§ 53. Корреляционная теория флуктуаций в томсоновском генераторе

Метод И. Л. Берштейна, позволивший измерить естественную немонохроматичность автогенератора, существенным образом использует медленность (длительную корреляцию) технических уходов частоты. Если интерпретировать эти медленные случайные изменения как результат некоторого воздействия на автогенератор, воздействия, имеющего большое время корреляции (по сравнению не только с периодом, но даже с временем установления амплитуды), то, как мы знаем, случайный процесс в системе не будет марковским, т. е. его нельзя рассмотреть при помощи уравнения Эйнштейна — Фоккера, как это было сделано в § 28 и обосновано в § 36. С другой стороны, при достаточно большой амплитуде автоколебаний флуктуации хорошо описываются линеаризованными уравнениями движения (§ 29), что позволяет эффективно использовать другой аппарат, не требующий марковости процесса, а именно стохастические дифференциальные уравнения и корреляционную теорию [3]. Мы и обратимся теперь к этому подходу.

Начнем с той же постановки задачи, что и в § 28. Исходным является уравнение (28.5) для томсоновской автоколебательной системы с одной степенью свободы:

где . Напомним, что если флуктуационная «сила» описывает воздействие дробового тока и теплового шума в колебательном контуре [случайная то, согласно (28.2),

В первом приближении метода медленных возмущений мы получили в § 28 уравнения Ван-дер-Поля (28.7) для амплитуды и фазы колебания зависящих от

«медленного времени»

где функции определены равенствами (28.8). При выводе (53.3) стационарная сила была заменена стационарной же модулированной силой (28.6):

спектр которой ограничен полосой около собственной частоты контура 1, причем эта узкая полоса все же значительно шире спектральной линии автогенератора. Это означает, что Q значительно превосходит не только ширину линии, обусловленной диффузией фазы, но и ширину «пьедестала», связанного с флуктуациями амплитуды:

где и D — безразмерные инкремент и коэффициент диффузии по медленному времени (§§ 29, 42). В пределах полосы спектральная плотность эффективной силы постоянна и такая же, как на частоте 1.

Обозначим спектральную плотность по безразмерной частоте через

Пусть Если бы спектральная плотность имела это значение на всей оси а, то была бы белым шумом с функцией корреляции

Именно так обстоит дело и для дробового тока, относительно которого мы допустили, что он не зависит от состояния системы (т. е. от ) или же от , и для теплового шума (§ 54).

Напомним, что при дельта-коррелированной «силе» флуктуации образуют диффузионный марковский процесс, - так что все результаты корреляционной теории должны в этом случае совпадать с соответствующими результатами, полученными для линеаризованной задачи при помощи уравнения Эйнштейна — Фоккера (§ 29).

Для дальнейшего нам понадобятся функции корреляции амплитуд входящих в формулу для эффективной силы (53.4). Для их нахождения удобно заменить аналитическим сигналом (§ 38):

и получить функции корреляции этого сигнала. Так как спектр отличен от нуля только в полосе положительных частот а и спектральная плотность в этой полосе равна имеем для «первой» функции корреляции

Что касается «второй» функции корреляции, то ввиду стационарности она равна нулю:

Подставив в обе функции корреляции выражение (53.6) для получаем

Значения функций от аргументов отмечены здесь для краткости просто индексами 1 и 2.

Вообще говоря, случайная фаза не независима от но из вида уравнений (53.7) ясно, что время корреляции должно быть того же порядка что и у правой части, тогда как характерное для время диффузии имеет порядок т. е. несравненно больше, чем Можно допустить поэтому, что на интересующих нас интервалах времени фаза имеет какое-то постоянное значение, независимое от очень быстро меняющихся F и Тогда для интервалов указанного порядка величины мы полагаем и этот постоянный множитель во втором уравнении (53.7) сокращаем. В результате получаем

откуда тотчас же следует, что

Очень сильное неравенство позволяет сделать здесь формальный переход к т. е. замену

и тогда

Заметим, что в случае (53.5), т. е. при дельта-коррелированной силе , этот результат получился бы сразу.

Однако уравнение (53.1), в котором заменено на имеет более широкую область применения, чем первоначальная задача о действии на генератор дробового и теплового шума, когда «силу» можно считать дельта-коррелированной. Действительно, при установившемся режиме, когда в нулевом приближении , можно записать F (V) в виде

Нетрудно понять, что зависимость от 0 коэффициента при х, т. е. функция (9), выражает модуляцию частоты контура, в то время как — коэффициент при -дает модуляцию инкремента генератора. Таким образом, амплитуды могут в указанном приближении описать и технические уходы, обусловленные случайными изменениями параметров. Если эти изменения стационарны, то функции корреляции будут зависеть только от сдвига но при этом , вообще говоря, не будет стационарной. Медленность технических уходов означает, что техн обладают очень большими временами корреляции. Случай же (53.9) можно истолковать с этой точки зрения как очень быструю (дельта-коррелированную) модуляцию параметров генератора.

Для эффективного использования методов корреляционной теории необходимо линеаризовать уравнения (53.3) в окрестности невозмущенного динамического режима. Линеаризация возможна, если генератор достаточно сильно возбужден (§ 29), т. е. она предполагает, что сами малы. Тогда, обозначая через решения уравнений (53.3) при а через малые отклонения, обусловленные именно случайными силами, имеем

    (53.10)

а в первом порядке относительно

    (53.11)

где

Заметим, что в частном случае генератора (28.4)

    (53.13)

так что значение инкремента на предельном цикле.

При установившемся автоколебательном режиме, который только и будет нас интересовать, и первое уравнение (53.10) принимает вид

т. е. определяет постоянные (не зависящие от 0) значения радиусов предельных циклов в нулевом приближении. Если на цикле то из второго уравнения (53.10) находим

где у — произвольная постоянная, а величина

дает в первом порядке поправку к частоте автоколебаний. В интересующем нас конкретном случае

Уравнения (53.11) и есть стохастические уравнения, описывающие флуктуации амплитуды и фазы в окрестности предельного цикла. Для мы имеем уравнение релаксационного типа (на устойчивом цикле Наличие квазиупругой силы обусловливает установление стационарного режима, существование установившегося конечного значения (причем, по предположению, .

Для вычисления функции корреляции в установившемся режиме можно взять решение первого уравнения (53.11) с отодвинутым в нулевым начальным условием:

    (53.14)

Тогда

    (53.15)

Для флуктуаций фазы, вследствие автономности рассматриваемой системы, установившегося режима не существует. Учитывая это, мы возьмем решение второго уравнения (53.11), соответствующее начальному условию при

    (53.16)

Наибольший интерес представляет средний квадрат . Если не коррелированы между собой , то

    (53.17)

Если в формулу (53.15) подставить функцию корреляции (53.9) для , соответствующую дельта-коррелированному случайному воздействию на генератор, то получим

    (53.18)

откуда, в частности,

    (53.19)

Заметим, что коэффициент при дельта-функции в функциях корреляции случайных сил входящих в ланжевеновские уравнения (53.11), согласно (53.9) равен

В соответствии с общей теоремой (36.16) эта величина должна совпадать с коэффициентом В в уравнении Эйнштейна — Фоккера (29.2):

    (53.20)

Простое сопоставление (29.16) и (53.18) приводит именно к этому равенству.

Вычисляя по формуле (53.17) средний квадрат флуктуационного набега фазы, мы предположим, что флуктуации амплитуды уже установились, т. е. возьмем для функцию корреляции (53.18). Для функция корреляции по-прежнему берется в виде (53.9). Результат вычисления:

Первый член обусловлен флуктуациями амплитуды, а второй — непосредственным действием «толчков» или, что то же, дельта-коррелированной модуляцией частоты. Второй член с самого начала растет по диффузионному закону, первый же подчиняется этому закону только при и тогда

Если , то

Разумеется, в изохронном генераторе (53.13), у которого амплитудные отклонения не влияют на частоту (q — О), первый член формулы (53.21) отсутствует и диффузионный закон справедлив при всех 0:

    (53.22)

В силу (53.20) это совпадает с (29.20).

До сих пор, говоря о дельта-коррелированной случайной «силе» мы не расчленяли ее в соответствии с (53.2) на дробовой и тепловой шумы. Произведем теперь это разбиение, с тем чтобы сопоставить удельные веса обоих видов шума.

Так как оба случайных воздействия независимы, имеем

    (53.23)

Согласно (43.2)

где — заряд электрона, а средний анодный ток лампы. Если перейти к безразмерному времени то

    (53.24)

Что касается тепловой флуктуационной то для нее справедлива формула (35.13):

    (53.25)

где k — постоянная Больцмана и T — абсолютная температура сопротивления R. Но в (53.23) входит функция корреляции не , т. е.

    (53.26)

Найдем эту величину в нулевом приближении относительно малого параметра

Вводя вместо эффективную модулированную силу мы должны, конечно, произвести такую же замену и для Затем мы представляем в виде аналитического сигнала:

В нулевом приближении относительно так что

Отсюда и из (53.25), (53.26), следует, что

    (53.27)

Подставив (53.24) и (53.27) в (53.23), получаем окончательно

где

Ясно, что во все билинейные величины, характеризующие корреляцию и интенсивность флуктуаций, постоянные С и войдут аддитивно. Так, например, для средних квадратов флуктуаций амплитуды и фазы в изохронном автогенераторе мы получим теперь выражения

Следовательно, отношение интенсивностей дробового и теплового шумов есть

    (53.30)

где — амплитуда напряжения на конденсаторе контура, равная амплитуде колебательного тока

деленной на . Согласно (53.30) отношение интенсивностей дробового и теплового шумов равно отношению работы переноса электрона через конденсатор (в момент максимума напряжения) к удвоенной энергии теплового шума в контуре. При имеем

( выражено в вольтах). Таким образом, если при комнатной температуре амплитуда напряжения на контуре нашей модели генератора превосходит 1/17 в, то влияние дробового шума больше, чем теплового. Следует, однако, иметь в виду, что этот результат относится к рассмотренной конкретной схеме генератора, когда контур находится в анодной цепи и, по предположению, отсутствует сеточный ток. С учетом сеточного тока и для других схем генератора положение может быть существенно иным [15].

Перейдем в формулах для средних квадратов к первоначальным (размерным) параметрам. Поскольку , флуктуация амплитуды тока в контуре равна Учитывая только дробовой шум и пользуясь выражениями (§ 28), получаем, согласно (53.19),

При помощи этого выражения легко переписать через размерные величины и средний квадрат флуктуационного набега фазы (53.22):

При приближении к порогу самовозбуждения , т. е. к границе устойчивости автоколебательного режима, «прочность» предельного цикла стремится к нулю. При этом происходит неограниченное нарастание интенсивности флуктуаций амплитуды и коэффициента диффузии фазы. Конечно, в

действительности рост флуктуаций будет ограничен, но он настолько велик, что нарушаются предпосылки линеаризации уравнений (53.3). Поэтому вопрос о флуктуациях при такой близости к границе самовозбуждения, когда случайные отбросы с предельного цикла одного порядка с его радиусом, уже не может быть рассмотрен в пределах корреляционной теории. Если случайные силы дельта-коррелированы, то в таких случаях можно вновь обратиться к уравнению Эйнштейна — Фоккера (см. [16]), и тогда рассмотрение перехода через границу самовозбуждения не вызывает никаких затруднений (§ 28).

Но в своей области применимости метод стохастических дифференциальных уравнений и корреляционной теории обладает определенными преимуществами. Во-первых, он значительно упрощает всю статистическую схему, что позволило рассмотреть задачи более сложные, чем флуктуации в автономном генераторе с одной степенью свободы. Например, были рассмотрены флуктуации в генераторе, синхронизированном внешней гармонической в генераторе, стабилизированном по частоте посредством связи с высокодобротным контуром (кварцем), т. е. в системе с двумя степенями свободы [13, 19]; в томсоновском генераторе со многими степенями свободы [20]; в генераторе с сеточным током и постоянным или автоматическим смещением [15] и др. Подробное изложение разнообразных задач, касающихся флуктуаций в автоколебательных системах, и соответствующая библиография содержатся в книге [21].

Во-вторых, рассматриваемый метод дает возможность охватить не марковские флуктуации, обусловленные случайными воздействиями с длительной корреляцией, и в том числе технические уходы в автогенераторе. К этому мы теперь и перейдем.

Как уже было отмечено, «силу» во втором уравнении (53.11) можно понимать и как результат флуктуаций параметров, определяющих частоту. В сущности, правую часть второго уравнения (53.11) целесообразно обозначить через , описывая этой случайной функцией флуктуации безразмерной частоты автоколебаний, чем бы они ни были обусловлены. Можно поэтому включить в и член перенесенный из левой части уравнения и выражающий флуктуации частоты, вызванные в неизохронной системе флуктуациями амплитуды. Тогда уравнение примет вид

где — естественные флуктуации частоты, обусловленные дробовым током и тепловым шумом, а -технические уходы,

связанные со случайными вариациями параметров схемы. Член несмотря на то, что первоисточником флуктуаций амплитуды предполагаются дельта-коррелированные естественные шумы, следует отнести все же к поскольку обладает относительно большим временем корреляции (порядка по 9). Для простоты мы ограничимся далее случаем изохронного генератора у которого

Очевидно, статистически независимы. Предполагая, что эти случайные девиации частоты стационарны, мы можем при вычислении среднего квадрата набега фазы время , не уменьшая общности, считать Тогда

откуда, в силу некоррелированности

    (53.31)

Учитывая, что время корреляции естественных флуктуаций частоты гораздо меньше периода колебаний (по «медленному времени» это означает, что , мы примем, как и ранее, что — дельта-коррелированная функция:

    (53.32)

Напротив, время корреляции технических уходов очень велико даже по сравнению со временем установления амплитуды Для последующих оценок достаточно взять какую-либо «модель» функции корреляции например экспоненциальную:

    (53.33)

Подстановка в (53.31) функций корреляции такого вида [уже использованных выше при вычислении (53.21)] дает

    (53.34)

Все сказанное ранее в отношении формулы (53.21) можно перенести на выражение (53.34), с тем лишь отличием, что время установления диффузионного закона нарастания для , равное теперь гораздо больше, чем время в (53.21).

Для интервалов времени суммарный среднеквадратичный набег равен

    (53.35)

а для получается диффузионный закон

    (53.36)

причем коэффициент «технической диффузии» на много порядков (в тысячи раз и более) превышает коэффициент естественной диффузии (§ 29).

На рис. 64 показан ход обоих слагаемых функции (53.34), но без соблюдения реального соотношения . При больших технический набег растет гораздо быстрее естественного, но при достаточно малых рост квадратичен, т. е. всегда можно выбрать столь малые , что будет гораздо больше Следовательно, если как-либо измерять именно за такие малые промежутки времени, то фактически это будет измерением величины а тем самым — измерением естественной ширины спектральной линии генератора. В этом и состоит основная идея метода И. Л. Берштейна.

Рис. 64.

Насколько малыми должны быть временные сдвиги 0? Оценка может быть сделана исходя из формулы (53.35), где надо потребовать

откуда

    (53.37)

Таким образом, 0 должно быть много меньше не просто самого времени корреляции технических уходов а весьма малой доли от . Если, например сек (через обозначено размерное время корреляции), то сдвиг должен быть гораздо меньше сек.

В измерениях Берштейна к детектору подводилась разность напряжений одно из которых снималось с исследуемого генератора непосредственно через виток связи,

а другое — через коаксиальный фидер длиною который создавал задержку примерно на 3 мксек. Флуктуации амплитуды разностного напряжения на входе детектора обусловлены в первую очередь флуктуациями разности фаз между обоими напряжениями и вследствие малости просто пропорциональны

Измерив при помощи усилителя и квадратичного выходного прибора величину найдем тем самым т. е., в силу выполнения условия (53.37), найдем величину — размерные коэффициент диффузии и длительность задержки).

Рис. 65.

Рис. 66.

Именно возможность большого усиления позволила измерить нарушение когерентности которое было обусловлено геометрической разностью хода всего в и составляло лишь от длины когерентного цуга.

Векторная диаграмма на рис. 66 поясняет еще одну существенную особенность описанного метода — возможность так подобрать средние амплитуды напряжений и аппаратурный сдвиг фаз между ними, чтобы амплитуда разностного напряжения Ди сильно зависела от флуктуаций разности фаз но очень мало менялась из-за амплитудных флуктуаций

Следует заметить, что мы привели не действительную схему опыта, а лишь пояснили его принцип, следуя при этом Г. С. Горелику [22]. Фактически измерялась не величина а спектр . Как уже было указано в § 45, исследование спектра колебания на крыльях линии, т. е. на достаточно больших удалениях от максимума (со), позволяет получить высокочастотный участок спектра флуктуаций частоты (мы возвращаемся здесь к размерным величинам).

В автогенераторе, в соответствии с разбиением на два некоррелированных слагаемых — технические уходы и естественные флуктуации, — имеем

причем спектр высокий и узкий [сильные и медленные изменения — низкий и широкий [малые и быстрые флуктуации как это схематически показано на рис. 67.

Рис. 67.

Соответственно разбивается и среднеквадратичный набег фазы.

Но для спектра автоколебаний генератора, т. е. для такой аддитивности нет вследствие сложной нелинейной связи между . Формула (45.24) показывает, однако, что измерение на крыльях линии позволяет, в принципе, восстановить ход на высоких частотах, т. е. там, где технические уходы практически не влияют и . Насколько далеко надо отойти для этого от т. е. насколько большим должен быть аргумент функции ? Речь идет здесь о спектральной формулировке условия (53.37), позволяющего обнаружить естественные флуктуации, несмотря на наличие технических уходов. Через размерные величины, поскольку это условие запишется в виде

    (53.38)

При первом, взгляде на рис. 67 может показаться, что надо потребовать Но нам нужны, очевидно, такие со, при которых мало не по сравнению со своим наибольшим значением в нуле, а по сравнению с уровнем Это будет

выполнено, если в интервале (0, со) интегральная интенсивность естественных флуктуаций

значительно превышает интегральную интенсивность технических уходов

Мы приходим, таким образом, к условию

которое совпадает с (53.38), если положить

Для непосредственного измерения крыльев линии надо, чтобы на расстройках удовлетворяющих условию (53.38), превышало уровень собственного шума аппаратуры. Метод И. Л. Берштейна достигает цели в тех случаях, когда флуктуационный дрейф фазы не чрезмерно мал, — в обычных ламповых генераторах, а также в клистронных. Для молекулярного генератора интенсивность естественных флуктуаций частоты столь мала, что их измерение требует привлечения других приемов, как, например, сравнение двух независимых генераторов.

Остановимся в заключение на следующем любопытном вопросе. Томсоновский автогенератор дает квазимонохроматическое колебание — спектральную линию малой ширины. В зарубежной литературе первоначально имела место ошибочная трактовка воздействия флуктуаций на автогенератор как на очень селективный фильтр. Спектр автоколебаний изображался в виде суперпозиции дискретной линии и узкого (отфильтрованного) шумового фона. Это неверно, так как генератор — нелинейная система с обратной связью, в силу чего действующие в нем источники шума дают не наложение шума на автоколебания, а хаотическую модуляцию последних, т. е. уширение линии.

Допустим теперь, что мы построили весьма селективный фильтр, у которого квадрат модуля функции передачи в точности воспроизводит форму спектральной линии автогенератора. Таким образом, если подвести к этому фильтру шум с ровным спектром (ровным хотя бы в некоторой полосе, превышающей с известным запасом полосу пропускания фильтра), то на выходе получится колебание, спектр которого (а значит, и функция корреляции) такой же, как у автогенератора. Можно ли различить при этих условиях, где мы имеем дело с отфильтрованным

шумом, а где — с автоколебаниями, исследуя только сами колебания и не имея доступа к их источникам?

Естественно обратиться к функциям распределения обоих процессов. И тот, и другой — стационарные квазимонохроматические процессы, и, следовательно, совместное распределение амплитуды и фазы у обоих имеет вид (44.31). Таким образом, фазы обоих колебаний распределены равномерно в интервале и единственная возможность обнаружить различие — это сравнить распределения огибающей

На выходе весьма узкополосного фильтра колебание будет гауссовым процессом, так что амплитуда будет распределена по релеевскому закону (рис. 68, а).

Рис. 68.

В генераторе же, даже при очень малом переходе через границу самовозбуждения, распределение , как мы видели (§ 29), будет гауссовым, центрированным около значения т. е. около радиуса динамического предельного цикла (рис. 68, б). Это различие имеет, очевидно, весьма общий характер и позволяет в тех случаях, когда источник колебаний недоступен, судить о том, к какому типу они ближе — к автоколебаниям или к фильтрованному шуму.