§ 42. Примеры спектральных разложений стационарных функций

Переходя к примерам, иллюстрирующим теорему Хинчина, сделаем предварительно несколько замечаний общего характера.

Спектральная интенсивность равно как и ее приращение на любом интервале частот, зависит лишь от модулей спектральных амплитуд но не от их аргументов. Таким образом, случайные стационарные функции

где — детерминированная функция [или случайная, но независимая от будучи, вообще говоря, совершенно различны, имеют одну и ту же спектральную интенсивность , а значит, и одинаковую функцию корреляции . Это непосредственно вытекает из дельта-корреляции приращений [см. (41.2)]. В частности, в случае непрерывного спектра замена амплитудной плотности с на не

меняет спектральной плотности поскольку из (41.5) следует, что

Точно так же в случае дискретного спектра замена амплитуд на произвольными фазами (тоже либо детерминированными, либо случайными, но независимыми от ) не меняет, в силу (41.8), интенсивностей

Именно эта нечувствительность к фазам приводит к тому, что функция корреляции может быть одинакова у совершенно различных случайных процессов. Например, процесс (8.1) в случае экспоненциальных импульсов (рис. 7), процесс (11.9) с экспоненциальным распределением длительности прямоугольных импульсов (рис. 5), обобщенный телеграфный сигнал (рис. 6) и флуктуации амплитуды в томсоновском генераторе — все обладают одной и той же (экспоненциальной) функцией корреляции [формулы (11.12), (11.10), (11.11) и (29.16) соответственно]. Заметим, что нечувствительность к фазам означает, в частности, что линия задержки, обладающая произвольной дисперсией, но равномерной амплитудно-частотной характеристикой, сохраняет функцию корреляции входного процесса неизменной.

То обстоятельство, что функция корреляции и спектральная плотность сопряжены по Фурье и, следовательно, однозначно определяют одна другую, широко используется в конкретных задачах. В одних случаях проще вычислять и затем находить спектр по формулам (41.7), (41.10) или (41.16); в других задачах, наоборот, нахождение спектра оказывается более легким, и тогда функция корреляции вычисляется при помощи (41.6), (41.9) или (41.14).

Отметим еще, что в случае непрерывного спектра для функций связанных преобразованием Фурье, выполняется хорошо известное «соотношение неопределенностей». Качественно оно может быть описано так, что «узкий» спектр означает «широкую», т. е. длительную корреляцию, большую «упорядоченность» процесса и, наоборот, «широкий» спектр дает короткую корреляцию, усиление хаотичности. Если существуют интегралы

то «соотношение неопределенностей» может быть выражено и количественно: в теории интегралов Фурье доказывается, что «размытости» удовлетворяют неравенству

причем минимизирующая функция для которой в (42.1) имеет место равенство, — это гауссова кривая :

Гауссов закон корреляции (42.2) принадлежит к «инвариантным» законам — в том смысле, что соответствующая спектральная плотность тоже выражается гауссовой кривой:

Ширины определенные на уровне от максимальных значений равны , так что Другой пример «инвариантного» закона корреляции — обратный гиперболический косинус:

В этом случае

Вычислим теперь при помощи теоремы Хинчина спектры ряда рассмотренных ранее стационарных процессов, для которых мы уже нашли функции корреляции.

В § 11 было отмечено, что у стационарного импульсного пуассоновского процесса

с достаточно быстро убывающей функцией описывающей форму импульсов, функция корреляции равна

Здесь - плотность вероятности многомерного случайного параметра зависимость от которого детерминированной

минированной функции F позволила нам учесть случайные изменения формы импульсов. Теперь мы уже можем отказаться от этого частного способа задания случайной функции, заменив его общим, т. е. просто считая форму импульса случайной функцией к тому же и комплексной, так что комплексным будет и импульсный процесс в целом:

Предполагая, что статистически независимы от пуассоновских моментов времени и от при , причем для всякого

нетрудно воспроизвести расчет, вполне аналогичный проведенному в § 11 и приводящий к почти очевидному обобщению полученных там результатов. Для среднего значения процесса (42.6)

и его функции корреляции

где чертой обозначено полное усреднение как по распределению , так и по распределению Пуассона для числа импульсов , получаются выражения

Общий случай непуассоновского и нестационарного потока моментов времени рассмотрен в работе [10].

Для того чтобы получить спектр процесса (42.6), надо воспользоваться формулой обращения (41.7). Но можно написать результат сразу, если воспользоваться известной теоремой

о спектре интеграла . Этот интеграл не является сверткой, так как переменная интегрирования входит в оба сомножителя с одинаковым знаком [свертка, распространенная на комплексные функции, имеет вид ]. Поскольку соответствующий вывод очень прост, а его результат еще понадобится в дальнейшем, мы воспроизведем здесь этот вывод.

Пусть — спектральные амплитудные плотности функций , так что

Тогда

Таким образом, спектральная амплитудная плотность ( есть)

Применив формулу (42.9) к (42.8), где находим

т. е. спектральная плотность процесса (42.6) равна

    (42.10)

где - амплитудная плотность случайной формы импульса . В частном случае (42.5) формула (42.10) принимает вид

    (42.11)

где теперь — уже детерминированная функция. Наконец, если т. е. имеется только один случайный параметр «амплитуда» импульсов одинаковой детерминированной формы так что

    (42.12)

то

    (42.13)

В этом последнем случае не только «густота» шума но и случайные амплитуды влияют только на общий уровень шума, а форма спектра всецело определяется формой импульса. Конечно, это заложено уже в формуле (42.12), из которой видно, что характер зависимости функции корреляции от связан только с видом функции . Можно, однако, дать этому результату еще и следующее пояснение.

Спектр отдельного импульса имеет амплитудную плотность не зависящую от момента возникновения импульса Последний проявляется в спектральном разложении импульса только в наличии фазового множителя . Это означает, что для последовательности импульсов, каким-то образом разбросанных по оси времени, спектр будет иметь общую огибающую причудливо «изрезанную» в результате того, что на каждой частоте происходит интерференция колебаний с разными добавочными фазами . Так как случайны и на любом интервале распределены равномерно, в среднем интерференция «замажется» и в интенсивность войдет только квадрат одинаковой для всех импульсов огибающей

Приведем выражения функции корреляции (42.12) и спектральной плотности (42.13) для двух частных видов формы импульса .

Рассмотрим прямоугольные импульсы (рис. 31):

    (42.14)

Функция корреляции изображается треугольником

    (42.15)

а спектральная плотность равна

    (42.16)

Если импульсы нормированы к единичной площади, для чего достаточно положить то

Функция корреляции изображается теперь треугольником с основанием и с высотой так что площадь треугольника при любом равна

Рис. 31.

При треугольник превращается в бесконечную «иглу» в нуле, т. е.

    (42.18)

С уменьшением главный максимум неограниченно расширяется, сохраняя неизменную высоту при . В пределе при получается постоянная спектральная плотность

Нетрудно убедиться, что предельные выражения (42.18) и (42.19) формально удовлетворяют соотношениям (41.6) и (41.7). Действительно,

Но случайный процесс с дельта-корреляцией (42.18) уже не принадлежит к рассматриваемому классу стационарных функций, так как он не обладает конечным значением среднего квадрата модуля. Величины

для него не существует.

Возьмем теперь следующий непуассоновский стационарный процесс: с вероятностями 1/2 сменяются значения длящиеся одно и то же время О, причем начало «нулевого» импульса равномерно распределено на интервале (иначе процесс не будет стационарным).

Рис. 32.

Такую случайную функцию можно построить, бросая монету. Мы имеем здесь хаотические импульсы одинаковой формы, но не перекрывающиеся (рис. 32), а следующие вплотную друг за другом, т. е. в интервалах между импульсами никакой случайности нет и число их в единицу времени задано Тем не менее, как нетрудно сообразить, функция корреляции такая же, как и у пуассоновского процесса с прямоугольными импульсами (42.14), а именно:

Это еще одна иллюстрация нечувствительности функции корреляции к фазам спектральных амплитуд самой случайной функции.

Вернемся к пуассоновскому процессу вида

и рассмотрим экспоненциальные импульсы (рис. 33)

В этом случае, согласно (42.12) и (42.13),

Функция (42.20) может изображать отклик -ячейки на дельта-импульс, так что процесс с такой формой импульса описывает выходное напряжение на С-ячейке, к которой подводится хаотическая (пуассоновская) последовательность дельтаимпульсов. Следует, однако, еще раз напомнить, что одна и та же функция корреляции (а значит, и один и тот же спектр) может соответствовать совершенно различным случайным функциям, что уже было подчеркнуто в начале этого параграфа на примере именно экспоненциальной

Рис. 33.

В данном примере тоже нетрудно проследить общую закономерность, касающуюся размытостей функций Ширина на уровне составляет , а ширина на уровне равна , так что произведение этих мер расплывчатости при всяком равно 4. Если фиксировать единичную площадь импульсов, положив то и здесь, при переходе к пределу мы снова получим выражения (42.18) и (42.19).

Вопрос о спектральной форме условия дифференцируемости случайной функции еще будет затронут в дальнейшем (§ 50). Но можно заметить уже теперь, что в обоих рассмотренных примерах условие существования а именно существование нарушено. В спектральных разложениях это проявляется в том, что плотности убывают при только как Если формально вычислить спектральное разложение второй производной от

то при спектральной плотности (42.16) получаем

а при спектральной плотности (42.22)

В обоих случаях не существует.

В рассмотренных примерах мы каждый раз получали, что произведение размытостей — величина порядка единицы. Следует однако помнить, что «соотношение неопределенностей» - это неравенство, так что вполне возможны случаи, когда произведение размытостей гораздо (даже на много порядков) больше единицы. Так обстоит дело, если в спектр разлагается импульс сложной формы, скажем импульс хотя бы и с простой детерминированной огибающей, но с меняющимся по сложному закону заполнением. Таким заполнением может быть как детерминированный процесс (например, сложным образом фазо-манипулированное или же частотно-модулированное колебание), так и случайный. В сущности, критерием сложности формы импульса является именно сильное неравенство

Проиллюстрируем сказанное на примере импульса с гауссовой огибающей ширины на уровне от максимума и с заполнением в виде стационарного случайного процесса у которого а функция корреляции дается формулой (42.2). Из-за случайности процесса форма импульса

в целом случайна, равно как случайна и его спектральная амплитуда

Найдем поэтому средний квадрат модуля спектральной амплитуды:

Подставляя сюда (42.2), т. е. , и вводя переменные интегрирования

получаем

Значения обоих интегралов известны и дают следующий результат:

Таким образом, форма спектра в среднем гауссова, а рина его на уровне от максимума равна

Произведение Лео на временную размытость «импульса в целом», т. е. его огибающей , будет поэтому

Оно невелико, если время корреляции тк заполнения порядка или больше . В этом случае форма импульса близка к гауссовой форме огибающей, поскольку не успевает сколько-нибудь заметно измениться за время Напротив, если , то импульс сильно «изрезан» процессом и произведение ширин велико:

Ширина спектра определяется в этом случае не длительностью огибающей, а временем корреляции тк случайного заполнения. Если (дельта-коррелированное заполнение), то при любом фиксированном

В задаче 6 рассмотрен пример детерминированного заполнения при той же гауссовой огибающей импульса, т. е. пример случая, когда детерминирована форма импульса в целом. «Энергетический» спектр импульса описывается при этом детерминированной же функцией , причем, согласно (42.9), таким спектром обладает интеграл

    (42.22)

Можно поэтому условно называть «корреляционной функцией» детерминированного импульса , а интервал , в котором в основном сосредоточена называть эффективным

«временем корреляции» этого импульса. Поскольку связаны комплексным преобразованием Фурье, размытости этих функций удовлетворяют «соотношению неопределенностей» Даже если здесь имеет место равенство, но (импульс сложной формы), произведение на ширину огибающей будет велико.

Остановимся в заключение на вопросе о естественной немонохроматичности томсоновского автогенератора. Для автоколебания в таком генераторе

когда он возбужден настолько сильно, что радиус предельного цикла гораздо больше стандарта флуктуаций амплитуды мы получили следующее выражение для функции корреляции [формула (29.19), которую мы переписываем теперь через размерный временной сдвиг

    (42.23)

Здесь введены также размерные инкремент и коэффициент диффузии фазы так что

    (42.24)

По формуле (41.16) нетрудно получить спектральную плотность автоколебаний по положительным частотам, а именно:

где

В реальных условиях . Это позволяет пренебречь по сравнению с h и, кроме того, отбросить поскольку аргумент всегда не меньше . В результате

    (42,25)

Рис. 34 иллюстрирует полученное выражение, но без соблюдения фактического огромного различия S) и к. Спектр состоит из двух лоренцианов — чрезвычайно острой «линии», обусловленной естественной диффузией фазы (полуширина на половинном уровне от максимума равна 3)), и гораздо более слабого и расплывчатого фона, вызванного флуктуациями амплитуды (полуширина равна h). Практически этим «амплитудным» фоном можно в окрестности диффузионной «линии» пренебречь.

Рис. 34.

Изложенная теория естественной (или флуктуационной) ширины спектральной линии томсоновского автогенератора, опирающаяся на решение уравнения Эйнштейна — Фоккера (§ 28), была развита И. Л. Берштейном [11] и им же впервые проверена с положительным результатом на опыте [12]. Как уже было отмечено, измерение естественной немонохроматичности генератора являлось в то время очень трудной задачей, во-первых, из-за крайне малой ширины линии и, во-вторых, из-за медленных и гораздо более значительных по величине технических уходов частоты. Если даже допустить, что технические уходы удалось полностью устранить (что является вопросом уменья и в принципе достижимо, поскольку по определению технические уходы — результат несовершенства аппаратуры), то и тогда обычные способы измерения столь малой немонохроматичности практически неосуществимы.

Действительно, для измерения ширины линии при помощи резонатора нужно, чтобы ширина его собственной резонансной кривой была еще меньше, т. е. его добротность Q должна быть выше, чем . Если же воспользоваться интерферометром, то при обычных способах наблюдения интерференционной картины, обнаруживающих смазывание последней только при разностях хода порядка длины когерентного цуга (см. § 47), понадобился бы интерферометр астрономических размеров, так как

Даже при см это означает, что .

Если бы интерферометр был чувствителен к очень малым разностям фаз интерферирующих колебаний, так

что обнаруживаемая разность хода I составляла бы ничтожную долю от длины когерентного цуга L (например, , что дает ), то положение существенно изменилось бы. Конечно, по-прежнему оставался бы в полной силе вопрос о том, как устранить технические уходы или по крайней мере обойти их влияние. Именно эти трудности и были преодолены при помощи остроумного и тонкого фазометрического метода, предложенного и осуществленного И. Л. Берштейном (§ 53).