Главная > Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 41. Стационарные случайные функции

Каким ограничениям подчинены случайная комплексная спектральная амплитуда и распределение комплексной «массы» , если случайная функция в широком смысле стационарна?

Требование постоянства среднего значения означает, согласно (40.1), что при всех должно быть

и тогда

Рассматривая функцию — всегда можно исключить постоянное среднее и тем самым считать, что (41.1) распространяется на все значения без исключения. Мы будем далее предполагать, что у рассматриваемых стационарных функций среднее значение и, следовательно, смешанный момент совпадает с функцией корреляции

Условие стационарности функции корреляции, согласно которому она зависит лишь от разности может быть

выполнено, как это видно из (40.7), только в том случае, если

т. е. «масса» распределена только на биссектрисе со Тогда приращение всегда вещественно и неотрицательно. Если воспользоваться дельта-функцией, то сказанное можно записать в виде

причем вещественное приращение неотрицательно:

Следовательно, если -стационарная функция, то — функция с некоррелированными приращениями (§ Подставив (41.2) в (40.7), получаем

т. е. функция корреляции стационарного в широком смысле случайного процесса представима в виде однократного интеграла Фурье — Стилтьеса (41.3), где -неубывающая вещественная функция со. Кроме того, поскольку

а на рассматриваемые случайные функции второго порядка наложено условие конечности функция должна быть ограничена: .

Эта фундаментальная теорема была доказана в 1934 г. А. Я. Хинчиным для стационарных (в широком смысле) случайных функций, удовлетворяющих условию непрерывности в нуле [4]. При этом было использовано не спектральное представление (40.1) самой случайной функции (возможность и смысл которого были установлены А. Н. Колмогоровым позднее , а теорема гармонического анализа, доказанная ранее С. Бохнером ([6], стр. 76) и состоящая в том, что всякая

положительно-определенная функция представима в виде

где — вещественная, неубывающая и ограниченная. Эта последняя теорема, установленная вне всякой связи с теорией случайных функций, тотчас же приводит к теореме Хинчина, если учесть, что класс положительно-определенных функций совпадает с классом непрерывных в нуле функций корреляции стационарных случайных процессов.

Подчеркнем еще раз, что стационарность случайной функции предъявляет к распределению комплексной «массы» на плоскости два требования. Во-первых, эта масса должна быть сосредоточена только на биссектрисе . Во-вторых, полная масса должна быть конечна, т. е. линейная ее плотность должна быть интегрируема на всей оси от до Нарушение хотя бы одного из этих условий означает нестационарность .

Итак, дельта-коррелированность приращений в спектральном разложении стационарной случайной функции влечет за собой локализуемость по частоте для средних билинейных величин. Для лучшего уяснения этого обстоятельства и усвоения практически применяемой техники перехода от спектрального разложения к спектральному разложению мы оставим теперь в стороне оговоренные выше (и, разумеется, необходимые) математические условия и проделаем указанный переход в некоторых частных случаях, широко используя при этом дельта-функцию.

Возьмем случай чисто непрерывного спектра. Как мы знаем, непрерывная функция с некоррелированными приращениями не дифференцируема ни в одной точке. Однако в § 34 мы подробно разобрали вопрос о том, почему и в каком смысле практически возможно пользоваться дельта-коррелированной производной такой функции, т. е. в данном случае — комплексной амплитудной плотностью с . Введение с отнюдь не преследует цель во что бы то ни стало нарушить математическую строгость. Оно действительно полезно, так как в физических задачах при переходе от стохастических дифференциальных уравнений для к спектральной записи было бы крайне непривычно и неудобно пользоваться приращениями Все такие уравнения всегда пишутся для амплитудных спектральных плотностей , и, как мы выяснили, при

известной осмотрительности это не влечет за собой никаких неприятностей.

Итак, если и (что уже вполне корректно) тотчас же следует, что

Иногда бывает удобно писать . Это, конечно, всего лишь обозначение, так как функция не обладает конечным средним квадратом модуля. Пользуясь этим обозначением, следует помнить, что является множителем при дельта-функции.

Из разложения (40.4)

при помощи функции корреляции (41.5) сразу же получаем путем формального перемножения и усреднения результат:

т. е. обычный интеграл Фурье для . Его обращение дает

Конечно, можно идти и обратным путем: требуя, чтобы зависело только от , получить для амплитудных плотностей с функцию корреляции (41.5). Используем именно такой путь для другого частного случая — чисто дискретного спектра когда спектральное разложение имеет вид (40.2):

Перемножение и усреднение дает в этом случае

Очевидно, двойной ряд Фурье в правой части мэжет быть функцией только от при условии взаимной некоррелированности

случайных коэффициентов

Тогда

т. е. — почти-периодическая функция с вещественными и положительными коэффициентами

    (41.10)

Разумеется, (41.6) и (41.9) — это частные случаи общей теоремы (41.3). Условия (41.1) и (41.4) записываются в этих частных случаях в виде (напомним, что

Интеграл Фурье — Стилтьеса (41.3) можно, конечно, заменить обычным интегралом Фурье как для смешанного, так и для чисто дискретного спектра, описывая последний при помощи спектральной плотности

Более того, можно во всех случаях применять и формулу обращения (41.7), если при подстановке в нее функции корреляции (41.9) воспользоваться разложением Фурье для дельта-функции.

Условимся теперь относительно терминологии. В литературе по отношению к часто применяется энергетическая терминология. называют спектральной функцией распределения средней мгновенной мощности спектральной мощностью в интервале и т. п. Соответственно — это спектральная мощность в единичном интервале со. Все это хорошо, если действительно имеет энергетический смысл,

будучи, например, квадратом случайного тока или напряжения. Но если, скажем, - случайно меняющийся показатель преломления, то о какой «мощности» идет речь? Мы будем пользоваться более нейтральной терминологией. Говоря об «интенсивности флуктуаций», обычно не вкладывают в термин «интенсивность» энергетического содержания. Мы и воспользуемся этим термином. мы будем называть спектральной интенсивностью случайной функции интервале от до , а - спектральной плотностью этого процесса. Как уже отмечалось, доказательство того, что есть спектральная интенсивность в интервале , может быть получено только при помощи гармонической фильтрации (§ 50).

Если почему-либо нежелательно связывать себя заранее предположением о том, что у рассматриваемого стационарного процесса то смешанный момент и функция корреляции уже не совпадают:

Это влечет за собой и различие в спектрах Если, подобно (41.6), написать

    (41.12)

и учесть, что постоянная величина всегда может быть представлена в виде

то получим

    (41.13)

Таким образом, спектральные плотности совпадают при всех со, кроме точки где в спектре смешанного момента добавляется дискретная линия с интегральной интенсивностью

Если вещественна, то - четная функция, из чего следует, что и спектральная плотность -четная функция со. Формула (41.6) может быть записана при этом в виде

где

спектральная плотность по положительным частотам. Формула (41.7) дает тогда

    (41.16)

Из положительной определенности функции корреляции следует неотрицательность спектральной плотности и обратно. Иногда бывает удобней поэтому, решая вопрос о том, может ли какая-либо функция удовлетворяющая условиям (39.4) и (39.5), представлять функцию корреляции стационарного в широком смысле случайного процесса , просто проверять выполнение условия . Если, например, имеет вид прямоугольника (рис. 30, а) ширины 2-6, то по (41.7)

т. е. условие нарушено. По той же причине невозможно, чтобы функция корреляции была равна или на каких-либо конечных интервалах х (хотя бы и симметричных относительно

Выясним теперь, в чем состоят особенности спектральных разложений комплексной функции и ее функции корреляции в том случае, когда -аналитический сигнал (§ 38). Запишем спектральные разложения обеих вещественных функций

где в силу вещественности 5 и

Другими словами, в разложении вещественной функции область не содержит никакой информации сверх той, какую несет спектр на полуоси Вследствие взаимно-однозначной связи между у аналитического сигнала спектральные амплитудные плотности тоже однозначно связаны.

Нетрудно убедиться прямым расчетом по формулам (38.6), что преобразование Гильберта переводит . Таким образом, экспоненциальна

функция преобразуется в , где

Следовательно, спектральная амплитудная плотность процесса сопряженного по Гильберту с , равна

    (41.17)

В результате из спектрального разложения аналитического сигнала отрицательные частоты выпадают:

    (41.18)

Можно поэтому определить аналитический сигнал и как комплексный процесс, спектр которого отличен от нуля только на положительной полуоси

Если - стационарный случайный процесс (так что и

то в силу и, следовательно, а функция корреляции с (а) есть

Таким образом, процесс тоже стационарен и имеет ту же спектральную плотность что и процесс (за исключением точки где а значит, и ту же функцию корреляции:

    (41.19)

Пользуясь (41.17), получаем далее

    (41.20)

откуда непосредственно видна нечетность , в частности, некоррелированность в один и тот же момент времени Эта некоррелированность, конечно, не означает

статистической независимости, так как в общем случае не являются нормальными процессами. Итак, спектральное рассмотрение включает, естественно, те же результаты, которые были получены ранее в § 38.

Из (38.11), (41.19) и (41.20) следует, что функция корреляции стационарного аналитического сигнала есть

Другими словами, спектральная плотность равна

Обращение преобразований Фурье (41.19) и (41.20) дает следующие выражения для спектральной плотности :

(последнее выражение — при

Рассмотрим в заключение следующий вопрос. Пусть вещественный стационарный процесс имеет конечную в нуле спектральную плотность представимую в виде

причем конечно. При каком условии накопление за время t, т. е. операция

    (41.23)

даст процесс, стремящийся с ростом t к стационарности? Пользуясь спектральным разложением получаем

и, следовательно, по (41.2)

Первый член равен а интеграл с можно взять вычетами в полюсах перейдя предварительно от к и замкнув путь интегрирования в верхней полуплоскости. В результате получим экспоненциально затухающие члены.

Отсюда ясно, что необходимое условие для стационарности при есть

    (41.24)

В противном случае будет происходить диффузионный рост . Таким образом, если пройденный телом путь должен быть стационарным процессом, то спектральная плотность скорости должна обращаться в нуль при . То же относится и к магнитному потоку , обусловленному случайной стационарной например, в том случае, когда, речь идет о так называемых магнитных шумах.

1
Оглавление
email@scask.ru