Глава VII. ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 50. Спектральная теория воздействия случайных процессов на гармонические системы

При временном описании внешнего воздействия на линейную систему с постоянными параметрами последняя характеризуется своим откликом на «силу» (§ 37). Отклик на произвольную «силу» выражается интегралом Дюамеля, который при нулевых начальных условиях имеет вид

Отсюда ясно, что для вычисления любого момента порядка выходного процесса надо знать смешанный момент того же порядка для входного процесса . Так, среднее значение и его смешанный момент второго порядка выражаются формулами (37.17) и (37.18):

где . Если, в частности, «сила» стационарна и , то

поскольку Наконец, если нас интересует установившийся отклик на стационарное воздействие надо в (50.1) и (50.4) устремить верхний предел в . Так как для реализуемой пассивной системы при можно заменить нижний предел на — и формула (50.4) примет вид

или

где введена «корреляционная функция» импульсного отклика

[см. (37.20)]

При спектральном подходе гармоническая система, динамическое уравнение которой можно записать, например, в виде

где L и М — линейные операторы, не зависящие от t, описывается своей функцией передачи представляющей собой, как известно, комплексную амплитуду установившегося вынужденного колебания при воздействии гармонического колебания Если L и М — полиномы по степеням то будет, очевидно, дробно-рациональной функцией но такая специализация вида для дальнейшего не необходима.

Зная и разложив в интегралы Фурье — Стилтьеса:

мы сразу же можем записать соотношение между спектральными амплитудами обоих процессов:

и, следовательно,

Если внешнее воздействие стационарно, так что

то, согласно (50.7) и (50.8),

где

Таким образом, при спектральном представлении стационарность влечет за собой стационарность установившегося отклика . В случае сплошного спектра можно записать (50.9) через спектральные плотности:

    (50.10)

— спектральная плотность на выходе получается из спектральной плотности на входе просто умножением последней на квадрат модуля функции передачи. По теореме Винера — Хинчина функция корреляции на выходе будет

    (50.11)

Во многих случаях интеграл удобно вычислять при помощи вычетов в полюсах которые у функции передачи диссипативной системы лежат, в верхней полуплоскости комплексной частоты со.

Как мы уже отмечали (§ 40), локализация интенсивности по частоте, имеющая место для стационарных процессов, получает однозначный смысл именно при гармонической фильтрации. Действительно, фильтр с соответствующей полосой пропускания, т. е. с подходящей функцией передачи открывает принципиальную возможность физически выделить требуемый интервал и тем самым проверить, что из полной «мощности» на этот интервал приходится доля Оперируя только полной интенсивностью, мы могли бы добавить к функции произвольные во всех отношениях, кроме условий

(т. е. не меняется) и при всех .

Как ясно из (50.11), гармоническая фильтрация сохраняет дискретно-сплошной характер спектра. Если на вход фильтра подается суперпозиция дискретных гармонических колебаний и шума с непрерывным спектром, то и на выходе получится такого же рода суперпозиция, хотя форма сплошного спектра и соотношение интенсивностей дискретных линий изменяется в соответствии с весовым множителем

Связь временного и спектрального подходов мы рассмотрим несколько дальше, отметим уже теперь, что спектральное представление наиболее просто и целесообразно при рассмотрении стационарных воздействий. Если нас интересует нестационарное воздействие (а к этому случаю сводится и вопрос об установлении колебаний в самой системе, если считать, что «сила» начала действовать в момент , то локальная связь между функциями корреляции спектральных амплитуд утрачивается. Напротив, интегралы (50.2) и (50.3) охватывают как нестационарные воздействия , так и установившиеся режимы [через явно учтенные начальные условия, хотя бы и при стационарном процессе

Рис. 48.

Рассмотрим простой пример -ячейки, включенной в анодную цепь лампы (рис. 48). Если дробовой ток лампы, то шумовая компонента v напряжения на ячейке связана с I уравнением

    (50.12)

Таким образом, функция передачи есть

и спектральная плотность напряжения если учесть, что для дробового тока [см. (43.2)], будет

Функция корреляции равна

    (50.14)

где

При интеграл берется вычетом вздолюсе , а при вычетом в полюсе

Как мы знаем, уравнение (50.12) при дельта-коррелированном воздействии является символическим, поскольку у не существует. Что это означает со спектральной точки зрения? Если

то формально I

Условие существования есть

Но, согласно (50.13),

откуда ясно, что при интеграл расходится. Если бы плотность не была постоянной, т. е. дробовой ток не считался бы дельта-коррелированным, то мы имели бы

существовала бы и стохастическое уравнение (50.11) не надо было бы считать символическим.

Нетрудно обобщить это рассуждение. Последовательно дифференцируя

    (50.15)

по t, мы приходим к тому, что условием существования производной является требование конечности

    (50.16)

Если удовлетворяет уравнению вида

    (50.17)

то равно единице, деленной на полином степени по . При сходимость интеграла (50.16) обеспечена даже в том случае, когда «сила» — белый шум . Но для существования уже необходима интегрируемость Таким образом, если — белый шум, то уравнение (50.17) символическое, поскольку не существует.

Сопоставим теперь спектральный и временной подходы к задаче о гармонической фильтрации стационарных процессов. Для функции корреляции установившегося отклика на стационарную «силу» мы располагаем, с одной стороны, спектральным выражением (50.11), а с другой — формулой (50.5), вытекающей из представления в виде интеграла Дюамеля. Нетрудно убедиться, что оба выражения совпадают. Для этого надо только вспомнить, что импульсный отклик и функция передачи связаны преобразованием Фурье:

    (50.18)

По теореме (42.9) о спектре интеграла вида (50.6) спектральная амплитуда есть

так что

    (50.20)

Но, согласно (50.5), функция корреляции является сверткой функций спектральные амплитуды которых равны соответственно (50.19) и спектральной плотности процесса Следовательно, спектральная амплитуда есть что совпадает с (50.10).

Рассмотрим следующие два примера.

1. Пусть спектр и квадрат модуля функции передачи — достаточно «хорошие» плавные функции, не имеющие, помимо главного максимума на некоторой частоте, сильных выбросов вдали от нее. Пусть спектр гораздо шире,

чем (рис. 49). Тогда в пределах полосы фильтра и по (50.11) и (50.20) получаем

т. е. определяется свойствами фильтра. Такой же результат следует, конечно, и из (50.5), если учесть, что спадает гораздо быстрее, чем

Эта оценка грубее предыдущей вместо но обе дают одну и ту же зависимость от .

Рис. 49.

Рис. 50.

2. Пусть теперь, наоборот, гораздо уже, чем (рис. 50), т. е. спадает гораздо медленнее, чем . Тогда , а значит, спектр и функция корреляции на выходе с точностью до коэффициента те же, что и на входе. По (50.11)

а по (50.5)

Итак, спектр на выходе фильтра формируется наиболее узкополосной из функций и, соответственно, выходная функция корреляции формируется наиболее медленной из функций Время корреляции на выходе порядка наибольшей из величин (время корреляции на входе) и (время установления фильтра). Разумеется, эти качественные и сжатые формулировки тем точнее, чем сильнее различие между полосами или между временами, о которых идет речь.

Таким образом, влияние гармонической фильтрации на корреляционную функцию процесса на выходе фильтра представляется на первый взгляд очевидным. Функции передачи реальных диссипативных систем в той или иной мере суживают спектр входного воздействия и, следовательно, «удлиняют» корреляцию на выходе по сравнению со входом. В частности, при белом шуме на входе (т. е. и время корреляции ) ход спектральной плотности на выходе, согласно (50.10), всецело определяется самой системой Поэтому

и отличное от нуля время корреляции определяется просто временем установления фильтра. С таким случаем мы имели дело в рассмотренном выше примере -ячейки [формула , где .

Это понятно и с временной точки зрения. Фильтр затягивает входные импульсы, так что всегда и неравенство тем сильнее, чем уже полоса пропускания фильтра. Поэтому напрашивается следующий, тоже, казалось бы, очевидный вывод, касающийся функции распределения выходного процесса.

Если процесс гауссов, то, как мы знаем, на выходе тоже будет гауссов процесс. Это ясно и из (50.1), если вспомнить, что сумма (в пределе — интеграл) нормальных процессов есть нормальный процесс. Если же входной процесс не гауссов, то в общем случае не будет гауссовым и выходной процесс. Но при очень узкой полосе фильтра, т. е. при мы получаем, что отклик состоящий, грубо говоря, из откликов за время от t — до t, охватывает очень много интервалов т. е. очень много не коррелированных между собой воздействий. Если, например, входной процесс — импульсный шум, для которого условие нормальности распределения не выполнено, т. е. (см. § 10)

то за счет может случиться, что на выходе будет

и распределение процесса на выходе фильтра, в соответствии с центральной предельной теоремой (§ 10), должно быть ближе к нормальному. В очень многих случаях это действительно так, а именно в тех случаях, когда импульсный процесс на входе фильтра состоит из импульсов простой формы Тогда оценка временной размытости импульса произведенная

по ширине его огибающей имеет же порядок величины, что и оценка по «временной корреляции» импульса . Другими словами, а так как ширина спектра произведение размытостей При этих условиях предыдущие рассуждения вполне справедливы и узкополосная фильтрация действительно «нормализует» процесс на выходе фильтра. Но для импульсов сложной формы, когда можно устроить такую фильтрацию, которая «денормализует» выходной процесс по сравнению со входным [2—4].

Речь идет о случае, когда при сложном импульсе на входе специально подобранный фильтр уменьшает эффективную длительность выходного импульса до «времени корреляции» Конечно, полная длительность выходного импульса, как всегда, аозрастает Она не может быть меньше хотя бы потому, что после окончания входного импульса колебания на выходе еще продолжаются в течение времени установления фильтра. Но подавляющая доля энергии выходного импульса оказывается сосредоточенной в интервале ширины порядка

Такой эффект дает фильтр, согласованный со входным импульсом , т. е. фильтр, у которого импульсный отклик «зеркален» по отношению к

    (50.21)

Момент может быть здесь любым, но не меньшим так как начало отклика не должно предшествовать началу импульса на входе (условие реализуемости фильтра).

Пусть на вход такого согласованного фильтра подан импульсный пуассоновский процесс вида

    (50.22)

функция корреляции которого пропорциональна «функции корреляции» импульса [см. (42.12) и (42.22)]:

    (50.23)

Согласно (50.22) и (50.21) на выходе фильтра получится процесс

    (50.24)

Таким образом, импульсы на выходе описываются «функцией корреляции» входного импульса:

Соответственно импульс сосредоточен в основном на интервале корреляции тк, который при сложной форме гораздо меньше Такое «сжатие» сложных импульсов согласованным фильтром широко используется в настоящее время в устройствах оптимального обнаружения сигналов, в частности — в радиолокации [5].

На рис. 51, а показаны сложный импульс с прямоугольной огибающей, заполненной частотно-модулированным колебанием с линейно меняющейся частотой, и импульсный отклик согласованного фильтра. На рис. 51, б изображены огибающие такого входного импульса и отклика согласованного фильтра. Огибающая содержит главный максимум, в котором сосредоточена основная доля энергии и ширина которого порядка , где — девиация мгновенной частоты на ширине входного импульса (см. задачу 6 гл. VI).

Почему же распределение пуассоновского процесса (50.24) на выходе согласованного фильтра денормизуется? Дело в том, что для центральной предельной теоремы существенна равноправность независимых случайных слагаемых — в смысле одинаковой малости вклада каждого из них в суммарную дисперсию (§ 12). Здесь же, хотя процесс содержит больше импульсов, возникающих на полной длине импульса чем процесс , т. е.

слагаемые очень неравноправны. Гораздо чаще в перекрываются маленькие боковые лепестки импульсов и лишь

изредка получаются сильные выбросы, обусловленные наложением главных максимумов. Среднее число случайных слагаемых этого второго типа порядка и, если их выделить, их распределение гораздо дальше от нормального, чем распределение . Но эти сильные выбросы содержат около 90% всей мощности процесса и поэтому характер распределения процесса в Делом определяется в основном именно ими. Таким образом, явление денормализации ни в коей мере не противоречит центральной предельной теореме.

Рис. 51.

Просто для нормализации распределения по сравнению с нужно, чтобы фильтр увеличивал эффективную длительность выходного импульса . Эта длительность близка к в случае простых импульсов , но уменьшается до тк при сложных импульсах и согласованном с ними фильтре.