§ 9. Характеристическая функция

Характеристические функции играют большую роль как в доказательствах многих важных теорем теории вероятностей, так и при решении конкретных задач. Характеристическая функция однозначно связана с функцией распределения и имеет по сравнению с очень существенное преимущество. При сложении независимых случайных величин, когда распределение суммы вычисляется по формуле свертки (композиция или символическое перемножение функций распределения), характеристическая функция суммы получается простым перемножением характеристических функций слагаемых. Это особенно важно для центральной предельной теоремы теории вероятностей, где речь идет именно о распределении суммы независимых случайных величин (§ 13).

Характеристическая функция случайной величины х (как уже было сказано, мы будем сплошь и рядом обозначать случайную величину и принимаемые ею значения одной и той же буквой) есть среднее значение (математическое ожидание) величины , где — вещественный параметр:

(разумеется, здесь принято, что . Интеграл Фурье — Стилтьеса (9.1) всегда сходится, так как

Нетрудно видеть, далее, что всегда и что Приведем два примера характеристической функции. Для нормального распределения

имеем

Чем острее распределение (чем меньше о), тем шире характеристическая функция. Конечно, это не особенность нормального распределения, а известное общее свойство пары функций, связанных интегральным преобразованием Фурье. Если то (в частности, при имеем ).

Для распределения Пуассона

получаем

Если для какого-либо конечен абсолютный момент то выражение можно k раз продифференцировать по и. Поскольку

получаем

Если все конечны, то имеет смысл разложение в бесконечный ряд

Заметим, что момент если он конечен, вычисляется при помощи характеристической функции, как значение ее производной по в нуле:

Таким образом, нахождение моментов, требующее — если оно производится при помощи функции распределения — вычисления интегралов, здесь осуществляется посредством дифференцирования, т. е., вообще говоря, более простой операции (правда, лишь для целых ).

Вряд ли надо пояснять, что для многомерной случайной величины характеристическая функция определяется точно таким же образом, т. е. как функция, сопряженная по Фурье:

где и вектор с компонентами

Для плотности вероятности величины , где х и у — независимые случайные величины, имеем формулу композиции (свертки)

т. е. довольно сложную функциональную связь между и w. Для характеристической функции z, учитывая независимость получаем

Таким образом, композиции w или W, т. е. символическому перемножению функций распределения, соответствует обыкновенное перемножение характеристических функций.

Нетрудно сообразить, что если и каждое слагаемое независимо от суммы предшествующих, то

Разумеется, это и подавно верно сдля независимых в совокупности.

Другой важный вопрос заключается в том, как по характеристической функции найти функцию распределения . Если распределение дифференцируемо, т. е. то формула (9.1) переходит в обычный интеграл Фурье!

обращение которого тотчас же дает

а значит,

Пусть теперь — дискретное распределение. Пользуясь дельта-функцией, можно применять те же формулы обращения. Имеем

и, следовательно,

Формула обращения тотчас же дает

т. е. и в этом случае возвращает нас к правильному выражению для

Именно эта однозначная связь между функцией распределения и характеристической функцией широко используется как в общей теории, так и при решении конкретных задач. В одних случаях оказывается проще находить непосредственно функцию распределения, в других — характеристическую функцию. Укажем в этой связи на теорему Леви о том, что если последовательность функций распределения сходится при к функции распределения [в точках непрерывности W(x)], то и последовательность соответствующих характеристических функций сходится к характеристической функции отвечающей и обратно.

Если взять и разложить его в степенной ряд по и [беря ту ветвь логарифма, которая вместе с и обращается в нуль, и разлагая в соответствии с (9.2) тоже до члена

порядка ], то получим

Величины называются кумулянтами (или семиинвариантами) распределения. Кумулянт порядка есть целая рациональная функция первых моментов (или центральных моментов ). В частности,

Следует обратить внимание на аддитивность кумулянтов при композиции распределений независимых величин. При композиции перемножаются, складываются, а значит, складываются и кумулянты:

При помощи характеристических функций чрезвычайно просто устанавливается сохранение или несохранение вида некоторых распределений при композиции. Если, например, независимые случайные величины распределены по Пуассону, то

и, следовательно, для имеем

т. е. опять распределение Пуассона. Если сумма независимых одинаково распределенных случайных величин обладает тем же распределением, что и слагаемые, то такое распределение называется устойчивым. Таким образом, мы показали, что распределение Пуассона является устойчивым. Легко убедиться, что нормальное распределение тоже устойчиво.

Пусть независимые слагаемые распределены нормально со средними значениями и дисперсиями т. е.

Характеристическая функция для есть

Это значит, что для характеристическая функция будет

и, таким образом,

Если все одинаковы, т. е. , то

Обозначая композицию одинаковых нормальных функций распределения через имеем

В частности, при

Это значит, что если имеют одну и ту же функцию распределения и сумма

тоже имеет функцию распределения

Иногда оказывается удобным пользоваться не характеристической функцией — средним значением от средними значениями от величин :

или от их:

разумеется, при ограничениях, обеспечивающих существование этих средних. Такого рода функции называются моментопроизводящими или просто производящими функциями распределения . Если возможно -кратное дифференцированное по 0, то, полагая затем получаем Аналогичным образом можно получать из применяя m раз операцию и и полагая потом