§ 54. Тепловой шум в квазистационарных цепях. Флуктуационно-диссипационная теорема

Флуктуации электрических и магнитных величин, обусловленные тепловым движением микрозарядов в телах, открывают обширное и интересное поле для применения статистических методов в электродинамике. Эта область охватывает и те случайные электромагнитные поля, которые создаются микрозарядами при их тепловом движении, в том числе волновые поля, которые носят

название теплового излучения. Мы рассмотрим такие поля в части II этой книги, а здесь ограничимся частным случаем квазистационарных электрических цепей, для которых излучение, как правило, не представляет интереса, а основным вопросом являются флуктуации интегральных электрических величин (зарядов, токов, напряжений), описывающих состояние цепи.

Хотя существование электрических флуктуаций теплового происхождения было теоретически очевидным уже с первых шагов развития теории брауновского движения, экспериментальное их обнаружение стало возможным лишь в результате усовершенствования радиотехнических устройств и в первую очередь усилительной техники. В 1927 г. Джонсон [23], работая в диапазоне низких (акустических) частот, обнаружил, что на выходе усилителя, ко входу которого подключено сопротивление, наблюдается добавочный «шум» — хаотическое напряжение, интенсивность которого (средний квадрат) растет линейно с увеличением сопротивления R на входе и с повышением его температуры Т. Именно такая зависимость интенсивности тепловых флуктуаций от R и Т вытекала из их рассмотрения как брауновского движения (де Гааз-Лоренц, 1913 г.), но для полной теории явления нужен был учет полосы пропускания усилителя, т. е. надо было знать спектральное распределение интенсивности флуктуаций. Именно такая теория была одновременно с наблюдениями Джонсона развита Найквистом [24].

Представление о локализованной в цепи случайной электродвижущей силе вызывающей в этой цепи флуктуации токов и напряжений, было введено по аналогии с ланжевеновской случайной силой, вызывающей брауновское движение частицы. Найквист дал спектральную (т. е., как мы скажем теперь, корреляционную) теорию этой э. д. с., которая при постоянстве всех макроскопических условий представляет собой, очевидно, стационарный случайный процесс. Поскольку основной характеристикой этого процесса является его спектральная плотность которая должна быть такой, чтобы приводить к правильному описанию наблюдаемых электрических флуктуаций в любой цепи. Но сложную разветвленную цепь всегда можно разбить на двухполюсники и с каждым из них связать свой источник флуктуационной э. д. с. Вопрос сводится, таким образом, к отысканию спектральной плотности случайной э. д. с., локализованной в любом двухполюснике. Единственной электродинамической характеристикой двухполюсника служит его импеданс так что речь идет об установлении связи между Эту связь и дает полученная Найквистом фундаментальная формула, носящая его имя. Дальнейшее развитие теории тепловых флуктуаций привело к появлению множества разнообразных выводов этой формулы и к далеко

идущим обобщениям, из которых она вытекает как простейший частный случай. Но первоначальный ее вывод, даяный самим Найквистом, остается классическим по своей ясности и изяществу.

Рис. 69.

Очевидно, искомая связь между настолько универсальна, что выбор конкретной модели для ее нахождения не должен играть роли. Найквист рассматривает идеальную двухпроводную линию с волновым сопротивлением ( и С — погонные индуктивность и емкость), к концам которой подключены согласованные на частоте в омические сопротивления (рис. 69), имеющие одну и ту же температуру Г (равновесное состояние). Флуктуации в идеальных проводниках, из которых сделана линия, не требуют для своего поддержания внутренних сторонних источников, но в сопротивления R надо включить «генераторы» случайных Таким образом, обмен энергией между сопротивлениями происходит посредством волн, возбуждаемых в линии каждым из этих «генераторов» и не испытывающих отражения ввиду согласования линии с нагрузками в рассматриваемом спектральном интервале .

Если в некоторый момент времени закоротить оба конца линии идеально проводящими перемычками, то в ней будут «пойманы» бегущие встречные волны со всевозможными частотами Систему стоячих волн с частотами, лежащими в интервале можно рассматривать как суперпозицию тех собственных колебаний выделенного отрезка линии I, частоты которых заключены в этом интервале. Собственные частоты эквидистантны и выражаются формулой где и v — фазовая скорость распространения волн в линии. Интервал между собственными частотами равен и, следовательно, в интересующем нас интервале положительных частот умещается число

собственных колебаний (степеней свободы). По теореме о равнораспределении на каждую степень свободы приходится при термодинамическом равновесии энергия — постоянная Больцмана), так что энергия «пойманных» волн в интервале есть

При включенных нагрузках R отражение отсутствует, и поэтому полученное выражение равно энергии, посылаемой в линию обоими сопротивлениями за время пробега волн на расстояние , т. е. за время Отсюда следует, что каждое из сопротивлений посылает в интервал положительных частот за единицу времени энергию

По поводу этого результата необходимо сделать ряд замечаний.

Во-первых, пропорциональность интервалу имеет место лишь тогда, когда число собственных колебаний в интервале достаточно велико . Если выразить через длину волны в линии , то указанное условие запишется в виде

С другой стороны, немонохроматичность должна быть и не чрезмерно большой, с тем чтобы частотно-зависимые величины [например, ] мало менялись на протяжении интервала . Во всяком случае необходимо или, если записать это через К,

Из обои условий для вытекает, что

т. е. результат (54.2) является в этом смысле асимптотическим.

Во-вторых, формула (54.2) выведена для частного вида линии (идеальной двухпроводной линии) и при подсчете были учтены только так называемые главные волны (поперечно-электрические и поперечно-магнитные одновременно), у которых нет дисперсии скорости и. Можно, однако, доказать ([25], § 17), что (54.2) остается в силе для линии (одномерного канала) произвольного типа и для любых волн, возможных в такой линии, а не только для главных, которые в общем случае могут и не существовать (например, в волноводе). При этом надо учесть дисперсию и соответственно различие между фазовой и групповой скоростями (при наличии дисперсии время пробега определяется групповой скоростью).

Третье замечание касается того, что теорема о равнораспределении ограничила нас неквантовой областью что для интересующего нас квазистационарного диапазона вполне естественно. Если, однако, не связывать себя достаточно низкими

частотами, то надо применять теорему о распределении энергии в ее квантовой форме. Тогда вместо kT (в 54.1) и (54.2) вошла бы средняя энергия квантового осциллятора

Вернемся к выводу формулы Найквиста.

Пусть теперь одинаковые сопротивления R замкнуты друг на друга через чисто реактивный фильтр X, пропускающий только полосу положительных частот , внутри которой он совершенно «прозрачен» (рис. 70). Такой фильтр, работающий либо как короткое замыкание, либо как разрыв цепи, не вносит собственных шумов. Поэтому ток в цепи на частоте , т. е. спектральная амплитудная плотность выражается через аналогичные амплитудные плотности формулой

Рис. 70.

Для рассматриваемых стационарных процессов

и аналогично для причем где для упрощения записи мы обозначали спектральную плотность по положительным частотам через вместо Между собой не коррелированы. Это последнее допущение естественно, если учесть, что истинным источником каждой из этих с. является тепловое движение микрозарядов в соответствующем сопротивлении. Далее мы дадим, однако, более общее его обоснование.

Перемножая выражения (54.4) для , усредняя и учитывая отсутствие корреляции между получаем после отбрасывания в обеих частях равенства множителя , что

Разумеется, это равенство, записанное для спектральных плотностей по частотам , лежащим в интервале справедливо и для спектральных плотностей по положительным частотам и т. д. Согласно (54.5) в первое сопротивление поступает из второго (в интервале положительных

частот) мощность

и такая же мощность поступает из первого сопротивления во второе. Эта мощность должна быть, в соответствии с (54.2), равна откуда и следует формула Найквиста для спектральной плотности (по положительным со) случайной тепловой

Из (54.6) видно, что системы, не обладающие активным сопротивлением, не содержат и источника теплового шума. С такого рода связью тепловых флуктуаций с диссипацией энергии в системе мы уже встречались, рассматривая брауновское движение (§ 35). Допущение, что чисто реактивные системы не шумят, уже было использовано в предыдущих рассуждениях. Другим предположением была взаимная некоррелированность э. д. с. в разных двухполюсниках. Это свойство можно вывести из общего и очевидного требования, чтобы последовательное и параллельное соединение двух двухполюсников были эквивалентны одному двухполюснику с импедансом равным соответственно либо либо и с э. д. с. , равной либо либо (рис. 71), причем для опять должна быть справедлива формула Найквиста.

Рис. 71.

Использование (при составлении для рассматриваемой цепи уравнений Кирхгофа) локальных э. д. с. , не коррелированных между собой, удобно еще и тем, что позволяет легко учесть возможное различие температур отдельных двухполюсников (см. задачи 7 и 8).

Согласно (54.6) спектральная плотность э. д. с. Найквиста растет с увеличением сопротивления и при (разрыв

цепи) тоже обращается в бесконечность. Этот кажущийся парадокс возникает лишь в результате забвения того обстоятельства, что формула (54.6) применима только к достаточно хорошим проводникам — таким, внутри которых можно при данной частоте пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости. Если это условие не выполнено, то наряду с проводимостью а надо учитывать и диэлектрическую проницаемость проводника е. Например, для отрезка провода (рис. 72), вводя кроме его сопротивления еще внутреннюю емкость между его торцами площадь поперечного сечения), мы получим, как это будет показано в части II, следующее выражение для спектральной плотности тепловой э. д. с.:

Рис. 72.

Отсюда видно, что обращается в нуль как при (идеальный проводник), так и при (идеальный диэлектрик) и что обычная формула (54.6) пригодна лишь при

Рассмотрим в качестве примера тепловой шум в колебательном контуре. Для спектральных амплитуд тока и имеем

Спектральная плотность тока по положительным частотам есть

Найдем среднюю полную магнитную энергию шума в контуре

Из-за скин-эффекта R и L зависят при достаточно высоких частотах от (в медном проводе диаметром 1 мм эта зависимость заметна, начиная уже с Мы примем, что собственная частота контура лежит значительно ниже таких частот и что можно поэтому с достаточной точностью считать параметры контура не зависящими от

Вводя в качестве переменной интегрирования . И обозначая величину, обратную добротности, через

приводим выражение для От к виду

Замыкая путь интегрирования в верхней полуплоскости и взяв вычеты в полюсах получаем

как это и должно быть в силу теоремы о равнораспределении и соотношения , где — полная средняя энергия линейного осциллятора.

Аналогичным образом для средней полной электрической энергии контура, зависящей от спектральной интенсивности заряда на конденсаторе получаем

Рис. 73.

Если емкость С присоединена к произвольному двухполюснику (рис. 73) с импедансом

то средняя электрическая энергия конденсатора, конечно, уже не будет равна 6772: энергия приходится на степень свободы (на каждое нормальное колебание рассматриваемой системы), а не на емкость и индуктивность. Для спектральной интенсивности тока в цепи Z и С, согласно закону Ома и формуле Найквиста, имеем

Снова учитывая, что получаем для выражение

где ввиду четности функции интегрирование распространено на всю вещественную ось . Если

т. е. двухполюсник состоит из параллельно соединенных емкости с и сопротивления R, то средняя энергия будет на суммарной емкости , а на конденсатор С придется только доля от

В радиотехнике и радиофизике широко принято выражать интенсивность шумов самого разного происхождения (шумов в лампах и полупроводниковых приборах, космического радиоизлучения и т. д.) через так называемую эквивалентную шумовую температуру. Пусть некоторый источник (двухполюсник) отдает согласованной с ним нагрузке в полосе (положительных) частот мощность

где, очевидно, -средняя плотность мощности в рассматриваемой полосе. В соответствии с (54.2) активное сопротивление, находящееся при температуре и согласованное с этой же нагрузкой, создает в ней тепловой шум мощности Если подобрать так, чтобы мощности были равны:

то называется эквивалентной (шумовой) температурой источника. Часто бывает удобно относить к «комнатной» температуре т. е. вводить относительную эквивалентную температуру источника

Основываясь на формуле Найквиста (54.6), пользуются и понятием эквивалентного шумового сопротивления. Рассмотрим его на примере дробового тока лампы , спектральная плотность которого равна

Допустим, что лампа не шумит, но к ее сетке подключено активное сопротивление -источник найквистовской Спектральная плотность этой э. д. с. при комнатной температуре равна

в анодном токе вызовет тепловой шум со спектральной плотностью , где S — крутизна анодной характеристики лампы. Если подобрано так, что , т. е.

то это и будет эквивалентное шумовое сопротивление дробового тока лампы. В данном примере оба шума белые, в силу чего не зависит от частоты.

В общем случае линейной цепи с степенями свободы состояние системы описывается переменными — либо, как это принято в электро- и радиотехнике, токами и напряжениями, либо, если исходить из уравнений Лагранжа — Максвелла, зарядами (обобщенными координатами) токами (обобщенными скоростями) Линейные дифференциальные уравнения для дают для спектральных амплитуд токов и э. д. с. обобщенные уравнения Кирхгофа:

Здесь — взаимно обратные матрицы адмитанса и импеданса [, где — единичная матрица].

Э. д. с. в законах Кирхгофа это уже не локальные э. д. с., включенные в определенные двухполюсники, на которые можно разложить нашу сложную разветвленную цепь, а. спектральные амплитуды тех обобщенных «сил» которые соответствуют в смысле уравнений Лагранжа обобщенным

«координатам» . Другими словами, работа, совершаемая в единицу времени всеми над системой (т. е. поглощаемая системой мгновенная мощность), равна

Если — тепловые флуктуационные являющиеся при постоянной температуре Т стационарными и стационарно связанными случайными процессами то в пределах корреляционной теории их статистические свойства описываются корреляционной матрицей или же соответствующей матрицей спектральных плотностей (ей):

Обобщение формулы Найквиста (54.6) на этот случай системы со многими степенями свободы дает связь матрицы с матрицей импеданса нашей разветвленной цепи. А именно, если вся цепь находится при одной и той же температуре Т (равновесное состояние), формула Найквиста в сочетании с уравнениями Кирхгофа (54.8) и теоремой Тевенина дает следующее выражение для спектральных плотностей по (см. [26]):

Разумеется, для неразветвленной цепи отсюда следует формула Найквиста (54.6).

Заметим, что обобщение (54.9) формулы Найквиста на разветвленные цепи справедливо и тогда, когда цепь не удовлетворяет принципу взаимности. Если же он выполнен, то матрицы Z и Y симметричны, и тогда

    (54.10)

С помощью (54.9) нетрудно получить выражение и для элементов матрицы спектральных плотностей токов:

Согласно первому уравнению (54.8)

или, если подставить сюда корреляционные функции, сократить на и перейти к плотностям по

Внося сюда (54.9), находим

Но , так что в результате

    (54.11)

В отличие от тепловых э.д.с. (локализованных в отдельных двуполюсниках), которыми можно пользоваться в тех случаях, когда известна вся структура цепи, а не только ее матрица импеданса, э. д. с. входящие в (54.8), вообще говоря, взаимно коррелированы. Это получается потому, что обобщенные э. д. с. линейно выражаются через локальные и не коррелированные между собой э. д. с. и, следовательно, разные могут содержать одни и те же (см. задачу 6). Когда использование ; доступно (структура цепи известна), оно удобно не только ввиду их взаимной некоррелированности, но еще и потому, что позволяет легко учесть возможное различие температур отдельных двухполюсников. Некоторые примеры таких неравновесных условий рассмотрены в задачах 7 и 8.

Формулы (54.9) и (54.11) являются частным случаем гораздо более общей теоремы, доказанной Калленом с соавторами

в 1951 г. [27—29]. Это так называемая флуктуационно-диссипационная теорема (коротко — ФДТ), содержание которой заключается в следующем.

Пусть состояние некоторой системы с степенями свободы и с постоянными (не зависящими от времени) параметрами описывается обобщенными координатами Система находится в термостате с температурой Г и в ней происходят тепловые флуктуации, т. е. представляют собой случайные процессы. Обозначим для краткости через средние по ансамблю, т. е. макроскопические, значения координат.

Пусть, далее, существуют обобщенные силы сопряженные с в том смысле, что средняя мгновенная мощность, отдаваемая этими детерминированными силами системе, равна

    (54.12)

Здесь (как и в дальнейшем) по дважды встречающемуся индексу производится суммирование от 1 до . Подчеркнем, что в (54.12) — это средние значения, вычисляемые при наличии сил , т. е. по неравновесному ансамблю.

Средний отклик рассматриваемой, вообще говоря, нелинейной системы на силы описывается некоторыми нелинейными функционалами от

    (54.13)

Не нарушая общности, можно предположить, что в отсутствие сил т. е. при термодинамически равновесном состоянии, средний отклик равен нулю:

    (54.14)

Разложим функционалы в функциональные ряды по силам . В соответствии с (54.14) эти ряды будут начинаться с членов, линейных относительно сил , т. е. описывающих отклик некоторой линейной динамической системы с постоянными параметрами (гармонической системы):

где — -импульсный отклик (в момент времени координаты на дельта-импульс (в момент времени силы. Если — спектральные амплитуды входящих в (54.15) функций времени то в спектральном представлении соотношение (54.15)

запишется в виде

Матрица называется матрицей обобщенной восприимчивости системы, а — обратная матрица. Обобщенная восприимчивость а характеризует, согласно ее определению, средний (макроскопический) линеаризованный отклик динамической системы, т. е. отклик на столь слабые детерминированные воздействия , при которых можно ограничиться линейными членами рядов (54.15).

Обратимся теперь ко вторым моментам флуктуирующих координат . В отсутствие детерминированных сил флуктуации происходят около состояния термодинамического равновесия и являются стационарными случайными процессами. Можно поэтому ввести обычным образом матрицу спектральной плотности этих флуктуаций (по частотам от — до :

    (54.17)

где усреднение производится уже по равновесному ансамблю, т. е. в отсутствие детерминированных сил

ФДТ утверждает, что матрица спектральной плотности тепловых флуктуаций около состояния термодинамического равновесия при температуре Т выражается через антиэрмитову часть обобщенной восприимчивости нашей линеаризованной (в указанном смысле) динамической системы следующим образом:

где — средняя энергия осциллятора (54.3). Этот очень общий и фундаментальный результат охватывает любые частоты со, включая квантовую область и применим к макроскопическим системам любой физической природы.

Следует специально подчеркнуть, что квантовомеханическое доказательство теоремы (54.18) не предполагает малости флуктуационных отклонений . Вполне точно вычисляются: 1) спектральная плотность и 2) матрица восприимчивости как она определена выше. Сопоставление обоих выражений показывает, что для равновесных флуктуаций справедливо равенство (54.18). Таким образом, динамика системы при сильных внешних воздействиях, когда уже нельзя ограничиваться выражениями (54.16), т. е. членами, линейными относительно детерминированных воздействий , просто не имеет отношения к флуктуациям около состояния термодинамического

равновесия. Этот принципиально важный момент, выясненный Бернардом и Калленом [32] и независимо Ф. В. Бункиным [33], означает, что вопрос о каких-либо поправках к ФДТ, обусловленных нелинейностью динамических уравнений макроскопической системы, попросту отпадает. Отпадают, в частности, и различные парадоксы, вроде того, что детектор, включенный в пассивную цепь, находящуюся в термостате, будет выпрямлять тепловые флуктуации, т. е. давать постоянный ток, и, таким образом, позволит получать работу из термодинамически равновесной системы.

Сказанное, разумеется, не означает, что восприимчивость а не зависит от нелинейности стохастических уравнений рассматриваемой системы. Уравнения для случайных координат в общем случае имеют вид

    (54.19)

где — нелинейные операторы, -детерминированные силы, a -случайные силы, введенные наравне с и описывающие воздействие термостата на систему Нахождение а представляет собой в общем случае сложную задачу. Надо решить уравнения (54.19), т. е. найти

затем надо усреднить это решение по неравновесному ансамблю, что даст средний отклик (54.13):

и, наконец, надо выделить ту часть которая линейна по . В том случае, когда заданы макроскопические уравнения, т. е. уравнения для нахождение а сводится просто к линеаризации этих уравнений.

Если нелинейные члены в (54.19) малы, то решение можно искать методом возмущений. Задача становится, однако, совсем простой, когда стохастические уравнения линейны [ в (54.19) — линейные операторы]. Тогда уравнения для спектральных амплитуд будут вида

    (54.20)

а их усреднение даст уравнения (54.16):

. Таким образом, в этом частном, но важном случае коэффициенты в стохастических и макроскопических уравнениях одни и те же.

Именно так обстоит дело и в случае линейных электрических цепей, описываемых зарядами . Если спектральные амплитуды сопряженных э. д. с., то, согласно законам Кирхгофа где матрица адмитанса цепи. Общая формула (54.18), если перейти к спектральным плотностям по частотам и ограничиться неквантовой областью приводит к формуле (54.11).

В состоянии равновесия стохастические уравнения (54.20) принимают вид

    (54.21)

Отсюда нетрудно получить другую часто используемую форму ФДТ, а именно выражение для матрицы спектральной плотности случайных ланжевеновских сил

Действительно, из (54.21) и (54.17) имеем

Подставив сюда (54.18), находим

Но, поскольку получаем отсюда

что является обобщением электродинамической формулы (54.10).