§ 29. Флуктуации при больших амплитудах автоколебаний

Рассмотрим подробнее случай больших положительных значений . Условие означает, очевидно, что радиус предельного цикла велик по сравнению со стандартом флуктуаций амплитуды:

Это позволяет линеаризовать динамические уравнения (28.10) относительно . Они принимают вид

т. е. отклонение изображающей точки от предельного цикла ведет себя так, как если бы эта точка была привязана к циклу пружиной и двигалась в среде с вязким трением. Инкремент играет роль отношения коэффициента упругости пружины к коэффициенту вязкого трения и характеризует «прочность» предельного цикла — скорость возвращения изображающей точки на цикл после начального отклонения от него.

Соответственно (29.1) упрощается и уравнение Эйнштейна-Фоккера (28.12), в котором надо положить

и

Упрощение настолько значительно, что теперь можно не ограничиваться отысканием стационарного распределения, а получить решение (29.2) при произвольных начальных условиях (конечно, надо придерживаться при этом условия Для вероятности перехода указанные начальные условия означают, что

Если вновь предположить, что возможные значения лежат в интервале , т. е. искать решение (29.2), периодическое по с периодом то обычная процедура разделения переменных приводит к следующему результату:

    (29.4)

т. е. в любой момент времени независимы, причем флуктуации амплитуды распределены нормально:

со средним значением и дисперсией, равными соответственно

а распределение фазы есть

где

В начальный момент имеем , т. е. распределение превращается в а распределение при дает поскольку есть разложение Фурье для периодически-повторяющейся функции . Как для амплитуды, так и для фазы имеет место эргодичность: при устанавливаются не зависящие от начальных условий стационарные распределения, а именно — нормальное распределение для и дисперсией и равномерное в интервале распределение для что мы и получили ранее [см. (28.17)].

На рис. 22 показано, как устанавливается распределение амплитуды: среднее значение затухает по такому же экспоненциальному закону, по какому изображающая точка приближалась бы к предельному циклу в чисто динамической задаче. Наличие случайных толчков ведет вместе с тем к нарастанию дисперсии вплоть до ее установившегося значения.

Рис. 22.

Рис. 23.

Что касается распределения фазы, то оно меняется так, как изображено на рис. 23: ансамбль идентичных генераторов, запущенных в момент с одинаковой фазой диффузионно растекается по предельному циклу, и спустя достаточно долгое время экземпляры из этого ансамбля населяют весь цикл равномерно.

Заметим теперь следующее. Выбор интервала для означает применительно к отдельному генератору, что из полного набега его фазы мы сбрасываем всякое целое число полных циклов. Но если речь идет об использовании автогенератора в качестве часов, то отнюдь не безразлично, произошел ли уход фазы на угол а, или на а и т. д. Другими словами, нас здесь интересует именно полный набег фазы, так что для ее возможных значений надо брать интервал от до . В этом случае решение уравнения (29.2) будет по-прежнему иметь вид (29.4); для флуктуаций амплитуды останутся в силе формулы (29.5) и (29.6), но вероятность перехода для фазы не будет периодична по и при начальном условии выразится, как нетрудно убедиться, формулой

Мы возвращаемся, таким образом, к случаю изотропных блужданий брауновской частицы по бесконечной прямой (см. §§ 4,

7, 24) и, соответственно, уже не имеем эргодичности: не зависящее от стационарное распределение не достигается ни при каком 0, и средний квадрат флуктуационного набега фазы за промежуток времени неограниченно растет пропорционально

Связь обеих постановок задачи очень проста (рис. 24): если неограниченно растекающееся по бесконечной оси распределение (29.8) «свернуть» путем переноса всех интервалов в полосу , то в этой полосе получится распределение (29.7), т. е. мы вернемся к картине установления, показанной на рис. 23. Очевидно, до тех пор, пока расплывание распределения (29.7) еще невелико, т. е. законы распределения (29.7) и (29.8) практически совпадают в интервале . В этом нетрудно убедиться и прямым расчетом, заменив сумму в (29.7) интегралом.

Рис. 24.

Как следствие предположения об однородности случайных толчков рассматриваемый марковский процесс однороден по времени: вероятности перехода (29.5), (29.7) и (29.8) зависят лишь от разности между конечным и начальным моментами. Возьмем в качестве начального момент времени , а в качестве конечного — момент Вероятности перехода для будут зависеть только от Обозначив значения в момент через можно переписать (29.5) и (29.7) в виде

    (29.10)

При отсюда получаются стационарные одномерные распределения:

Как мы помним (§ 15), вероятность перехода и одномерная вероятность — это все, что необходимо для того, чтобы написать любое -мерное распределение марковского процесса. В частности, двумерные распределения будут

    (29.13)

Поскольку не зависят от 0, а вероятности перехода однородны по 0, рассматриваемый марковский процесс стационарен.

Располагая двумерными распределениями (29.13) и (29.14), можно вычислить средние значения каких-либо функций от р, и от Мы воспользуемся этим для расчета функции корреляции исследуемого автоколебательного процесса

которая понадобится в дальнейшем при изучении спектра автогенератора. Интересующая нас функция корреляции есть

где

Поскольку в любой момент йремени независимы, а одномерное распределение фазы (29.12) равномерно в интервале , имеем . Следовательно, для всякого

Учитывая, далее, что, согласно (29.11), , получаем

    (29.15)

Таким образом, для нахождения надо вычислить следующие средние:

В соответствии с (29.13) имеем

Внутренний интеграл — это условное среднее значение равное [см. (29.10)]. Следовательно [см. (29.11)],

Учитывая, что можно записать этот результат при произвольном знаке в виде

    (29.16)

Из того, что — четная функция [см. (29.14)], тотчас же следует, что

Остается вычислить , т. е. интеграл [см. (29.14)]

Очевидно, отличный от нуля результат дает только член суммы

или при произвольном знаке :

    (29.18)

Внося (29.16) — (29.18) в (29.15), получаем

Три сомножителя, входящие в , меняются в функции от х с существенно различными скоростями. Наиболее быстро — с частотой автоколебаний — осциллирует . Гораздо медленнее меняется экспонента

вошедшая через функцию корреляции амплитудных флуктуаций (29.16). Последняя уменьшается в раз за время причем в обычных условиях безразмерный инкремент — величина порядка . Еще медленнее убывает экспонента

где — коэффициент диффузии фазы:

    (29.20)

Для диффузии, обусловленной естественными флуктуациями, величина имеет порядок . Это значит, что средний квадратичный уход фазы примерно на занимает по безразмерному времени промежуток

а по обычному времени

При это составляет сек.

Хорошо известно, однако, что расхождение на между фазами двух специально не стабилизированных генераторов происходит на таких частотах несравненно быстрее — за немногие секунды. Это связано с наличием технических уходов фазы (§ 28). Казалось бы, технические уходы должны полностью маскировать естественную диффузию фазы, но подобное заключение было бы слишком поспешным, так как технические уходы фундаментально отличаются от естественных своей гораздо более длительной корреляцией. Мы вернемся к этому вопросу в дальнейшем (§ 53).

Заметим в заключение этого параграфа, что параметр В, присутствующий во всех предыдущих формулах и определяющий, в частности, коэффициент диффузии фазы, вошел в эти формулы из исходного уравнения Эйнштейна — Фоккера (28.12). Мы не имеем пока никакой связи В с величинами, описывающими конкретный механизм случайных воздействий на генератор (дробовой ток, тепловой шум), или, говоря более определенно, со статистическими характеристиками случайной силы (28.2). Это еще один пробел развитой здесь чисто вероятностной схемы, который нам тоже предстоит восполнить в следующей главе.