§ 52. Измерение шумовых сигналов. Радиометры

Применим результаты двух предыдущих параграфов к часто используемой цепи, состоящей из трех звеньев (рис. 57): полосового фильтра высокой частоты [ФВЧ, функция передачи квадратичного детектора (КД, нелинейная характеристика

Рис. 57.

и фильтра низких частот [ФНЧ, функция передачи На выходе ФНЧ включен измерительный прибор. В качестве входного сигнала мы возьмем стационарный нормальный процесс с нулевым средним значением. Относительно цепи предполагается, что

1) реакция каждого последующего звена на предыдущее отсутствует;

2) фильтры узкополосны, т. е. полоса ФВЧ центрированная около частоты гораздо меньше как так и ширины спектра процесса , а полоса ФНЧ гораздо меньше не только , но и (рис. 58).

Рис. 58.

Даваемая такой цепью связь между статистическими свойствами входного процесса и измеряемого на выходе процесса рассматривалась в очень многих работах, начиная с классической работы Райса [12]. При предположении 1) изучались задачи различной степени общности: нахождение функций распределения как так и получение моментов при наличии на входе не только шума, но и детерминированного или случайного сигнала; исследование этих же вопросов при негауссовом распределении при произвольной нелинейности детектора или же в отсутствие ограничений 2) ширины полос фильтров (см. [11]). Мы ограничимся, однако, простейшей задачей, а именно найдем при указанных выше предположениях выигрыш, даваемый сглаживающим действием ФНЧ. Точнее, мы рассчитаем коэффициент сглаживания флуктуаций Q, равный отношению относительной флуктуации на выходе детектора к относительной флуктуации на выходе ФНЧ:

где, как обычно, — стандарты Величина Q характеризует качество рассматриваемой цепи как непосредственного

измерителя спектральной плотности входного шума в полосе ФВЧ.

Так как спектр шума по предположению, широк по сравнению с полосой ФВЧ, спектральную плотность можно записать в виде

Следовательно, функция корреляции равна

а средний квадрат —

Процесс на выходе детектора имеет среднее значение

а поскольку процесс на входе КД тоже нормален, причем функция корреляции согласно (51.22), есть

Таким образом, и относительная флуктуация на выходе детектора оказывается равной

По теореме о трансформанте Фурье произведения двух функций (§ 42) или в нашем случае — квадрата функции из (52.4) вытекает выражение для спектральной плотности в виде свертки спектральной плотности x(t):

Эта формула описывает, конечно, весь спектр как высокочастотный (полоса ширины около ); так и низкочастотный (полоса ширины около см. рис. 56). Высокочастотную часть спектра ФНЧ, разумеется, не пропускает.

Располагая мы можем написать спектральную плотность на выходе ФНЧ:

а тем самым, и выражение для дисперсии

или, после подстановки из (52.6), — из (52.2).

Что касается среднего значения то, учитывая узость полосы ФНЧ по сравнению с шириной низкочастотной части спектра на выходе КД, можно положить

или, согласно (52.3),

Заметим, что и в формуле (52.7) можно было бы вместо писать т. е. отбросить высокочастотную часть ввиду того, что лишь в узкой полосе около

Подставив (52.5), (52.8) и (52.9) в (52.1), получаем для коэффициента сглаживания выражение

    (52.10)

Для того чтобы извлечь из этой довольно сложной формулы простую и наглядную оценку Q, заменим прямоугольниками, как это показано на рис. 59. Тогда а двукратный интеграл

в знаменателе (52.10) можно ввиду того, что отлична от нуля лишь в узкой окрестности около оценить как

В результате

    (52.11)

т. е. сглаживание флуктуаций около среднего значения (52.9) тем сильнее, чем больше отношение полос ФВЧ и ФНЧ, или, иначе говоря, чем больше время усреднения по сравнению со временем корреляции на выходе ФВЧ.

Рис. 59.

Рассматривая описанный прямой метод измерения мы не расчленяли входной шум на интересующий нас шумовой сигнал и внутренние шумы аппаратуры. Между тем часто бывает так (например, в радиоастрономии), что надо измерить слабый шумовой сигнал на фоне гораздо более интенсивного шума самого устройства (радиометра). Применение прямого метода наталкивается тогда на следующее затруднение. Спектральная плотность состоит из плотности, как говорят, пересчитанных на вход собственных шумов и небольшого добавка обусловленного внешним сигналом. Соответственно , где связаны по формуле (52.9) соответственно с . То обстоятельство, что интересующее нас отклонение гораздо меньше легко преодолеть, применив компенсационный метод, а именно подав на измерительный прибор встречное постоянное напряжение и взяв этот прибор гораздо более чувствительным. Трудность заключается в том, что этот чувствительный прибор, дающий теперь большое отклонение будет столь же сильно реагировать и на флуктуации обусловленные по-прежнему полной

спектральной плотностью т. е. практически — плотностью собственного шума аппаратуры

Пороговой чувствительностью устройства принято считать такую спектральную плотность на входе, которая даег отклонение равное стандарту флуктуаций Учитывая, что выражается через по формуле (52.9), а через — по формуле (52.8), получаем из равенства и с использованием (52.10), что

Таким образом, коэффициент сглаживания Q должен быть настолько велик, чтобы обеспечивать для измеряемой плотности превышение порога:

Если путем снижения уровня собственных шумов (например, охлаждением входного каскада, когда это тепловые шумы) и (или) путем увеличения Q выполнение условия (52.12) достигнуто, то остается еще одно явление, нарушающее стабильность показаний выходного измерительного прибора, - уходы усиления (так называемый «дрейф нуля»).

Рис. 60.

В основном они обусловлены входным усилителем (мы включаем его в состав ФВЧ) и медленны, т. е. их спектр сосредоточен в очень узкой полосе около Низкочастотная часть спектра после детектора имеет поэтому вид, показанный на рис. 60, где спектр уходов усиления заштрихован. ФНЧ пропускает эти колебания

усиления, и стрелка измерительного прибора «блуждает», что равносильно уменьшению коэффициента сглаживания

От влияния уходов усиления избавляет модуляционный метод измерения. Схема модуляционного радиометра изображена на рис. 61.

Рис. 61.

Генератор используется для того, чтобы промодулировать периодической функцией с периодом измеряемый сигнал, так что на вход ФВЧ поступает процесс

где — внутренний шум. Функцию проще всего сформировать такой, чтобы в течение одного полупериода она была равна 1, а в течение другого — нулю. Тогда

Кроме того, процесс на выходе детектора умножается на основную гармонику генератора и на ФНЧ поступает процесс . Через на рис. 61 обозначены линейные дифференциальные операторы, описывающие соответственно действие ФВЧ и ФНЧ и дающие в спектральном представлении функции передачи Убедимся в том, что такое устройство действительно устраняет влияние уходов усиления. На выходе ФВЧ мы получаем

Период функции весьма велик по сравнению со временем корреляции в силу чего мы вынесли из-под оператора ограничившись квазистатическим откликом на выходе детектора получается процесс

При усреднении удвоенное произведение обращается в нуль, так как независимы, а их средние значения равны

нулю. Следовательно,

    (52.13)

где

Что касается флуктуаций то, предполагая по-прежнему, что сигнал слаб, можно считать, что эти флуктуации обусловлены только собственными шумами и, тем самым, для справедливы прежние формулы, в которые входят только спектральные плотности внутреннего шума и уходов усиления.

На выходе ФНЧ мы получаем процесс

    (52.14)

Первый член правой части представляет сббой сигнал

Низкочастотный фильтр, полоса которого меньше основной частоты модуляции вырежет из этого разложения Фурье только постоянную составляющую, т. е. член

или, если воспользоваться (52.9),

    (52.15)

Таким образом, модуляционный радиометр откликается в среднем только на модулированную часть входного шума, т. е. на интересующий нас сигнал

Второй член формулы (52.14) описывает флуктуации около среднего значения (52.15). Для расчета надо найти спектр процесса Мы не будем проводить вычисления, а ограничимся качественной картиной, вполне разъясняющей суть дела.

Очевидно, на входе ФНЧ существенна только низкочастотная часть флуктуаций y(t) (рис. 60). Умножение этой низкочастотной части на означает расщепление спектра на две компоненты, раздвинутые на от

Рис. 62.

Но частота модуляции Q, малая по сравнению с полосой ФВЧ велика по сравнению как с полосой ФНЧ так и подавно с шириной спектра уходов усиления (на рис. 62 этот спектр опять заштрихован). Поэтому для собственных шумов модуляция практически ничего не меняет в полосе ФНЧ, в то время как спектр уходов усиления, поскольку оказывается выведенным за пределы полосы ФНЧ.

Рис. 63.

Это означает, что уходы усиления не сказываются на флуктуациях и последние определяются только собственными шумами .

Нетрудно убедиться, что коэффициент сглаживания Q остается таким же, как в отсутствие модуляции и уходов усиления, т. е. выражается формулой (52.11), но преимущество модуляционного метода в том и состоит, что уходы усиления не вызывают уменьшения этого значения

Дальнейшее усовершенствование — нулевой модуляционный метод измерения, при котором вход радиометра периодически (с периодом переключается при помощи генератора (Q) с источника измеряемого шума на шумовой эталон и обратно спектральные плотности обоих источников одинаковы в полосе ФВЧ, то модуляции нет и стрелка измерительного прибора стоит на нуле. Это позволяет уменьшить чисто инструментальную ошибку, воспользовавшись более чувствительным прибором.