§ 27. Обобщение на многомерные случайные функции

Пусть состояние системы в момент t описывается совокупностью случайных величин , т. е. случайным «вектором» в -мерном пространстве. Компоненты случайной функции могут представлять собой (обобщенные) координаты системы либо же совокупность координат и скоростей (или импульсов). «Координаты» в -мерном пространстве, вообще говоря, криволинейны, но вывод уравнения Эйнштейна — Фоккера не зависит от выбора координат и вообще от метрики пространства х, поскольку исходное уравнение Смолуховского

связывает вероятности от которых естественно требовать, чтобы они были скалярами при любом преобразовании координат. Все рассуждения остаются теми же, что и в предыдущем параграфе, с тем только отличием, что теперь речь идет о вероятностях перехода для -мерных случайных величин. Аналогично одномерному случаю делаются предположения

что позволяет прежним путем вывести уравнение Эйнштейна — Фоккера:

Решение этого уравнения должно быть неотрицательно, нормировано к единице:

и должно удовлетворять начальному условию:

Кроме того, могут быть наложены те или иные граничные условия.

Как уже было отмечено, вид уравнения (27.2) одинаков при любом выборе «координат» х, т. е. должен сохраняться при всяком преобразовании , удовлетворяющем, конечно, условиям взаимной однозначности и непрерывности. Однако ковариантность уравнения в целом не означает, что инвариантны величины, через которые оно записано. Действительно, из того, что вероятность — скаляр, вытекает неинвариантность плотности вероятности v, поскольку инвариантный элемент объема равен не где g — детерминант, составленный из элементов метрического тензора Можно определить скалярную плотность вероятности

которой и удобно пользоваться при преобразованиях координат. В частности, если пространство х — -мерное фазовое пространство ( координат скоростей или импульсов ), то v представляет собой фазовую плотность вероятности.

Далее, при переходе к новым координатам коэффициенты и как это нетрудно установить при помощи формул (27.1), преобразуются следующим образом:

откуда видно, что тензор второго ранга, но Л,- не образуют вектора (если не ограничиваться линейными преобразованиями). Это значит, что равенство величин Л нулю в одной системе координат не означает их равенства нулю в другой, т. е. А - не характеризуют скорость систематического потока инвариантным образом. Однако, в согласии со сказанным выше, при правильных законах преобразования всех величин (включая, конечно, и операции дифференцирования по ) можно убедиться в ковариантности уравнения (27.2) и непосредственно, т. е. не апеллируя к его выводу .

Запишем уравнение (27.2) для следующих двух случаев, которые нам вскоре понадобятся, — для частицы, испытывающей действие однородных и изотропных толчков, движущейся 1) на плоскости и 2) по поверхности единичной сферы.

В первом случае (на плоскости) нас будет интересовать уравнение (27.2), записанное в полярных координатах

Изотропность толчков означает, что средний квадрат смещения одинаков по любому направлению:

что возможно только при условии некоррелированности взаимно ортогональных смещений:

Однородность толчков означает, что средний квадрат смещения один и тот же в любом месте плоскости, т. е. не зависит от координат х, у или .

Согласно (27.2) имеем

где, в соответствии с

Из (27.6) и (27.7) следует, что

Что касается , то их вычисление следует проводить более аккуратно, не ограничиваясь членами первого порядка относительно , а учитывая, в соответствии с (25.7), и второй. Из формул

имеем

Усредняя эти равенства, деля их на и переходя к пределу при получаем с учетом (27.6) и (27.7)

    (27.10)

где введены величины

    (27.11)

Если бы были декартовыми компонентами вектора А, то его полярные компоненты совпадали бы соответственно с R и Ф. Однако первое равенство (27.10) показывает, что не совпадает с -компонентой вектора А. Легко видеть, что подстановка (27.9) и (27.10) в (27.8) приводит снова к уравнению

где - обычная (неинвариантная) плотность вероятности перехода, т. е. . Заметим, что для скалярной плотности для которой уравнение (27.12) принимает вид

где под А понимается вектор с полярными компонентами R и Ф.

Обратимся теперь к движению частицы по единичной сфере. Координатами частицы будут полярный угол и азимут так что уравнение (27.2) будет

где

Это уравнение определяет обычную плотность вероятности перехода

В силу предположенной изотропности толчков имеем

так что

причем В на всей сфере постоянно (однородность толчков).

Рис. 16.

Если частица совершает малое перемещение из точки в точку , то по формуле сферической тригонометрии имеем

где — угол поворота дуги , отсчитанный от меридиана (рис. 16). Разлагая по степеням и ограничиваясь вторым порядком относительно Да, получаем

Очевидно, все направления от 0 до равновероятны (изотропность толчков), так что . С другой стороны, рассматривая малый участок сферы около точки как плоскость, имеем

откуда

В результате

Аналогичным путем нетрудно установить, что . Уравнение (27.13), в котором

принимает вид

а для скалярной плотности , т. е. плотности в элементе телесного угла уравнение будет

    (27.16)

Если отсчитывать 0 от начального положения частицы, т. е. провести полярную ось через это положение (таким образом , то в силу симметрии 6 будет независима от Уравнение примет тогда вид

    (27.17)

причем решение надо искать при начальном условии

Решение выражается в полиномах Лежандра (§ 30).