§ 18. Корреляционная теория

Теория случайных функций, рассматривающая только одномерное и двумерное распределения, называется корреляционной теорией таких функций. Распределения высшего числа измерений она оставляет вне поля зрения. Соответственно в пределах корреляционной теории мы имеем возможность находить моменты различных порядков, но содержащие не более двух значений параметра t, в том числе среднее значение случайной функции и ее функцию корреляции. Вообще, мы можем вычислить среднее значение любой детерминированной функции вида

, если, конечно, это среднее существует:

Что можно сказать о моментах первого и второго порядков специально для марковских и для стационарных процессов?

Очевидно, марковость процесса не вносит здесь ничего специфического, так как двумерное распределение всегда может быть выражено по (15.2) через условную вероятность . То, что для марковского процесса v является вероятностью перехода, существенно лишь для «-мерных распределений с но этих распределений корреляционная теория не рассматривает.

Напротив, стационарность процесса существенно сказывается на интересующих нас моментах первого и второго порядков. Действительно, поскольку одномерная плотность вероятности не зависит в этом случае от t, моменты любого порядка, вычисленные для одного значения t, тоже не будут зависеть от t, т. е. будут числовыми константами:

В частности, постоянными будут среднее значение средний квадрат и дисперсия . Далее, поскольку двумерная плотность вероятности стационарного процесса зависит от только через разность смешанный момент второго порядка, а значит, и функция корреляции тоже будут зависеть только от :

Заметим, что [а тем самым ] - обязательно четная функция т. Это следует из инвариантности по отношению к сдвигу начала отсчета времени t на :

Так как постоянное среднее значение обычно является легко измеряемой величиной, во многих случаях можно рассматривать только флуктуацию , т. е., не теряя общности, предполагать, что Тогда совпадает с

а коэффициент корреляции будет

Для стационарных случайных функций особая роль функции корреляции связана еще и с тем, что она определяет гармонический спектр процесса, но к этому мы обратимся позднее.

В пределах корреляционной теории возможно более широкое определение стационарности. Стационарными в широком смысле (просто стационарными по А. Я. Хинчину [1]) называются случайные функции у которых среднее значение постоянно: , а момент второго порядка В зависит только от и конечен при т. е. конечен средний квадрат . Тем самым конечно и постоянное среднее значение поскольку Прежнее определение, предполагавшее инвариантность всех конечномерных распределений при сдвиге начала отсчета t (стационарность в узком смысле), не содержало требования конечности моментов первых двух порядков и в этом смысле было менее жестким. Но стационарность в широком смысле не означает, что все при инвариантны при изменении начала отсчета t, и в этом отношении она действительно шире.

Посмотрим, при каких условиях может быть стационарной в широком смысле функция где в общем случае и и — случайные величины.

Если случайна только амплитуда А, а фаза имеет какое-то фиксированное значение, то

и условие постоянства среднего значения выполняется лишь при когда и . Для смешанного момента получаем

и, следовательно, даже при стационарности нет.

Пусть теперь фаза тоже случайна, причем независима от А. Тогда

Очевидно, независимость от t, т. e. равенство можно обеспечить теперь не только при но и при

, что будет иметь место, если плотность вероятности фазы ортогональна в интервале , т. е. представима рядом Фурье:

Смешанный момент

теперь тоже может быть сделан функцией только от т. Надо только потребовать , т. е. чтобы в ряде Фурье, выражающем отсутствовали также члены с . Тогда

Таким образом, при случайных и независимых стационарность случайной функции в широком смысле будет обеспечена, если конечно, а распределение имеет вид

Нетрудно понять, что при наличии в этом ряде Фурье только гармоник с все смешанные моменты до порядка N включительно будут зависеть только от разностей соответствующих моментов времени. В частности, если распределение равномерно в интервале :

то сказанное относится к моментам любого порядка, что равносильно стационарности в узком смысле.

Как сказано, оперирование только распределениями часто оказывается практически достаточным, хотя оно и не заменяет в общем случае полного задания случайной функции. Существует, однако, очень важное исключение, благодаря которому ценность корреляционной теории существенно возрастает.

Довольно часто рассматриваемые случайные функции принадлежат к классу нормальных (или гауссовых) процессов, т. е. все представляют собой -мерные гауссовы распределения. Это имеет место в силу того, что выполнены условия центральной

предельной теоремы, как, например, в явлении дробового шума (§ 10), в распределении скоростей микрочастиц [максвелловское распределение (§ 7)] и т. д. Но -мерное гауссово распределение содержит в качестве параметров только средние значения и моменты второго порядка (причем и те, и другие всегда конечны), а для нахождения этих моментов достаточно знать лишь тем самым ). Таким образом, нормальная случайная функция вполне определена заданием плотности вероятности Зная можно написать любую «-мерную функцию распределения и, следовательно, ответить на любой вопрос, касающийся какой-либо детерминированной функции от величин

Ясно также, что для нормальной случайной функции стационарность в широком смысле совпадает со стационарностью в узком смысле, так как из первой следует вторая: если не зависит от зависит только от то все будут инвариантны по отношению к сдвигу начала отсчета t. Наконец, для нормальных функций некоррелированность означает статистическую независимость, чего нет в общем случае.

Не представляет затруднений распространить любое из определений стационарности на многомерные случайные функции. В корреляционной теории целесообразно по-прежнему понимать стационарность в широком смысле, т. е. подразумевать под стационарностью -мерной функции конечность и постоянство всех и зависимость элементов матрицы (или корреляционной матрицы ) только от .