§ 41. Стационарные случайные функции

Каким ограничениям подчинены случайная комплексная спектральная амплитуда и распределение комплексной «массы» , если случайная функция в широком смысле стационарна?

Требование постоянства среднего значения означает, согласно (40.1), что при всех должно быть

и тогда

Рассматривая функцию — всегда можно исключить постоянное среднее и тем самым считать, что (41.1) распространяется на все значения без исключения. Мы будем далее предполагать, что у рассматриваемых стационарных функций среднее значение и, следовательно, смешанный момент совпадает с функцией корреляции

Условие стационарности функции корреляции, согласно которому она зависит лишь от разности может быть

выполнено, как это видно из (40.7), только в том случае, если

т. е. «масса» распределена только на биссектрисе со Тогда приращение всегда вещественно и неотрицательно. Если воспользоваться дельта-функцией, то сказанное можно записать в виде

причем вещественное приращение неотрицательно:

Следовательно, если -стационарная функция, то — функция с некоррелированными приращениями (§ Подставив (41.2) в (40.7), получаем

т. е. функция корреляции стационарного в широком смысле случайного процесса представима в виде однократного интеграла Фурье — Стилтьеса (41.3), где -неубывающая вещественная функция со. Кроме того, поскольку

а на рассматриваемые случайные функции второго порядка наложено условие конечности функция должна быть ограничена: .

Эта фундаментальная теорема была доказана в 1934 г. А. Я. Хинчиным для стационарных (в широком смысле) случайных функций, удовлетворяющих условию непрерывности в нуле [4]. При этом было использовано не спектральное представление (40.1) самой случайной функции (возможность и смысл которого были установлены А. Н. Колмогоровым позднее , а теорема гармонического анализа, доказанная ранее С. Бохнером ([6], стр. 76) и состоящая в том, что всякая

положительно-определенная функция представима в виде

где — вещественная, неубывающая и ограниченная. Эта последняя теорема, установленная вне всякой связи с теорией случайных функций, тотчас же приводит к теореме Хинчина, если учесть, что класс положительно-определенных функций совпадает с классом непрерывных в нуле функций корреляции стационарных случайных процессов.

Подчеркнем еще раз, что стационарность случайной функции предъявляет к распределению комплексной «массы» на плоскости два требования. Во-первых, эта масса должна быть сосредоточена только на биссектрисе . Во-вторых, полная масса должна быть конечна, т. е. линейная ее плотность должна быть интегрируема на всей оси от до Нарушение хотя бы одного из этих условий означает нестационарность .

Итак, дельта-коррелированность приращений в спектральном разложении стационарной случайной функции влечет за собой локализуемость по частоте для средних билинейных величин. Для лучшего уяснения этого обстоятельства и усвоения практически применяемой техники перехода от спектрального разложения к спектральному разложению мы оставим теперь в стороне оговоренные выше (и, разумеется, необходимые) математические условия и проделаем указанный переход в некоторых частных случаях, широко используя при этом дельта-функцию.

Возьмем случай чисто непрерывного спектра. Как мы знаем, непрерывная функция с некоррелированными приращениями не дифференцируема ни в одной точке. Однако в § 34 мы подробно разобрали вопрос о том, почему и в каком смысле практически возможно пользоваться дельта-коррелированной производной такой функции, т. е. в данном случае — комплексной амплитудной плотностью с . Введение с отнюдь не преследует цель во что бы то ни стало нарушить математическую строгость. Оно действительно полезно, так как в физических задачах при переходе от стохастических дифференциальных уравнений для к спектральной записи было бы крайне непривычно и неудобно пользоваться приращениями Все такие уравнения всегда пишутся для амплитудных спектральных плотностей , и, как мы выяснили, при

известной осмотрительности это не влечет за собой никаких неприятностей.

Итак, если и (что уже вполне корректно) тотчас же следует, что

Иногда бывает удобно писать . Это, конечно, всего лишь обозначение, так как функция не обладает конечным средним квадратом модуля. Пользуясь этим обозначением, следует помнить, что является множителем при дельта-функции.

Из разложения (40.4)

при помощи функции корреляции (41.5) сразу же получаем путем формального перемножения и усреднения результат:

т. е. обычный интеграл Фурье для . Его обращение дает

Конечно, можно идти и обратным путем: требуя, чтобы зависело только от , получить для амплитудных плотностей с функцию корреляции (41.5). Используем именно такой путь для другого частного случая — чисто дискретного спектра когда спектральное разложение имеет вид (40.2):

Перемножение и усреднение дает в этом случае

Очевидно, двойной ряд Фурье в правой части мэжет быть функцией только от при условии взаимной некоррелированности

случайных коэффициентов

Тогда

т. е. — почти-периодическая функция с вещественными и положительными коэффициентами

    (41.10)

Разумеется, (41.6) и (41.9) — это частные случаи общей теоремы (41.3). Условия (41.1) и (41.4) записываются в этих частных случаях в виде (напомним, что

Интеграл Фурье — Стилтьеса (41.3) можно, конечно, заменить обычным интегралом Фурье как для смешанного, так и для чисто дискретного спектра, описывая последний при помощи спектральной плотности

Более того, можно во всех случаях применять и формулу обращения (41.7), если при подстановке в нее функции корреляции (41.9) воспользоваться разложением Фурье для дельта-функции.

Условимся теперь относительно терминологии. В литературе по отношению к часто применяется энергетическая терминология. называют спектральной функцией распределения средней мгновенной мощности спектральной мощностью в интервале и т. п. Соответственно — это спектральная мощность в единичном интервале со. Все это хорошо, если действительно имеет энергетический смысл,

будучи, например, квадратом случайного тока или напряжения. Но если, скажем, - случайно меняющийся показатель преломления, то о какой «мощности» идет речь? Мы будем пользоваться более нейтральной терминологией. Говоря об «интенсивности флуктуаций», обычно не вкладывают в термин «интенсивность» энергетического содержания. Мы и воспользуемся этим термином. мы будем называть спектральной интенсивностью случайной функции интервале от до , а - спектральной плотностью этого процесса. Как уже отмечалось, доказательство того, что есть спектральная интенсивность в интервале , может быть получено только при помощи гармонической фильтрации (§ 50).

Если почему-либо нежелательно связывать себя заранее предположением о том, что у рассматриваемого стационарного процесса то смешанный момент и функция корреляции уже не совпадают:

Это влечет за собой и различие в спектрах Если, подобно (41.6), написать

    (41.12)

и учесть, что постоянная величина всегда может быть представлена в виде

то получим

    (41.13)

Таким образом, спектральные плотности совпадают при всех со, кроме точки где в спектре смешанного момента добавляется дискретная линия с интегральной интенсивностью

Если вещественна, то - четная функция, из чего следует, что и спектральная плотность -четная функция со. Формула (41.6) может быть записана при этом в виде

где

— спектральная плотность по положительным частотам. Формула (41.7) дает тогда

    (41.16)

Из положительной определенности функции корреляции следует неотрицательность спектральной плотности и обратно. Иногда бывает удобней поэтому, решая вопрос о том, может ли какая-либо функция удовлетворяющая условиям (39.4) и (39.5), представлять функцию корреляции стационарного в широком смысле случайного процесса , просто проверять выполнение условия . Если, например, имеет вид прямоугольника (рис. 30, а) ширины 2-6, то по (41.7)

т. е. условие нарушено. По той же причине невозможно, чтобы функция корреляции была равна или на каких-либо конечных интервалах х (хотя бы и симметричных относительно

Выясним теперь, в чем состоят особенности спектральных разложений комплексной функции и ее функции корреляции в том случае, когда -аналитический сигнал (§ 38). Запишем спектральные разложения обеих вещественных функций

где в силу вещественности 5 и

Другими словами, в разложении вещественной функции область не содержит никакой информации сверх той, какую несет спектр на полуоси Вследствие взаимно-однозначной связи между у аналитического сигнала спектральные амплитудные плотности тоже однозначно связаны.

Нетрудно убедиться прямым расчетом по формулам (38.6), что преобразование Гильберта переводит . Таким образом, экспоненциальна

функция преобразуется в , где

Следовательно, спектральная амплитудная плотность процесса сопряженного по Гильберту с , равна

    (41.17)

В результате из спектрального разложения аналитического сигнала отрицательные частоты выпадают:

    (41.18)

Можно поэтому определить аналитический сигнал и как комплексный процесс, спектр которого отличен от нуля только на положительной полуоси

Если - стационарный случайный процесс (так что и

то в силу и, следовательно, а функция корреляции с (а) есть

Таким образом, процесс тоже стационарен и имеет ту же спектральную плотность что и процесс (за исключением точки где а значит, и ту же функцию корреляции:

    (41.19)

Пользуясь (41.17), получаем далее

    (41.20)

откуда непосредственно видна нечетность , в частности, некоррелированность в один и тот же момент времени Эта некоррелированность, конечно, не означает

статистической независимости, так как в общем случае не являются нормальными процессами. Итак, спектральное рассмотрение включает, естественно, те же результаты, которые были получены ранее в § 38.

Из (38.11), (41.19) и (41.20) следует, что функция корреляции стационарного аналитического сигнала есть

Другими словами, спектральная плотность равна

Обращение преобразований Фурье (41.19) и (41.20) дает следующие выражения для спектральной плотности :

(последнее выражение — при

Рассмотрим в заключение следующий вопрос. Пусть вещественный стационарный процесс имеет конечную в нуле спектральную плотность представимую в виде

причем конечно. При каком условии накопление за время t, т. е. операция

    (41.23)

даст процесс, стремящийся с ростом t к стационарности? Пользуясь спектральным разложением получаем

и, следовательно, по (41.2)

Первый член равен а интеграл с можно взять вычетами в полюсах перейдя предварительно от к и замкнув путь интегрирования в верхней полуплоскости. В результате получим экспоненциально затухающие члены.

Отсюда ясно, что необходимое условие для стационарности при есть

    (41.24)

В противном случае будет происходить диффузионный рост . Таким образом, если пройденный телом путь должен быть стационарным процессом, то спектральная плотность скорости должна обращаться в нуль при . То же относится и к магнитному потоку , обусловленному случайной стационарной например, в том случае, когда, речь идет о так называемых магнитных шумах.