Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Примеры применения биномиального законаДля уяснения физического смысла полученных результатов полезно обратиться к некоторым из поставленных выше конкретных задач. Рассматривая газ в сосуде (N молекул в объеме V), мы примем, что вероятность попадания молекулы в объем и есть
т. е. в среднем плотность равномерна. Дисперсия
или
Таким образом, абсолютные флуктуации плотности растут с уменьшением рассматриваемого объема о и с увеличением средней плотности, т. е. увеличением общего числа молекул N в объеме V. Обычно представляет интерес случай Что касается относительных флуктуаций, то
т. е. они тоже растут с уменьшением v, но падают с увеличением Отметим, в чем именно здесь заключается независимость испытаний. Мы приняли, что вероятность попадания молекулы в объем v равна Рассмотрим теперь задачу о сложении колебаний. Биномиальный закон (3.1) выражает вероятность того, что есть вероятность значения результирующей интенсивности
Следовательно, средняя интенсивность будет
Если Дисперсия
Таким образом, вычисление флуктуаций интенсивности — величины, квадратичной относительно
так что относительная флуктуация интенсивности будет
С ростом N относительная флуктуация вовсе не уменьшается, а, напротив, растет, приближаясь к значению Привычное представление о «сглаживании» связано с моментом второго порядка. Если «шум» зависит от моментов высших порядков, то его роль может усиливаться с ростом В этой связи следует остановиться на том, что называть «шумом» в том случае, когда прибор, например, квадратичен, т. е. измеряет не Отсюда видно, что причисление явления к флуктуационным или нефлуктуационным существенно зависит от того, какой величиной это явление характеризовать, — обстоятельство, подчеркнутое М. А. Леонтовичем ([25], § 34; см. также [26]). Пусть, например, речь идет об энергии U теплового излучения, заключенного в некотором объеме V. Она флуктуирует около своего среднего значения U, так что дисперсия
есть мера интенсивности флуктуаций U. Но с точки зрения электродинамики энергия U равна интегралу от суммы квадратов напряженностей электрического и магнитного полей:
и, следовательно,
Заметим теперь, что средние значения напряженностей в поле теплового излучения равны нулю
т. е. сама средняя энергия V есть мера интенсивности флуктуаций Е и Н. Таким образом, мы имеем следующее расхождение терминологии при двух подходах:
Обратимся теперь к задачам, в которых процесс «испытаний» развертывается во времени, и в качестве первого примера возьмем описанную выше модель брауновского движения. Смещение частицы вправо за N шагов на величину
имеет вероятность
т. е. в изотропном случае Разброс около s, определяемый дисперсией, есть
В изотропном случае, когда
Если скачки происходят через равные промежутки времени
Это — так называемая диффузионная зависимость пути от времени. В дальнейшем нам еще придется остановиться на связи рассматриваемой статистической схемы с диффузией. Мы увидим также, что простая рассмотренная модель представляет интерес и для радиофизики, будучи самым непосредственным образом связана с вопросом о флуктуациях фазы в автоколебательных системах.
|
1 |
Оглавление
|