что

т. e. получается характеристическая функция величины при распределении Пуассона для .

Для нормированной величины характеристическая функция есть

Разлагая экспоненты в ряды по степеням и, нетрудно убедиться, что при получается т. е. характеристическая функция нормального закона распределения для нормированной случайной величины

5. Найти характеристическую функцию -мерного нормального закона распределения.

Решение. Согласно (7.11) и (9.5)

где Последовательное интегрирование по по и т. д. приводит к результату

Это можно записать и иначе, поскольку

Следовательно, для нормального распределения

6. Случайные величины распределены нормально. Пользуясь характеристической функцией многомерного нормального распределения

показать, что моменты нечетного порядка равны нулю:

а для моментов четного порядка справедливо выражение

где — положительные целые числа, а сумма берется по всем перестановкам индексов

Решение. Формулы (1) и (2) выводятся по общему правилу:

Число перестановок индексов в (2) равно но получающиеся при этих перестановках члены частично совпадают. А именно, значение каждого слагаемого не меняется при перестановках сомножителей (таких перестановок ), а кроме того, каждый сомножитель не меняется при перестановке его индексов в силу симметрии , (таких перестановок ). Таким образом, слагаемые в (2) распадаются на группы по одинаковых слагаемых в каждой. Число различных групп равно, следовательно,

Можно поэтому записать (2) и в виде суммы различных слагаемых:

понимая под сумму по перестановкам, дающим разные слагаемые (с учетом симметрии ). Например,

В частности, если получаем

Если то полученные выше выражения представляют собой центральные моменты

7. Показать, что для детерминированной функции от гауссовой случайной величины справедлива формула

где

Решение. Формула (1) получается в результате усреднения разложения в ряд Тэйлора по степеням если воспользоваться значениями центральных моментов гауссовой величины х (см. предыдущую задачу).

8. Пусть случайная величина х распределена по закону

где -нормировочная постоянная. Показать, что для кумулянтов случайной величины справедливо выражение

Решение. Характеристическая функция для есть

где интегрирование распространено на всю область возможных значений Следовательно,

Для первого кумулянта имеем

Таким образом, кумулянт равен

Заметим, что (1) — это, в частности, распределение Гиббса для системы с гамильтоновой функцией вида

т. е. в этом случае

9. Найти характеристическую функцию и плотность вероятности случайной величины , где х — -мерная случайная величина с законом распределения — детерминированная функция.

Решение. Характеристическая функция есть

Следовательно,

Смысл последнего выражения становится вполне ясным, если записать его в развернутом виде:

Из всей области возможных значений х дельта-функция выделяет как раз ту подобласть, в которой имеет значение . Тем самым дает вероятностную меру интервала для .

10. Показать, что для усредненного дробового тока (10.10) дисперсия выражается формулой (5.2), если время усреднения Т заметно превышает длительность импульса

Решение. В соответствии с (10.10)

где Так как корреляционная функция - четная функция , можно написать

Функция корреляции мгновенного тока выражается формулой (11.6), если в ней положить и считать площадь импульса единичной:

Достаточно вычислить для какой-либо простейшей формы импульса, например для прямоугольного импульса (рис. 3). В этом случае получается «треугольная» функция корреляции:

Подставив ее в двукратный интеграл для находим

Таким образом, с увеличением времени усреднения Т устанавливается значение дисперсии (5.2). Практически достаточно уже небольшого превышения Т над длительностью импульса .

11. При помощи вероятностей вычисленных в § 11, рассчитать двумерные характеристическую функцию и плотность вероятности для случайного телеграфного сигнала.

Решение. Если в момент времени значения имеют вероятности 1/2, то характеристическая функция двумерного распределения будет (полагаем

Отсюда, обращением по Фурье, находим

причем

12. В литературе был описан класс двумерных эллиптически-симметричных распределений [10], обобщающих двумерный гауссов закон для величин обладающих одинаковыми дисперсиями. При гауссова

плотность вероятности (7.13) имеет вид

т. е. зависит от только через

У эллиптически-симметричных распределений тоже зависит только от

но F — любая неотрицательная и нормированная к единице функция. Такие распределения, как и их частный случай (1), удобны для исследования ряда вопросов, касающихся прохождения сигналов и шумов через безынерционные нелинейные устройства.

Показать, что двумерная характеристическая функция для эллиптически-симметричных распределений может бцть записана в виде модифицированного преобразования Бесселя от

где — нулевая бесселева функция и

Найти одномерную характеристическую функцию.

Решение. По определению

Перейдя на плоскости к координатам :

получаем

Как известно,

Пользуясь этой формулой, получаем результат (2).

Из определения характеристической функции следует, что одномерная функция получается из двумерной , если положить в последней

Поэтому из формулы (2) следует, что для эллиптически-симметричных распределений

т. е. одномерная характеристическая функция зависит от своего аргумента так же, как двумерная от

Таким образом, задавая четную одномерную плотность вероятности и находя соответствующую четную по «характеристическую функцию

можно посредством преобразования, обратного (2), получить затем двумерную плотность вероятности

Следует, однако, иметь в виду, что пригодны не любые четные так как не все они приводят к неотрицательной и интегрируемой

13. Показать, что из экспоненциального распределения для времени ожидания события в хаотическом потоке событий вытекает распределение Пуассона (5.3) для вероятности наступления событий в фиксированном интервале времени .

Решение. Пусть — моменты наступления событий 1, 2, отсчитываемые от Согласно (5.4) вероятность того, что событие 1 произойдет в , есть

Вероятность наступления события 2 в , т. е. спустя время после события 1, есть

и т. д., вплоть до вероятности наступления события в интервале равной

Так как промежутки времени между событиями независимы, совместная вероятность наступления событий в моменты равна

Нас интересует вероятность наступления событий в интервале событие происходит еще внутри , но — уже

вне . Поэтому равно интегралу от по области, выделенной условиями

Первый интеграл равен и представляет собой вероятность того, что событие произошло после момента Т. Остальные интегралы (после знака умножения) дают и это есть вероятность что предыдущих событий наступили в . В результате получаем

т. е. закон Пуассона (5.3).

14. Показать, что для потока независимых событий с неравномерным распределением вероятности наступления события в интервале остается в силе закон Пуассона с параметром

Решение. Вероятность пустого интервала (0, t) равна теперь так что вероятность ожидания события в интервале после наступления события в момент будет

Совместная вероятность наступления событий в моменты времени в силу их независимости, равна

Те же рассуждения, что и в предыдущей задаче, приводят к следующему выражению для вероятности событий в интервале

где

15. Предполагая, что логарифм характеристической функции одномерной случайной величины х, определенной на интервале возможных значений разлагается в бесконечный ряд:

показать, что для плотности вероятности справедливо соотношение

Решение. Запишем характеристическую функцию в виде

Отсюда, если кумулянт отличен от нуля, находим

и поэтому дифференцирование (9.8) по дает

С другой стороны, согласно (9.8)

Сопоставляя две последние формулы, получаем (1).

16. Показать при помощи соотношения (1) предыдущей задачи:

что для любой функции справедливо уравнение [11]

Решение. Дифференцируя равенство

по и пользуясь (1), получаем

- кратное интегрирование по частям, если учесть, что вместе со своими производными обращается в нуль при приводит к соотношению

Применение этой формулы последовательно раз приводит к (2). Если продифференцировать (2) еще раз по другому кумулянту то, пользуясь повторно формулой (2), получим

Одно из применений «кумулянтных уравнений» (1) —(4)-быстрое вычисление коэффициентов в разложениях моментов случайной величины х по кумулянтам этой величины [11]. Например, в таком разложении коэффициент при равен, согласно (4),

а при

Вывод кумулянтных уравнений, проведенный в двух предыдущих задачах для одномерной случайной величины, легко обобщается на многомерные величины. Пользуясь характеристической функцией двумерной величины [см. (9.5)]

и разложением в ряд ее логарифма

где относится к ( — порядок кумулянта), нетрудно показать, что для совместной плотности вероятности справедливо соотношение

Можно показать, далее, что для произвольной функции

Повторное применение этрй формулы раз дает, очевидно,

а дифференцирование (7) раз по другому кумулянту приводит к уравнению

Кумулянтные уравнения, в частности уравнения (7), (8), очень полезны при рассмотрении нелинейных преобразований случайных величин [11]. В дальнейшем (задача 3 гл. VII) будет приведен пример их использования.