§ 37. Стохастические уравнения при случайных воздействиях с произвольными законами распределения

В работе [9] (см. также [10]) получены результаты, обобщающие приведенную в предыдущем параграфе теорему на негауссовы случайные воздействия. Кроме того, сами стохастические уравнения берутся более общего вида, чем (36.11), а именно в виде системы интегро-дифференциальных уравнений

где и ядро — детерминированные векторная и тензорная функции. Очевидно, уравнения (37.1) переходят в (36.11), если Существенно, что случайные воздействия входят, как и ранее, линейно и что для решения выполняется принцип причинности функционально зависит от только при тех , которые предшествуют моменту времени . В момент заданы начальные условия .

При этих условиях показано, что точным следствием уравнений (37.1) является некоторое уравнение для одномерной плотности вероятности , которое, однако, не является замкнутым относительно так как содержит член, функционально зависящий от при всех . Только в том случае, когда воздействия дельта-коррелированы по t, указанное уравнение для становится замкнутым (содержит только одномерную функцию распределения), а процесс оказывается марковским: -мерная плотность вероятности выражается через и вероятность перехода v формулой (15.3).

Если дельта-коррелированные представляют собой гауссов процесс, то, в согласии с приведенной в предыдущем параграфе теоремой, уравнение для или v будет уравнением Эйнштейна — Фоккера (диффузионный марковский процесс). Если же случайные воздействия — импульсные процессы, состоящие из дельта-импульсов

(подчеркнем, что такой процесс дельта-коррелирован, но он не обязательно должен быть пуассоновским или стационарным), то для или v получается уравнение Колмогорова — Феллера (31.10) (скачкообразный марковский процесс).

Обратимся теперь к тому преимуществу стохастических дифференциальных уравнений, о котором уже говорилось выше, а именно возможности рассматривать с их помощью и такие (хотя бы линейные) задачи, когда случайная сила не обладает дельта-корреляцией, а значит, отклик системы уже не является марковским процессом.

Из приведенных выше результатов ясно, что при отказе от дельта-корреляции случайных воздействий общая теория очень усложняется. Мы ограничимся примерами, которые показывают тем не менее, насколько существенные результаты могут быть получены хотя бы при определенных ограничениях. Важно, однако, подчеркнуть, что в число этих ограничений уже не будет включаться в качестве обязательного требования точная или приближенная дельта-корреляция случайных воздействий на динамическую систему.

1. Рассмотрим линейное уравнение первого порядка, описывающее динамическую систему с параметрическим воздействием:

где — детерминированная функция, a - случайный процесс с Таким образом, это уравнение вида (36.2) . Если же ввести функцию то для нее мы получим линейное уравнение с аддитивной случайной силой, не зависящей от состояния системы у. Предполагается, что - нормальный процесс, но с произвольной функцией корреляции

Оказывается, что и в этом случае можно без каких-либо дополнительных требований получить из (37.2) замкнутое уравнение для плотндсти условной вероятности решения

Решение уравнения (37.2) при начальном условии есть

Поэтому (условная) характеристическая функция процесса запишется в виде

Так как интеграл — тоже гауссова величина, а для любой гауссовой величины а при справедливо равенство получаем

где

В результате

откуда

Пользуясь тождествами

и выражением (37.4) для , нетрудно преобразовать (37.6) к виду

Если учесть симметрию корреляционной функции по отношению к перестановке то коэффициент легко

выразить в виде однократного интеграла от

Задача, в сущности, уже решена, так как мы получили дифференциальное уравнение для характеристической функции. Для того, чтобы вывести уравнение непосредственно для плотности вероятности

нужно только выполнить над (37.6) преобразование Фурье. Умножая это уравнение на интегрируя по и и предполагая, что при проинтегрированные члены обращаются в нуль, получаем с учетом (37.7)

Подчеркнем еще раз: ничего, кроме нормальности процесса при выводе уравнения (37.8) не предполагалось, и это уравнение представляет собой обобщенное уравнение Эйнштейна—Фоккера вида (26.19), справедливое и для немарковского процесса. Если же случайное воздействие дельта-коррелировано:

то [половина входит потому, что дельта-выброс лежит на границе интервала ] и мы приходим, согласно изложенной в § 36 общей теореме, к марковскому процессу с уравнением Эйнштейна — Фоккера

    (37.10)

Хотя вид уравнений (37.8) и (37.10) одинаков, их смысл различен. Только при дельта-корреляции (37.9) -мерные функции распределения выражаются через произведение одинаковых условных вероятностей и, т. е. последние являются

вероятностями перехода (удовлетворяют уравнению Смолуховского)

Если параметрическое воздействие стационарно, так что то

и при временах — наибольшее время корреляции можно устремить верхний предел интеграла в бесконечность. Таким образом, коэффициент в квадратных скобках в (37.8) будет с ростом t стремиться к постоянному значению, как если бы функция корреляции была . В этом случае уравнение (37.8) примет вид (37.10) с постоянным С и действительно станет уравнением Эйнштейна — Фоккера. Другими словами, в случае стационарного воздействия отклик становится с ростом t марковским процессом. Подчеркнем еще раз, что в действительности и поэтому процесс будет марковским лишь приближенно — если рассматривать его поведение на интервалах времени но не на

В противоположность приведенному простому примеру в более общих случаях получение замкнутого уравнения хотя бы для одномерной вероятности, как уже было сказано, неосуществимо без предположения о дельта-корреляции случайного воздействия.

При наличии же дельта-корреляции и при линейных исходных уравнениях (линейных относительно х,) всегда можно получить замкнутые системы уравнений для моментов любого порядка, т. е. отдельную систему для первых моментов отдельную — для вторых моментов и т. д. При указанных условиях эти системы уравнений взаимно не зацепляются. Это было показано уже давно [11] (см. задачу 7) и вновь установлено более общим способом в [10].

2. Возможности продвижения в теории стохастических дифференциальных уравнений зависят, конечно, и от степени сложности рассматриваемой динамической системы. Мы обратимся теперь ко второму примеру, имеющему весьма широкое значение, а именно к линейным системам, на которые действуют только случайные внешние силы, а параметры системы являются детерминированными.

Речь идет о частном случае уравнений (36.11):

    (37.11)

где детерминированные функции, случайные силы, не зависящие от состояния системы . Никаких специальных предположений о вероятностных свойствах сил не делается, но они считаются заданными.

Исключая из (37.11) все , кроме какой-либо одной функции [обозначим ее через можно сформулировать задачу и в виде одного уравнения порядка:

    (37.12)

Как уже было подчеркнуто ранее, на первом этапе мы обращаемся со стохастическими уравнениями так же, как если бы это были уравнения для детерминированных функций, т. е. решаем «динамическую» задачу. Именно такой путь полностью открыт в случае линейных уравнений, так как их решение всегда может быть записано в форме некоторого линейного же оператора, действующего на заданную силу Воспользуемся истокообразным представлением решения — интегралом Дюамеля:

    (37.13)

где - так называемый импульсный отклик рассматриваемой динамической системы, т. е. ее отклик в момент времени на силу при условии, что до момента система находилась в покое. Соответственно частное решение (37.13) при произвольной силе отвечает нулевым начальным условиям:

Если коэффициенты уравнения (37.12) постоянны, т. е. динамическая система является гармонической, то .

Из линейности связи (37.13) между следует, что моменты любого целого порядка выражаются в квадратурах через смешанные моменты того же порядка силы . Поскольку последние по предположению известны, мы знаем и все моменты что в большинстве практически интересных случаев означает принципиальную возможность построения и конечномерных функций распределения . В частности,

    (37.14)

где

В случав гармонической системы интеграл Дюамеля можно записать в виде

    (37.16)

так что

    (37.17)

Если -нормальная случайная функция, то, согласно (37.13), отклик тоже будет распределен нормально, поскольку он представляет собой в этом случае сумму (предел суммы) нормально распределенных слагаемых. Так как -мерное нормальное распределение содержит в качестве параметров моменты только первого и второго порядков, в этом случае достаточно знать только . Но в общем случае для нахождения одномерного распределения необходимо исчерпывающее задание случайной функции т. е. задание всех ее конечномерных распределений. Мы ограничимся рассмотрением моментов (37.17) и (37.18) в предположении, что — стационарный случайный процесс с нулевым средним значением:

Тогда из (37.17) имеем а из (37.18)

    (37.19)

Таким образом, подынтегральное выражение не зависит от t, а так как реальные системы обладают «конечной памятью» (с ростом 0 отклик ) стремится к нулю), то из (37.19) ясно, что с увеличением t функция корреляции перестает зависеть от t, т. е. в системе устанавливается стационарный процесс

с функцией корреляции

Поскольку импульсный отклик до момента действия дельта-импульса равен нулю, т. е. при всех можно заменить нижние пределы интегралов на . Вводя вместо 0 переменную интегрирования получаем в результате, что в установившемся режиме

что можно записать в виде

    (37.20)

где введена функция

    (37.21)

Функция определяемая импульсным откликом Я, характеризует рассматриваемую динамическую систему, тогда как является характеристикой внешней силы

Заметим, что формула (37.20) — это композиция функций в соответствии с определением композиции, данным в § 9. Формула же (37.21) не является композицией, так как переменная интегрирования 0 входит в оба сомножителя под интегралом с одним и тем же знаком.

Приведем в заключение простую иллюстрацию того, как немарковский процесс в линейной системе может быть приведен к марковскому с более высоким числом измерений, о чем уже упоминалось в § 21.

Рис. 27.

Если на вход линейного четырехполюсника А (рис. 27, а) действует дельта-коррелированная то выходной ток будет компонентой -мерного марковского процесса, где — удвоенное число степеней свободы четырехполюсника (возможно, и нечетное). Пусть теперь не дельта-коррелирована, так что ток не является компонентой -мерного марковского процесса. Однако если можно подобрать такой

четырехполюсник В, который под действием дельта-коррелированного шума дает на выходе то тот же ток будет откликом на дельта-коррелированную силу в системе (рис. 27,б). Таким образом, будет компонентой -мерного марковского процесса.

Рис. 28.

Возьмем для примера уже рассмотренную -ячейку, и пусть дельта-коррелированная действует на нее через фильтр (рис. 28). Состояние фильтра описывается, скажем, зарядом q и током q (1 степень свободы), а состояние -ячейки — током (1/2 степени свободы). Ток будет компонентой трехмерного марковского процесса с вероятностью перехода Если же дельта-коррелированная э. д. с. действует на -ячейку непосредственно, то ток I будет одномерным марковским процессом с вероятностью перехода