Задачи

1. Выразить функцию передачи фильтра, согласованного с импульсом через спектральную амплитуду этого импульса и найти спектральную плотность пуассоновского процесса на выходе согласованного фильтра.

Решение. Имеем

причем для вещественной функции спектральная амплитуда удовлетворяет условию . В соответствии с (50.18) и (50.21) импульсный отклик согласованного фильтра есть

так что

Следовательно, «функция корреляции» импульсного отклика [см. (50.6) и (60.20)] обладает спектральной амплитудой

Но по (42.9) такая же спектральная амплитуда и у «функции корреляции» исходного импульса :

откуда следует, что

Так как спектральная плотность пуассоновского процесса на входе фильтра есть

спектральная плотность на выходе, согласно (50.10) и (3), будет

[Напомним, что мы положили не вводя никакого коэффициента пропорциональности]. Результат (4) следует, конечно, и непосредственно из (50.24), если учесть, что спектральная амплитуда импульсов на выходе фильтра дается формулой (2), a пропорционально (с коэффициентом квадрату модуля спектральной амплитуды импульса.

Очевидно, ширина полосы всех функций (2) — (4) порядка

2. Вычислить спектральные плотности (3) и (4) из предыдущей задачи для импульса

(см. задачу 6 гл. VI).

Решение. Найдем спектральную амплитуду импульса:

где

Пользуясь формулой

получаем

где

Отсюда

Легко видеть, что третий член в фигурных скобках всегда мал по сравнению с единицей, т. е. с максимумами первого и второго членов, которые находятся на соответственно. Ширина этих максимумов на уровне составляет

где — эффективное «время корреляции» рассматриваемого импульса (см. задачу 6 гл. VI). Если (импульсы сложной формы), так что то ) т. е. ширина максимумов равна девиации частоты на длительности импульса Таким образом, спектральные плотности входного и выходного процессов приближенно выражаются формулами

3. Пусть над компонентами двумерного стационарного случайного процесса производится безынерционное нелинейное преобразование вида дающее стационарный процесс Пользуясь формулой (7), приведенной в задаче 15 гл. II, получить соотношение, связывающее моменты процесса с кумулянтами исходного процесса

Решение. Полагая в указанной формуле получаем

В частности, если

где

При , т. e. для смешанного момента второго порядка процесса и для функции корреляции исходного процесса получаем из (2)

Как ясно из вывода, эта формула справедлива при любом распределении а не только нормальном, при котором она была доказана первоначально [50].

Следует обратить внимание на то, что кумулянтные уравнения, выведенные в задачах 15 и 16 гл. 11 для случайных величин, остаются в силе и для случайных процессов, так как зависимость моментов и кумулянтов от времени ничего в них не меняет (уравнения не содержат производных по .

4. Найти для процесса на выходе квадратичного детектора выражение смешанного момента через кумулянты процесса на входе детектора [49].

Решение. Детектор преобразует величины одинаковым образом, т. е. в формулах предыдущей задачи

Поэтому формула (2) предыдущей задачи принимает при и вид

откуда ясно, что значения и q не должны превосходить 2.

Так как момент выражается через кумулянты не выше четвертого же порядка и, очевидно, симметричен относительно общий его вид таков:

Приравнивая выражения для производных по вытекающие из этого выражения и из формулы (1), получаем

Но . С учетом этого получаем так что окончательно

Если процесс на входе детектора гауссов, Обозначив и введя коэффициент корреляции находим, что

Если к тому же то мы приходим к формуле (51.22):

5. Преобразовать формулу Найквиста для случая, когда в двухполюснике помещен генератор не тепловой сторонней а стороннего тока

Решение. Генератор тока подключен к двухполюснику не последовательно, а параллельно, так что через разомкнутый двухполюсник течет ток и соответственно Отсюда

По формуле Найквиста и, следовательно,

где — адмитанс двухполюсника.

6. Состояние системы из двух связанных контуров (рис. 81) описывается токами . Установить связь между обобщенными тепловыми сопряженными по Лагранжу с и локальными э. д. с. , включенными соответственно в ветви с сопротивлениями

Рис. 81.

Решение. Через спектральные амплитуды токов и э. д. с. равенство напряжений на трех параллельных ветвях цепи записывается при включенных Э. д. с. в виде

Отсюда следуют уравнения Кирхгофа:

где

Локальные тепловые взаимно некоррелированы, а их собственные спектральные плотности, согласно формуле Найквиста (54.6), равны

Следовательно, для спектральных плотностей получаем

Таким образом, корреляция между э. д. с. и обусловлена тем, что обе содержат локальную Разумеется, выражения (2) тотчас же вытекают и из общей формулы (54.10) и значений (1) для

7. Для рассмотренной в предыдущей задаче цепи (рис. 81) найти спектральные плотности обобщенных э. д. с. в том случае, когда сопротивления и R находятся при разных температурах — соответственно и Т.

Решение. Для локальных э. д. с. формула Найквиста теперь

Эти формулы уже нельзя получить из «равновесной теоремы» (54.10).

8. В -цепи, изображенной на рис. 82, температуры сопротивлений равны соответственно Найти спектральную плотность энергии в емкостях и С,

Рис. 82.

Найти полные энергии в этих емкостях и показать, что при тепловом равновесии имеет место равнораспределение энергии по степеням свободы.

Решение. Из уравнений Кирхгофа для данной цепи получаем следующие выражения для спектральных амплитуд токов h и h через спектральные амплитуды

где

Из (1) получаем спектральные плотности токов и их разности

Подставив сюда спектральные плотности э. д. с. (по частотам

находим для спектральных плотностей электрической энергии в емкостях выражения

Интегралы вида легко берутся вычетами в соответствующих полюсах (нулях ) и равны соответственно

Если сложить все эти выражения, то получается полная электрическая энергия флуктуаций в цепи а именно:

При тепловом равновесии это дает как это и должно быть в рассматриваемой системе с одной степенью свободы. Следует отметить, что при равновесии энергии не зависят от сопротивлений:

При цепь распадается на две независимые -ячейки с Если уничтожить полстепени свободы, полагая, например, то, как следует из формул (2), при этом

Полная энергия определяется эффективной температурой:

и делится между последовательно соединенными емкостями С и обратно пропорционально их величинам. При тепловом равновесии теперь получается

9. Рассмотреть условия квазистационарности для нормального процесса с равным нулю средним значением, если дисперсия и коэффициент корреляции зависят от времени по гауссовому закону:

где положительны и, в соответствии с условием -Решение. Согласно (7.13) двумерное распределение есть

где Соответственно одномерное распределение есть

Смешанный момент второго порядка (т. е. функция корреляции, так как равен

Подставив сюда получаем

Потребуем, чтобы смешанный момент имел вид

Легко видеть, что это будет при

При таких значениях Р и у коэффициент корреляции равен

Условие у выполнено при положительность же и у обеспечена при . В соответствии с определением квазистационарность будет иметь место при При этом условии можно приближенно считать

что

При процесс становится стационарным. Вычисленная из (1) по формуле (57.96) двумерная спектральная плотность есть

Таким образом, линии равной плотности — эллипсы с полуосями по по .

10. Пусть нестационарный процесс воздействует на негармоническую линейную систему с импульсным откликом Система предполагается диссипативной (нет параметрического возбуждения). При достаточном удалении момента наблюдения от начального момента отклик системы будет тогда установившимся (не зависящим от начальных условий), так как свободные колебания, которые могут возникнуть в начальный момент, успеют затухнуть.

Исходя из интеграла Дюамеля

выразить установившийся отклик через спектральную амплитудную плотность силы и мгновенную функцию передачи системы, которую мы определим из установившегося отклика на силу т. е., согласно (1),

Решение. Подставив разложения Фурье

в интеграл (1) и выполнив интегрирование по 0, получаем

При отодвигании в множитель с синусом переходит в так что для установившегося отклика находим

В частном случае гармонической системы формула (2) дает

и тогда (3) превращается в интеграл Фурье с амплитудной плотностью

— соотношение, из которого мы исходили в § 58.

11. Пользуясь результатом (3) предыдущей задачи, вычислить спектральную амплитудную плотность установившегося отклика и его двумерную спектральную плотность

Решение. Для нахождения достаточно разложить в интеграл Фурье по t мгновенную функцию передачи:

откуда

Заметим, что для гармонической системы в силу (6) и (4)

Подставляя (5) в (3), находим

и, следовательно,

Если процесс на входе системы стационарен, так что

то из (8) следует, что

Если система гармоническая, то с учетом (7) получаем из (8)

В обоих случаях (10) и (11) установившийся отклик нестационарен, распределение его спектральной «массы» двумерно. Только у гармонической системы при стационарном воздействии установившийся процесс на выходе стационарен: подстановка (7) в (10) или (9) в (11) дает

12. Показать, что при прохождении стационарного процесса через систему с медленно меняющимися параметрами на выходе устанавливается квазистационарный процесс.

Решение. У гармонической системы двумерная функция передачи со держит, согласно формуле (7) предыдущей задачи, дельта-функцию. Если же параметры системы не постоянны, но меняются медленно, то — острая функция, отличная от нуля только вблизи Запишем формулу (10) предыдущей задачи в переменных (57.7):

Отсюда ясно, что со должна быть близка как (иначе ), так (иначе ), что возможно только при достаточной малости Q. Таким образом, в узкой полосе около