§ 30. Вращательное брауновское движение. Случайная рефракция луча

Пусть сферическая частица взвешена в жидкости или газе, и пусть с частицей жестко связана некоторая ось, направление которой, характеризующее ориентацию частицы, определяется полярными углами Отвлечемся от поступательного движения частицы и от ее вращения вокруг оси. Тогда под действием ударов молекул или — что при данной постановке задачи то же самое — под действием флуктуаций тангенциальных (вязких) напряжений частица (ее ось) будет случайным образом поворачиваться, совершая так называемое вращательное брауновское движение. Это означает, что точка совершает поступательное брауновское движение на поверхности единичной сферы.

Очевидно, случайный вращающий момент будет изотропен (все его направления равноправны) и однороден (интенсивность толчков не зависит от ориентации частицы). Уравнение Эйнштейна — Фоккера, отвечающее этим условиям и определяющее скалярную плотность вероятности перехода , т. е. такую плотность, что уже было написано [см. (27.17)]. Оно упрощается, если полярный угол отсчитывается от начального направления оси частицы . Вследствие симметрии распределение по азимуту становится тогда равномерным, а уравнение для вероятности перехода принимает вид (27.17)

Решение уравнения (30.1) с этим начальным условием есть

где -полиномы Лежандра. При достигается стационарное распределение из всей суммы остается только член с так что

Если нас интересует условное среднее значение какой-либо функции то его можно получить при помощи (30.2), разложив по полиномам Лежандра и воспользовавшись их

взаимной ортогональностью:

В некоторых случаях удобней, не решая уравнения (30.1), получить с его помощью дифференциальное уравнение для самого среднего . Пусть, например, Умножим (30.1) на и проинтегрируем по от 0 до . Учитывая, что

получаем

Решение этого уравнения с начальным условием при

При это дает , т. е., в соответствии с (30.3), все ориентации становятся равновероятными. Для малых t имеем

т. е.

как и для двумерного брауновского движения на плоскости [см. (24.11)].

Если помимо случайных вращающих моментов имеется еще некоторый детерминированный момент, ориентирующий ось частицы в плоскостях , то стационарное распределение уже не будет равномерным. Пусть, например, частица обладает дипольным моментом и находится в электрическом поле Е. Вращающий момент будет

где — энергия во внешнем поле. Систематическая угловая скорость, если пренебречь инерцией частицы, равна где — вращательный коэффициент вязкого трения. Таким образом, считая по-прежнему, что не зависящие от В слагаемые в коэффициентах уравнения Эйнштейна — Фоккера совпадают с правыми частями динамических уравнений для соответствующих скоростей, мы получим теперь

для вместо (27.14) выражение

Уравнение (27.17) заменится при этом на

а уравнение для стационарной вероятности будет

После однократного интегрирования и учета того, что постоянная интегрирования равна нулю, получим

Отсюда

причем С определяется из условия нормировки

Но полученный результат должен совпадать с больцмановским распределением, а значит, , т. е. (см. § 26)

Казалось бы, вращательное брауновское движение не имеет никакого отношения к вопросам, интересующим радиофизику. Но предыдущие задачи уже не раз подтверждали, что одна и та же вероятностная схема может охватывать очень разнородные явления. В данном случае мы снова сталкиваемся с примером такого же рода. При определенных ограничениях аналогичной вращательному брауновскому движению оказывается задача о распространении луча в среде с плавными случайными неоднородностями. Говоря о плавности или медленности изменений свойств среды, мы имеем в виду применимость геометрической оптики (или акустики). Для достаточно коротких радиоволн соответствующие условия могут в известной степени выполняться и в тропосфере, и в ионосфере, и в солнечной короне, так что лучевая трактовка случайной рефракции оказывается допустимой. Самое же явление флуктуаций направления распространения луча представляет для радиофизики непосредственный интерес.

Свойства среды могут быть охарактеризованы показателем преломления или же фазовой скоростью волны , изменение которых от точки к точке и описывает неоднородности среды. Утверждение, что эти неоднороднорти случайны, означает, что или v — случайные функции точки, т. е. не одного параметра t, как это было всюду ранее, а трех параметров . Это пример так называемого случайного поля. В части II этой книги случайные поля будут рассмотрены более подробно, причем не только в связи с задачей о флуктуациях рефракции.

Подобно тому как одной из основных характеристик случайного процесса является его смешанный момент так и для случайного поля , или, короче, момент чрезвычайно важен, так как он дает меру статистической связи между значениями в двух точках пространства. Предполагая, что мы будем далее отождествлять этот смешанный момент с функцией корреляции . Поле называется однородным, если функция корреляции зависит только от разностей координат этих точек т. е. перенос начала отсчета не влияет на . Если же, сверх того, зависит только от расстояния , но не от направления R, то поле называется статистически изотропным.

Мы предположим, что рассматриваемое случайное поле и однородно и изотропно, или, иначе говоря, что в среде нет статистически выделенных положений и направлений. Это допущение играет по отношению к случайным поворотам луча при его преломлении в неоднородностях среды такую же роль, как и гипотеза об однородности и изотропности случайных толчков при брауновском движении частицы.

Пространственная функция корреляции однородного и изотропного поля зависит лишь от одного аргумента, как это имеет место и для временной функции корреляции стационарного случайного процесса. Во многих задачах можно указать для некоторый характерный временной интервал в пределах которого корреляция заметна, а при сдвигах достаточно быстро убывает. В таких случаях называют «временем корреляции». В пространственных задачах аналогичную роль играет «радиус корреляции» а; при увеличении R сверх а функция корреляции стремится к нулю. Очевидно, в интересующей нас задаче, если понимать под случайный показатель преломления среды (или случайную фазовую скорость волны v), то а характеризует средний размер неоднородностей среды.

Применимость геометрического приближения предполагает, что выполнено не только условие длина волны), но и условие малости дифракционных эффектов , где z — толщина слоя, пройденного лучом в неоднородной среде. Последнее условие означает, что даже при наиболее удаленных от точки наблюдения неоднородностях размер зоны Френеля гораздо меньше размера неоднородностей а.

По отношению к форме луча а характеризует протяженность тех его участков, на которых луч испытывает «однократный» поворот. Вследствие этих случайных извилин, обусловленных отдельными неоднородностями, и набегает интересующая нас случайная интегральная рефракция — угловое отклонение направления луча от оси z, т. е. от его начального направления при входе в неоднородную среду.

Задача о рефракции луча на случайных неоднородностях была тщательно проанализирована в работе [18], в которой было показано, что угол можно рассматривать как функцию марковского типа при следующих условиях.

1.. На всем пути луча должно быть (так называемое малоугловое приближение), что позволяет не различать впервом приближении толщину пройденного слоя среды и полную длину луча I в этом слое. Иначе это условие выражается требованием, чтобы средний квадрат поперечного смещения луча от оси z был мал по сравнению с

2. На своем пути в слое толщины z луч должен испытать очень много «однократных» поворотов, т. е. должен встретить очень много неоднородностей:

Неравенство должно быть настолько сильным, чтобы можно было разбить полную толщину z на отрезки , причем/уже на каждом таком отрезке луч встречает очень много неоднородностей т. е. испытывает много взаимно некоррелированных «толчков» из-за случайных градиентов показателя преломления. Вместе с тем средний квадрат результирующего отклонения луча на отрезке еще мал — по порядку величины не ниже . Это совершенно аналогично условиям марковости при блужданиях брауновской частицы: за элемент времени частица испытывает очень много независимых толчков, но средний квадрат смещения имеет порядок малости не

ниже, чем . В этом макроскопическом смысле промежуток бесконечно мал.

При этих условиях существует вероятность перехода удовлетворяющая тому же уравнению (30.1), что и вероятность поворота на угол оси сферической частицы, подвергающейся действию случайных однородных и изотропных вращающих моментов. То, что вместо времени t теперь независимой переменной является толщина z пройденного лучом слоя среды, конечно несущественно. Принципиальное отличие состоит в том, что для частицы угол поворота не лимитирован, а для луча уравнение (30.1) пригодно лишь при малых , когда вообще можно заменить на . Соответственно вместо (30.4) мы должны считать, что а для среднего квадрата можно пользоваться лишь формулой (30.5), т. е.

При этом же ограничении средний квадрат поперечного смещения луча равен

откуда и вытекает (30.6).