§ 4. Примеры применения биномиального закона

Для уяснения физического смысла полученных результатов полезно обратиться к некоторым из поставленных выше конкретных задач.

Рассматривая газ в сосуде (N молекул в объеме V), мы примем, что вероятность попадания молекулы в объем и есть Плотность газа в объеме v будет . Следовательно,

т. е. в среднем плотность равномерна.

Дисперсия определяет интенсивность флуктуаций плотности

или

Таким образом, абсолютные флуктуации плотности растут с уменьшением рассматриваемого объема о и с увеличением средней плотности, т. е. увеличением общего числа молекул N в объеме V. Обычно представляет интерес случай , так что членом 1/V можно пренебречь.

Что касается относительных флуктуаций, то

т. е. они тоже растут с уменьшением v, но падают с увеличением .

Отметим, в чем именно здесь заключается независимость испытаний. Мы приняли, что вероятность попадания молекулы в объем v равна независимо от того, имеются ли и в каком количестве другие молекулы внутри или вне V. Другими словами, газ считается идеальным. При учете конечного объема молекул и их взаимодействия этого уже не будет: вероятность при данном испытании (вероятность попадания данной молекулы в объем ) будет зависеть от исходов остальных испытаний.

Рассмотрим теперь задачу о сложении колебаний. Биномиальный закон (3.1) выражает вероятность того, что из N складываемых колебаний имеют амплитуду Тем самым

есть вероятность значения результирующей интенсивности

Следовательно, средняя интенсивность будет

Если , то , т. е. интенсивности складываются (полная некогерентность). При или получается (полная когерентность).

Дисперсия есть

Таким образом, вычисление флуктуаций интенсивности — величины, квадратичной относительно , требует нахождения моментов высших порядков, а именно Способ вычисления для распределения Бернулли уже был указан: -кратное применение оператора к биному Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат для случая полной некогерентности, когда и соответственно . В этом случае дисперсия получается равной

так что относительная флуктуация интенсивности будет

С ростом N относительная флуктуация вовсе не уменьшается, а, напротив, растет, приближаясь к значению Таким образом, никакого «сглаживания» относительных флуктуаций здесь нет: при сложении двух колебаний относительная флуктуация интенсивности меньше, чем при сложении тысячи.

Привычное представление о «сглаживании» связано с моментом второго порядка. Если «шум» зависит от моментов высших порядков, то его роль может усиливаться с ростом

В этой связи следует остановиться на том, что называть «шумом» в том случае, когда прибор, например, квадратичен, т. е. измеряет не , а . Измеритель величины показывает Он не обнаруживает никакого -шума, хотя , т. е. само флуктуирует Шум для «-метра» определяется величиной и связан, таким образом, с «флуктуацией флуктуации» п.

Отсюда видно, что причисление явления к флуктуационным или нефлуктуационным существенно зависит от того, какой величиной это явление характеризовать, — обстоятельство, подчеркнутое М. А. Леонтовичем ([25], § 34; см. также [26]). Пусть, например, речь идет об энергии U теплового излучения, заключенного в некотором объеме V. Она флуктуирует около своего среднего значения U, так что дисперсия

есть мера интенсивности флуктуаций U. Но с точки зрения электродинамики энергия U равна интегралу от суммы квадратов напряженностей электрического и магнитного полей:

и, следовательно,

Заметим теперь, что средние значения напряженностей в поле теплового излучения равны нулю , так что и

т. е. сама средняя энергия V есть мера интенсивности флуктуаций Е и Н. Таким образом, мы имеем следующее расхождение терминологии при двух подходах:

Обратимся теперь к задачам, в которых процесс «испытаний» развертывается во времени, и в качестве первого примера возьмем описанную выше модель брауновского движения. Смещение частицы вправо за N шагов на величину

имеет вероятность Следовательно,

т. е. в изотропном случае среднее смещение будет

Разброс около s, определяемый дисперсией, есть

В изотропном случае, когда , получаем

Если скачки происходят через равные промежутки времени , так что — полное время, протекшее от начального момента, то

Это — так называемая диффузионная зависимость пути от времени. В дальнейшем нам еще придется остановиться на связи рассматриваемой статистической схемы с диффузией. Мы увидим также, что простая рассмотренная модель представляет интерес и для радиофизики, будучи самым непосредственным образом связана с вопросом о флуктуациях фазы в автоколебательных системах.